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2025湘教版数学选择性必修第二册
第2章2.3.2　空间向量运算的坐标表示
A级 必备知识基础练
1.已知向量m=(1,2,λ),n=(2,2,1),p=(2,1,1),满足条件(p-m)⊥n,则λ的值为(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.若向量a=(2,0,-1),向量b=(0,1,-2),则2a-b=(　　)
A.(-4,1,0) B.(-4,1,-4)
C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4)
3.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为,则λ=(　　)
A.2 B.-2
C.-2或 D.2或-
4.(多选题)在四面体P-ABC中,P(0,0,3),A(2,2,5),B(1,3,2),C(3,1,2),则以下选项正确的有(　　)
A.=(-1,1,-3) B.||=||
C. D.=11
5.(多选题)已知向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),向量a与b平行,向量c与b垂直,则(　　)
A.x=y=-1
B.z=1
C.a+c的模为5
D.向量a与b的夹角为180°
6.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1)满足条件(c-a)·2b=-2,则x=　　　　　.
7.已知空间向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1).
(1)若a∥c,求|c|;
(2)若b⊥c,求cos的值.
B级 关键能力提升练
8.已知向量a=(-1,2,1),b=(1,1,-1),则下列说法不正确的是(　　)
A.a⊥b
B.|a|>|b|
C.cos=
D.|a+b|=|a-b|
9.(多选题)已知空间向量a=(1,1,1),b=(-1,0,2),则下列正确的是(　　)
A.a+b=(0,1,3)
B.|a|=
C.a·b=2
D.=
10.[2024山东烟台高二月考]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段BD1上,且=λ(0<λ<1).当∠APC为锐角时,实数λ的取值范围为(　　)
A.0,
B.,1
C.0,
D.,1
11.已知2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a·c=4,|b|=12,则=　　　　　.
12.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱B1C1,DD1上的点,如果BE⊥平面A1B1F,则C1E与D1F长度之和为　　　　　.
13.若a=(2,3,-1),b=(-2,1,3),则以a,b为邻边的平行四边形的面积是　　　　　.
14.在空间直角坐标系A-xyz中,E(0,0,1),B(1,0,0),F(0,2,2),C(a,2,0).
(1)求向量在向量上的投影.
(2)是否存在实数a,使得点E,F,C,B共面 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
学科素养创新练
15. 在通用技术课上,老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD,并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案:第一步,过点A作一个平面分别交PB,PC,PD于点E,F,G,得到四棱锥P-AEFG;第二步,将剩下的几何体沿平面ACF切开,得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中,为方便切割,需先在模型表面画出截面四边形AEFG,若,则的值为　　　　　.
16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,问当点N位于线段AB何处时,MN⊥MC1
2.3.2　空间向量运算的坐标表示
1.A　因为p-m=(1,-1,1-λ),所以(p-m)·n=1×2+(-1)×2+(1-λ)×1=0,解得λ=1.故选A.
2.C　因为向量a=(2,0,-1),向量b=(0,1,-2),
所以2a-b=2(2,0,-1)-(0,1,-2)=(4,-1,0).故选C.
3.C　因为a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),
所以a·b=6-λ,|a|=,|b|==3,
由题知,3=6-λ,即55λ2+108λ-4=0,解得λ=-2或λ=.故选C.
4.AB　因为=(-1,1,-3),所以选项A正确;
因为=(-1,1,-3),=(1,-1,-3),
所以有||=,||=,因此选项B正确;
因为=(2,2,2),=(1,-1,-3),所以有=2-2-6=-6≠0,因此选项C不正确;
因为=(-1,1,-3),=(1,-1,-3),所以=-1-1+9=7,因此选项D不正确.故选AB.
5.ABD　因为向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),向量a与b平行,向量c与b垂直,所以b·c=0,a=λb,即解得故A,B选项正确;
a+c=(2,2,3),|a+c|=,故C选项错误;
因为a=-b,所以向量a与b互为相反向量,夹角为180°,故D选项正确.故选ABD.
6.2　c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),由(c-a)·2b=-2得2(1-x)=-2,解得x=2.
7.解(1)空间向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1),因为a∥c,所以存在实数k,使得c=ka,
所以
解得x=1,则|c|=.
(2)因为b⊥c,则b·c=-x+0-2=0,解得x=-2,
所以c=(-2,2,-1),故cos=.
8.C　因为向量a=(-1,2,1),b=(1,1,-1),所以a·b=-1×1+2×1+1×(-1)=0,故a⊥b,所以选项A正确;
|a|=,|b|=,所以|a|>|b|,故选项B正确;
a+b=(0,3,0),所以cos=,故选项C错误;
a-b=(-2,1,2),所以|a+b|=3,|a-b|=3,故|a+b|=|a-b|,所以选项D正确.故选C.
9.AB　∵向量a=(1,1,1),b=(-1,0,2),
∴a+b=(1,1,1)+(-1,0,2)=(0,1,3),则A正确;
∴|a|=,则B正确;
∴a·b=1×(-1)+1×0+1×2=1,则C错误;
∴cos=≠cos,则D错误.
故选AB.
10.C　如图,
建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,
则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),
则=(1,1,-1),所以=λ=(λ,λ,-λ),
所以=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1),=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1),
由图可知,∠APC≠0,
所以∠APC为锐角等价于cos∠APC>0,
所以=(1-λ,-λ,λ-1)·(-λ,1-λ,λ-1)=(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2=(λ-1)(3λ-1)>0,
又0<λ<1,解得0<λ<.故选C.
11.　(2a+b)·c=2a·c+b·c=-10,
又a·c=4,∴b·c=-18,又|c|=3,|b|=12,
∴cos==-,
∵∈[0,π],∴=.
12. 1　设C1E=x(0≤x≤1),D1F=y(0≤y≤1),以D为坐标原点,分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),E(x,1,1),F(0,0,1-y),A1(1,0,1),则=(x-1,0,1),=(1,0,y).
因为BE⊥平面A1B1F,所以BE⊥FA1,则=x-1+y=0 x+y=1,即C1E,D1F的长度和为1.
13.6　|a|=,|b|=.设θ为a与b的夹角,则cos θ==-,所以sin θ=.
所以S平行四边形=|a||b|sin θ=14×=6.
14.解(1)因为E(0,0,1),B(1,0,0),F(0,2,2),C(a,2,0),所以=(0,2,1),=(a-1,2,0).
所以向量在向量上的投影为.
(2)=(1,0,-1),=(0,2,1),=(a-1,2,0),若点E,F,C,B共面,则存在实数x和y使得=x+y,
所以
解得
所以存在实数a=2使得点E,F,C,B共面.
15.　建立如图所示空间直角坐标系.
设P(0,0,b),A(a,0,0),B(0,a,0),D(0,-a,0),C(-a,0,0)(a,b均不为0),
则=(0,a,-b),=(-a,0,-b),=(0,-a,-b),=(a,0,-b),
所以=0,,-,=-,0,-.
由题意A,E,F,G四点共面,则=x+y+z,其中x+y+z=1.
设=λ=(0,-aλ,-bλ),λ∈(0,1),
所以(a,0,-b)=x0,,-+y-,0,-+z(0,-aλ,-bλ)=--aλz,--bλz.
由方程组
即
解得λ=,即.
16. 解以A为坐标原点,棱AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.设正方体的棱长为a,则M,C1(a,a,a).
设N(x,0,0),则.
由=xa-=0,得x=.
所以点N的坐标为,即N为线段AB的四等分点且靠近点A时,MN⊥MC1.
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