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2025湘教版数学选择性必修第二册
第2章2.4.3　向量与夹角
A级 必备知识基础练
1.已知平面α的一个法向量为n=(1,-1,0),则y轴与平面α所成的角的大小为(　　)
A. B. C. D.
2.已知异面直线a,b的方向向量分别是m=(2,1,-3),n=(1,-3,2),则a,b夹角的大小是(　　)
A. B. C. D.
3. 如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为(　　)
A.(1,1,1) B.(1,1,)
C.(1,1,) D.(1,1,2)
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,则直线AE与平面ABC1D1所成角的余弦值是(　　)
A. B. C. D.
5.如图,矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面,AB=2,AD=3,点E在上底面圆周上,且=2,则异面直线AE与O2C所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
6.在一个锐二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为　　　　　.
7. [人教B版教材例题]如图所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=1,AA1=2,且D是AA1的中点.求平面BDC与平面BDC1所成角的大小.
B级 关键能力提升练
8. 在如图所示的圆锥中,S是圆锥的顶点,正三角形ABC的顶点在底面圆周上,D是母线SA的中点,若该圆锥的母线长是底面半径的2倍,则异面直线AC与BD夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E在线段CD1上,若直线BE与AD1夹角的余弦值为,则线段BE的长为(　　)
A. B. C. D.
10.[2024广东东莞高二月考]古代城池中的“瓮城”,又叫“曲池”,是加装在城门前面或里面的又一层门,若敌人攻入瓮城中,可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体.若AA1垂直于半圆柱下底面半圆所在平面,AA1=3,AB=4,CD=2,点E为弧A1B1的中点,则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
11.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=AD=1,P为线段AD1上的动点,则PB1与平面BCC1B1所成角的余弦值的最小值为(　　)
A. B. C. D.
12. 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为,则正四棱柱的高为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
13. 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AD=2BC=2,AB=,E为CD中点.
(1)求证:CD⊥平面PAE;
(2)若PA=,求二面角A-PB-E的余弦值.
14. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,AP∥CQ,AB=2BC=2,CQ=AP=3.
(1)求直线PD与平面BPQ所成角的正弦值;
(2)求平面APQ与平面BPQ所成角的余弦值.
15. [2023全国新高考卷Ⅰ,18(2)]如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.
C级 学科素养创新练
16. 三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,点P在棱A1B1上,且满足=λ(0≤λ≤1).求当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时λ的值.
2.4.3　向量与夹角
1.B　易知y轴的方向向量为m=(0,1,0),解得sin α=|cos|=||=,则α=.故选B.
2.C　∵异面直线a,b的方向向量分别是m=(2,1,-3),n=(1,-3,2).∴cos==-.∵异面直线a,b夹角的取值范围为(0,],
∴a,b夹角的大小是.故选C.
3.A　设|PD|=a(a>0),则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E(1,1,),
∴=(0,0,a),=(-1,1,).
∵cos<>=,∴=a,
∴a=2,∴E的坐标为(1,1,1).故选A.
4.A　如图,
以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,
则A(2,0,0),E(2,1,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),=(0,2,0),=(-2,0,2),=(0,1,2),
设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z),
则
∴令x=1,则n=(1,0,1).
设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=,于是直线AE与平面ABC1D1所成角的余弦值为.故选A.
5. B　根据题意可得O2为坐标原点,O2B,O2O1所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则O2(0,0,0),A(0,-1,0),C(0,1,3),E(,-,3),故=(,3),=(0,1,3),故cos<>=,故异面直线AE与O2C所成角的余弦值为.故选B.
6.　设这两个向量分别为a=(0,-1,3),b=(2,2,4),
∴a·b=0×2+(-1)×2+3×4=10,|a|=,|b|==2,
∴cos=,
∴这个锐二面角的余弦值为.
7.解依题意,CA,CB,CC1两两互相垂直.以C为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2),
所以=(0,1,0),=(1,0,1),=(-1,0,1),=(0,-1,2).
设平面BDC的一个法向量为n=(x1,y1,z1),
则
令z1=1,则得x1=-1,y1=0,此时n=(-1,0,1).
设平面BDC1的一个法向量为m=(x2,y2,z2),
则
令z2=1,则得x2=1,y2=2,此时m=(1,2,1).因为n·m=0,所以=90°,从而可知平面BDC与平面BDC1所成角的大小为90°,也就是说,这两个平面是互相垂直的.
