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2025湘教版数学选择性必修第二册
第2章2.2　空间向量及其运算
第1课时　空间向量的概念及其运算
A级 必备知识基础练
1.在空间四边形ABCD中,连接AC,BD,M,G分别是BC,CD的中点,则等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M,设=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量为(　　)
A.-a+b+c B.a+b+c
C.a-b-c D.-a-b+c
3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M,=a,=b,=c,则与相等的向量是(　　)
A.-a-b-c
B.a+b+c
C.-a+b-c
D.-a-b+c
4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若=x+2y+3z,则x+y+z=(　　)
A. B.1 C. D.
5.(多选题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=(　　)
A. B.
C. D.
6.已知A,B,C三点共线,O为直线外任意一点,若=m+n,则m+n=　　　　　.
7. 如图所示,已知空间四边形ABCD中,向量=a,=b,=c,若M为BC中点,G为△BCD的重心,试用a,b,c表示下列向量:
(1);(2);(3).
B级 关键能力提升练
8.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　)
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
9.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为　　　　　.
10. 如图,设O为 ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若+x+y,则x+y的值为　　　　　.
11.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心,若+λ=0(λ∈R),则λ=　　　　　.
12. 如图所示,在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,设M是上底面A1B1C1D1的中心.
(1)化简:);
(2)若=x+y+z,求实数x,y,z的值.
13. 如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断是否共线.
C级 学科素养创新练
14. 如图所示,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且=2=2.求证:四边形EFGH是梯形.
第1课时　空间向量的概念及其运算
1.C　∵M,G分别是BC,CD的中点,
∴.
∴.故选C.
2.A　)=)=-a+b+c.故选A.
3.A　连接A1C1与B1D1交于点F,连接AF,A1M,B1M,
=a,=b,=c.
对于选项A,-a-b-c=-,故A正确;
对于选项B,a+b+c=,故B错误;
对于选项C,-a+b-c=-,故C错误;
对于选项D,-a-b+c=-,故D错误.
故选A.
4. D　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,有,故由题意可知x=1,2y=1,3z=1,即x=1,y=,z=,
所以x+y+z=.
故选D.
5. AB　如图所示,,因此A正确;
,因此B正确;
,因此C错误;
,因此D错误.故选AB.
6.1　由于A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,即=λ(),所以=(1-λ)+λ,所以m=1-λ,n=λ,所以m+n=1.
7. 解(1)连接AM,在△ADM中,,
由线段中点的向量表示知)=(a+b),由相反向量的概念知=-=-c,
所以(a+b)-c=(a+b-2c).
(2)在△BCD中,(a+b-2c)=a+b-c.
(3)在△ADG中,由三角形重心的性质,得=c+=c+(a+b-2c)=(a+b+c).
8.A　因为=(a+2b)+(-5a+6b)+(7a-2b)=3a+6b,所以=3.
又直线AB,AD有公共点A,故A,B,D三点共线.
9.0　(方法一)由λ+m+n=0,得=-,由A,B,C三点共线知-=1,则λ+m+n=0.
(方法二)因为A,B,C三点共线,所以存在唯一实数k使=k,即=k(),所以(k-1)-k=0.又λ+m+n=0,令λ=k-1,m=1,n=-k,则λ+m+n=0.
10.-1　因为=-=-)=-)=-)=-,所以x=,y=-.
因此x+y=-1.
11.-　在△C1A1D中,EF是其中位线,所以,且,
因此当+λ=0时,λ=-.
12.解(1)在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M是上底面A1B1C1D1的中心,
∴)=)=.
(2)∵)=)=(-)=-.
又=x+y+z,
∴x=-,y=,z=1.
13.解∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,
∴.
又=-,
∴2,即=2.
∴共线.
14.证明因为E,H分别是边AB,AD的中点,所以,
所以)=.
又=2=2,所以,
所以)=,所以,且||=|,||≠||,
又点E不在FG上,所以四边形EFGH是梯形.
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