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2025湘教版数学选择性必修第二册
第2章第2课时　向量的数量积
A级 必备知识基础练
1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,则a·(b+c)的值为(　　)
A.1 B.0 C.-1 D.-2
2.已知向量a,b满足|a|=|b|,a·b=0,则tan=(　　)
A.- B. C.- D.
3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=AB=2,∠BAD=,∠BAA1=∠A1AD=,则=(　　)
A.12 B.8 C.6 D.4
(第3题图)
4.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=60°,∠DAA1=∠BAA1=90°,则||=(　　)
(第4题图)
A.2 B. C. D.1
5.如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BAA1=120°,若线段AC1=,则∠DAA1=(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
(第5题图)
6.(多选题)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,体对角线AC1与BD1相交于点O,则(　　)
A.=1 B.
C. D.=1
7.在正四面体ABCD中,|AB|=2,若=2,则=　　　　　.
8. [人教B版教材例题]如图所示的长方体ABCD-A'B'C'D'中,E是AA'的中点,AA'=AD=2,AB=4,求:
(1);(2).
B级 关键能力提升练
9.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,M为BC中点,则△AMD是(　　)
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.不确定
10.(多选题)已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a,且E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列四个数量积中结果为-a2的式子有(　　)
A.2
B.2
C.2
D.2
11. 如图,四面体ABCD中,M,N分别为AB和CD的中点,AD=2,BC=4,且向量与向量的夹角为120°,则线段MN长为(　　)
A.
B.
C.
D.3或3
12.我国古代数学名著《九章算术》中记载:斜解立方,得两堑堵.堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.在堑堵ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,P为B1C1的中点,则=(　　)
A.6 B.-6
C.2 D.-2
13.已知空间向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则b在a方向上的投影为　　　　　.
14.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,3,…,8)是上底面上其余的八个点,则集合{y|y=,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为　　　　　.
C级 学科素养创新练
15. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为棱B1C1上的动点,则向量在向量方向上的投影||cos∠EAC的取值范围是　　　　　.
16. 如图所示,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.
(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;
(2)求<>.
第2课时　向量的数量积
1.B　由题意可得AB⊥AD,AB⊥AA1,所以a⊥b,a⊥c,所以a·b=0,a·c=0,所以a·(b+c)=a·b+a·c=0,故选B.
2.D　由题可知,|2a-b|=|a|,所以cos=,则为锐角,得sin=,则tan=.故选D.
3.B　=()·()==0+2×2×+2×2×+22=8.故选B.
4.A　由题意,,两边平方可得+2+2+2=3+2||||cos∠BAD+2||||·cos∠BAA1+2||||cos∠DAA1=4,所以||=2.
故选A.
5.C　∵,
∴+2+2+2=1+1+1+2×1×1×(-)+2×1×1×(-)+2×1×1×cos∠DAA1=2,∴cos∠DAA1=,即∠DAA1=60°.故选C.
6.AC　(方法一)·()==1,故A正确;
·()==1,故B错误;
,故C正确;
·()=-=-1,故D错误.
(方法二)=||||·cos<>=1×=1,故A正确;
由正方体的性质可知,AC1=,BC1==||||cos<>=||||·=1×=1,故B错误;
,故C正确;
=1××-=-1,故D错误.故选AC.
7.6　=(2)·=2=2×2×2cos+2×2cos=6.
8.解(1)因为是长方体,而且AA'=AD=2,所以<>=∠B'BC'=45°,||=AA'=1,||=BC'==2.
因此=||||cos<>=2×1×=2.
(2)由题图可以看出,上的投影是,而且||=AA'=1,又方向相反,所以等于的长的相反数,即=-||=-2.
9. C　如图所示,根据条件可得)·)=0,∴,
∴△AMD为直角三角形.故选C.
10.AC　如图所示,2=2||||cos 120°=2a·acos 120°=-a2;
2=2||||cos 60°=2a·acos 60°=a2;
2=2||||cos 180°=2··acos 180°=-a2;
2=2||||cos 120°=2··acos 120°=-.故结果为-a2的式子有AC.
11.A
　取AC的中点E,连接ME,EN,又M,N分别为AB和CD的中点,∴ME∥BC,且ME=BC=2,EN∥AD,且EN=AD=1.
∵向量与向量的夹角为120°,
∴向量与向量的夹角为120°,
又,∴+2=22+2×2×1×(-)+12=3,
∴||=,即线段MN的长为.故选A.
12. A　根据堑堵的几何性质知AB⊥AC,AA1⊥AB,AA1⊥AC.
因为),
所以=()·[)]==2+4=6.故选A.
13.-3　∵a⊥(a+b),|a|=3,|b|=2,
∴a·(a+b)=|a|2+a·b=0,∴a·b=-|a|2=-9,
∴b在a方向上的投影为=-3.
14.1　由题图可知,则·()=.因为棱长为1,AB⊥BPi,所以=0,所以=1+0=1,故集合{y|y=,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为1.
15.[]　由已知E为棱B1C1上的动点,设=λ(0≤λ≤1).
因为+λ+λ,
所以=(+λ)·+λ=1××cos 45°+λ×1××cos 45°=1+λ,
所以向量在向量方向上投影||cos∠EAC为.又0≤λ≤1,所以1≤1+λ≤2,所以.
所以向量在向量方向上投影||cos∠EAC的取值范围为[].
16.(1)证明设=a,=b,=c,且正四面体的棱长为1,有|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=a·c.
则(a+b+c),(b+c-5a),
(a+c-5b),(a+b-5c),∴(b+c-5a)·(a+c-5b)=(18a·b-9|a|2)==0.∴,即AO⊥BO.
同理AO⊥CO,BO⊥CO.∴AO,BO,CO两两垂直.
(2)解∵=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c),∴||=,
||=,
(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=.
∴cos<>=.
∵<>∈[0,π],∴<>=.
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