8. A　因为圆锥的母线长是底面半径的2倍,所以母线长与底面直径相等,设底面半径为1,以底面圆心O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,1,0),B(-,-,0),C(,-,0),D(0,),=(,-,0),=(,1,),则cos<>==-,故异面直线AC与BD所成角的余弦值为.故选A.
9.B　连接AD1,BE,分别以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),C(0,1,0).设E(0,t,1-t),则=(-1,0,1),=(-1,t-1,1-t).∵直线BE与AD1夹角的余弦值为,∴|cos<>|=,
解得t==(-1,-),
∴||=.故选B.
10.D　在
半圆柱下底面半圆所在平面内过点A作直线AB的垂线,由于AA1垂直于半圆柱下底面半圆所在平面,则以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,于是A(0,0,0),B(0,4,0),C(0,3,0),D(0,1,0),A1(0,0,3),B1(0,4,3),C1(0,3,3),D1(0,1,3),
又点E为弧A1B1的中点,则E(2,2,3),=(2,-2,0),=(0,-3,-3),=(2,-1,3),
设平面DEB1的法向量n=(x,y,z),
则令x=1,得n=(1,1,-1),
设直线CE与平面DEB1所成角为θ,则sin θ=
|cos<,n>|==
,所以直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为.
故选D.
11. D　建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,1,0),B1(1,1,2),P(a,0,2-2a)(0≤a≤1).
∵CD⊥平面BCC1B1,∴平面BCC1B1的法向量为=(0,1,0).
∵=(a-1,-1,-2a),
设PB1与平面BCC1B1所成角为α,
∴cos α=
=
=
=.
∵5a2-2a+2=5,
∴(cos α)min=.故选D.
12. C　以D为原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建立空间坐标系如图所示,设DD1=a,则A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,a),D1(0,0,a).则=(-2,2,0),=(-2,0,a),=(0,0,a),
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则
∴
令x=1可得n=(1,1,),
故cos=.
∵直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为,
∴,解得a=4.故选C.
13. (1)证明连接AC,如图所示.在Rt△ABC中,AC==2,AC=AD,△ACD为等腰三角形,E为CD中点,
∴CD⊥AE.
又PA⊥平面ABCD,DC 平面ABCD,
∴PA⊥CD.
又CD⊥AE,且PA∩AE=A,
∴CD⊥平面PAE.
(2)解以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(,0,0),P(0,0,),E(,0),
∴=(-,0,),=(,-).
又易知平面PAB的一个法向量m=(0,1,0),
设平面PBE的一个法向量为n=(x,y,z),
则
取n=(,1,),设二面角A-PB-E的平面角为θ,
则cos θ=,
∴二面角A-PB-E的余弦值为.
14.解(1)因为PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,
以点A为坐标原点,DA,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0),P(0,0,2),Q(-1,2,3),设平面BPQ的法向量为m=(x1,y1,z1),=(0,-2,2),=(-1,0,3),
由
取z1=1,可得m=(3,1,1),=(-1,0,-2),
则cos<,m>==-,
因此,直线PD与平面BPQ所成角的正弦值为.
(2)设平面APQ的法向量为n=(x2,y2,z2),=(0,0,2),=(-1,2,3),由取y2=1,可得n=(2,1,0),cos=.
因此,平面APQ与平面BPQ所成角的余弦值为.
15.解在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以点C为坐标原点,CD,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意可知,A2(2,2,1),C2(0,0,3),D2(2,0,2),设点P(0,2,a),其中0≤a≤4.
=(2,2,-2),=(2,0,-1),=(0,2,a-3).
设平面A2C2D2的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则
取x1=1,可得y1=1,z1=2,故n1=(1,1,2).
设平面PA2C2的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则取z2=2,可得x2=a-1,y2=3-a,故n2=(a-1,3-a,2).
因为二面角P-A2C2-D2为150°,所以|cos|=,整理可得a2-4a+3=0,解得a=1或a=3.
结合图形可知,当a=3或a=1时,B2P=1,此时二面角P-A2C2-D2为150°.
16. 解如图,以AB,AC,AA1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,则P(λ,0,1),N(,0),=(-λ,,-1),平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1).
设直线PN与平面ABC所成的角为θ,
∴sin θ=,
∴当λ=时,(sin θ)max=,此时角θ最大.
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