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2025湘教版数学选择性必修第二册
2.3.1　空间向量的分解与坐标表示
A级 必备知识基础练
1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若=x+y+z,则(x,y,z)=(　　)
A.(1,1,1) B.(1,1,-1)
C.(1,-1,1) D.(-1,1,1)
2.(多选题)设{a,b,c}为空间的一组基,则下列选项中正确的是(　　)
A.a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一组基
B.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
C.对空间中的任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc
D.存在有序实数对,使得c=xa+yb
3.在标准正交基{a,b,c}下,已知{a+b,a-b,c}是空间的另一组基.若向量p在基{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基{a+b,a-b,c}下的坐标为 (　　)
A.(4,0,3) B.(1,2,3)
C.(3,1,3) D.(2,1,3)
4.已知空间A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若=6-4+λ,则λ=(　　)
A.2 B.-2 C.1 D.-1
5.(多选题)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形,且=a,=b,=c,则(　　)
A.a-b-c=
B.a+b+c=
C.a+b-c=
D.a-b+c=
6. 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,建立如图所示的空间直角坐标系,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,则的坐标为　　　　　.
7. 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,设=a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为　　　　　.
8. 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.
(1)证明:A,E,C1,F四点共面;
(2)若=x+y+z,求x+y+z的值.
B级 关键能力提升练
9. 我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,四棱锥P-ABCD为阳马,PA⊥平面ABCD,且EC=2PE,若=x+y+z,则x+y+z=(　　)
A.1 B.2 C. D.
10.(多选题)若{a,b,c}构成空间的一组基,则下列向量共面的是(　　)
A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-b
C.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c
11.(多选题)已知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线,则下列式子中能使{}成为空间的一个基的是(　　)
A.
B.+2
C.+2+3
D.=3-2
12. 已知在棱长为2的正四面体ABCD中,以△BCD的中心O为坐标原点,OA为z轴,OC为y轴建立空间直角坐标系,如图所示,M为AB的中点,则的坐标为　　　　　.
13.已知空间四边形OABC各边及其对角线OB,AC的长都是6,=2=x+y+z,则x+y+z=　　　　,OG的长为　　　　.
14.已知{e1,e2,e3}为空间的一组基,且=2e1-e2+3e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3.
(1)判断P,A,B,C四点是否共面.
(2)能否以{}作为空间的一组基 若能,试以这一组基表示;若不能,请说明理由.
C级 学科素养创新练
15. 在如图所示的平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,已知AB=AA'=AD,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,,N为C'D'上一点,且=λ,若DM⊥AN,则λ=(　　)
A. B. C. D.
16.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.
2.3.1　空间向量的分解与坐标表示
1. D　连接B1D1,,又,∴=x+y+z,∴x=-1,y=1,z=1,故选D.
2.AC　设a+b=x(b+c)+y(c+a)=ya+xb+(x+y)c,x,y∈R,则无解,即a+b,b+c,c+a不共面,所以一定能构成空间的一组基,故A正确;
若a⊥b,b⊥c,不能推出a⊥c,故B错误;
由空间向量基本定理知,空间中的任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc,故C正确;
若c=xa+yb,则a,b,c共面,不能构成空间向量的一组基,故D错误.故选AC.
3.C　设向量p在基{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc,
又向量p在基{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则p=4a+2b+3c,
所以4a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc,即4a+2b+3c=(x+y)a+(x-y)b+zc,
所以解得
所以向量p在基{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3).故选C.
4.B　=6-4+λ,即=6-4+λ,整理得=6-3+λ.
由A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,可得6-3+λ=1,解得λ=-2.故选B.
5. BC　由=b+c-a,可知A选项错误;
由=a+b+c,可知B选项正确;
=a+b-c,可知C选项正确;
-()=b-a-c,可知D选项错误.
6.(-,0,)　∵PA=AD=AB=1,且PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,∴M(0,,0),P(0,0,1),C(-1,1,0),则N(-).∴=(-,0,).
7.a-b+c　)=a-b+c.
8.(1)证明因为=()+()=()+()=,
所以共面,
又三者有公共点A,所以A,E,C1,F四点共面.
(2)解因为-()==-,
所以x=-1,y=1,z=,
所以x+y+z=-1+1+.
9.A　因为EC=2PE,
所以,
所以
=
=)-
=
=-()
=
=,
又=x+y+z,所以则x+y+z=1.
故选A.
10.ABD　因为b=[(b+c)+(b-c)],故b+c,b,b-c共面;因为a=[(a+b)+(a-b)],故a,a+b,a-b共面;因为c=a+b+c-(a+b),故a+b,a+b+c,c共面;对于C,若a+b,a-b,c共面,则存在实数λ,μ,使得c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b,故a,b,c共面,这与{a,b,c}构成空间的一组基矛盾.故选ABD.
11.AC　对于选项A,因为,且≠1,由平面向量基本定理知点M不在平面ABC内,向量能构成空间的一组基;
对于选项B,因为+2,由平面向量基本定理知向量共面,不能构成空间的一组基;
对于选项C,由+2+3,1+2+3≠1,由平面向量基本定理可知三向量不共面,因此能构成空间的一组基;
对于选项D,由=3-2,由平面向量的基本定理知向量共面,因此三向量不能构成空间的一组基.故选AC.
12.(,-)　易知△BCD的中线长为×2=,则OC=.
所以OA=.
设i,j,k分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,x轴与BC的交点为E,则OE=BD=,
所以)=)=)=)]=i-j+k,
所以=(,-).
13. 1　5　四边形OABC为正四面体,)=)+)=.
∴x+y+z=1.
又=6×6×cos 60°=18,
×36+×36+×36+×18+×18+×18=25.
所以||=5.
14.解(1)假设P,A,B,C四点共面,则存在实数x,y,z,使=x+y+z,且x+y+z=1,
即2e1-e2+3e3=x(e1+2e2-e3)+y(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3).
又e1,e2,e3不共面,所以解得与x+y+z=1矛盾,故P,A,B,C四点不共面.
(2)若共面,则存在实数m,n,使=m+n,同(1)可得关于m,n的方程无解,所以不共面,因此{}可以作为空间的一组基.
令=a,=b,=c,由e1+2e2-e3=a,-3e1+e2+2e3=b,e1+e2-e3=c,得所以=2e1-e2+3e3=2(3a-b-5c)-(a-c)+3(4a-b-7c)=17a-5b-30c=17-5-30.
15.D　令=a,=b,=c,
因为AB=AA'=AD,
所以|a|=|b|=|c|,令|a|=|b|=|c|=m(m>0),
因为,所以=-=-b+a+b=a-b.
因为=λ,所以+λ=c+b+λa.
因为DM⊥AN,所以=0,
所以(a-b)·(c+b+λa)=0,
所以a·c+a·b+λa2-b·c-b2-λa·b=0.
因为∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,|a|=|b|=|c|=m(m>0),
所以m2+m2+λm2-m2-m2-λm2=0,
所以+λ-λ=0,解得λ=,
故选D.
16.证明设=a,=c,=b,有a·b=0,a·c=0,b·c=0.
则)=)=)=(-a+b+c),=a+b.∴(-a+b+c)·(a+b)=(|b|2-|a|2)=0.
∴,即EF⊥AB1.同理EF⊥B1C.
∵AB1∩B1C=B1,∴EF⊥平面B1AC.
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