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2025湘教版数学选择性必修第二册
第2章2.4.4　向量与距离
A级 必备知识基础练
1.已知a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,A(1,0,0)为α内的一点,则点D(1,1,2)到平面α的距离为(　　)
A. B. C. D.
2.直线l的方向向量为m=(1,1,0),且l过点A(1,1,1),则点P(2,2,-1)到直线l的距离为(　　)
A. B. C.2 D.3
3.空间直角坐标系中A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,则平面α与平面β间的距离为(　　)
A. B. C. D.
4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则点A到直线B1E的距离为(　　)
A. B.1 C. D.
5.已知点M(-1,1,-2),平面π过原点O,且垂直于向量n=(1,-2,2),则点M到平面π的距离是　　　　　.
6.已知平面α的法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内.若点P(-2,1,4)到平面α的距离d为,则x=　　　　　.
7. [人教B版教材例题]如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,PA=1.求点D到平面PBC的距离.
B级 关键能力提升练
8.(多选题)已知平面α的法向量为n=(-1,-2,2),点A(x2,2x+1,2)为α内一点.若点P(0,1,2)到平面α的距离为4,则x的值为(　　)
A.2 B.1 C.-3 D.-6
9. 如图,在圆锥SO中,AB是底面圆O的直径,SO=AB=4,AC=BC,D为SO的中点,N为AD的中点,则点N到平面SBC的距离为(　　)
A. B.
C.1 D.2
10.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　)
A. B. C. D.
11.在三棱柱ABC-A1B1C1中,=(-6,2,-8),=(4,-2,3),=(-4,1,0),则该三棱柱的高为　　　　　.
12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1,已知点H,A,C1三点共线,且=0,则点H到平面ABCD的距离为　　　　　.
13.PA,PB,PC是从点P出发的三条线段,每两条线段的夹角均为60°,PA=PB=PC=1,AB=1.若点M满足+2+3,则点M到直线AB的距离为　　　　　.
14. 如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离;
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
C级 学科素养创新练
15.[北师大版教材例题]已知向量=(1,0,0),=(0,2,0),=(4,3,3),对任意的实数a,b,当向量n=-(a+b)的长度最小时,求a,b的值.
16. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.
(1)求A1B与平面ABD所成角的余弦值;
(2)求点A1到平面AED的距离.
2.4.4　向量与距离
1.A　依题意,=(0,1,2),而a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,所以点D(1,1,2)到平面α的距离d=.故选A.
2.C　∵A(1,1,1),P(2,2,-1),
∴=(1,1,-2),又m=(1,1,0),
∴在m方向上的投影为||·cos<,m>=,∴点P到直线l的距离d==2.故选C.
3.A　由已知得=(1,1,1),=(-2,2,1),=(1,0,0),设向量n=(x,y,z)与向量都垂直,则取x=1,则n=(1,3,-4),又平面α∥平面β,因此平面α与平面β间的距离d=.
4. B　建立如图所示的空间直角坐标系,连接B1A,B1E,由已知得A(0,0,0),E(0,1,),B1(1,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,-),所以上的投影为=1,所以点A到直线B1E的距离为=1.故选B.
5.　由题意,=(1,-1,2),n=(1,-2,2),
∴·n=1+2+4=7.设与n的夹角为α,则由·n=||·|n|cos α可知点M到平面π的距离为d=.
6.-1或-11　由题意=(x+2,2,-4),由空间中点到平面距离的向量公式d=,即,解得x=-1或-11.
7.解依题意,AB,AD,AP是两两互相垂直的.
以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以=(0,1,0),=(-1,0,1),=(0,1,-1).
设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令z=1,则得x=1,y=0,此时n=(1,0,1).
因为,
所以点D到平面PBC的距离为.
8.AD　由向量法可知,∵=(0,1,2)-(x2,2x+1,2)=(-x2,-2x,0),n=(-1,-2,2),
∴·n=x2+4x,|n|==3,由点P(0,1,2)到平面α的距离为4,由点P到平面α的距离公式为d==4,解得x=2或x=-6.故选AD.
9.B　因为AC=BC,O为AB的中点,则OC⊥AB,
由圆锥的几何性质可知SO⊥平面ABC,
以点O为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则S(0,0,4),B(0,-2,0),C(2,0,0),A(0,2,0),D(0,0,2),N(0,1,1).
设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),=(2,2,0),=(0,2,4),
则
取y=-2,可得n=(2,-2,1),
又因为=(0,3,1),所以点N到平面SBC的距离为d=.故选B.
10.D　由正方体的性质知AB1∥DC1,D1B1∥DB,AB1∩D1B1=B1,DC1∩DB=D,且AB1 平面AB1D1,D1B1 平面AB1D1,DC1 平面BDC1,DB 平面BDC1,所以平面AB1D1∥平面BDC1,则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.
以D为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.
由正方体的棱长为1,所以A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),C(0,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),
所以=(1,-1,1),=(0,-1,0),=(0,1,1),=(-1,-1,0).
连接A1C,由=(1,-1,1)·(0,1,1)=0,=(1,-1,1)·(-1,-1,0)=0,
所以CA1⊥AB1,CA1⊥B1D1,AB1,B1D1 平面AB1D1,且AB1∩B1D1=B1,可知CA1⊥平面AB1D1,得平面AB1D1的一个法向量为=(1,-1,1),
则两平面间的距离d===.故选D.
11.2　由题意知=(-4,1,0),依题意三棱柱的高即点A1到平面ABC的距离d.
设n=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,
则
令x=1,解得y=4,z=,
∴n=(1,4,).
∴d==2.
12.　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B1(2,0,1),C1(2,2,1),=(2,2,1),因为点H,A,C1三点共线,
令=t=(2t,2t,t),点H(2t,2t,t),则=(2t-2,2t,t-1),又=0,则2t(2t-2)+4t2+t(t-1)=0,解得t=.
所以点H()到平面ABCD的距离为.
13.3　由=2+3可知||=,而=(2+3)·()=2-2+3-3=2-2×1×1×+3×1×1×-3×1×1×=1,因此点M到直线AB的距离d==3.
14. 解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,,0),F(,1,0),=(1,,-1),=(,1,-1),=(0,0,1).设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),
则
解得x=y,令x=y=2,得n=(2,2,3),
因此点D到平面PEF的距离为.
(2)由(1)知=(-1,0,1),因为E,F分别为AB,AC的中点,所以EF∥AC,
又EF 平面PEF,AC 平面PEF,
所以AC∥平面PEF,
所以AC到平面PEF的距离为.
15. 解如图所示,=a+b,n=-(a+b),要使向量n=-(a+b)的长度最小,也就是线段MY的长度最短.
由点到平面距离的定义,当且仅当n⊥平面Oxy时,线段MY的长度最短.这时,由n=-(a+b)=(4-a,3-2b,3),=(1,0,0),=(0,2,0),
得
即解得
所以当n=-(a+b)的长度最小时,a=4,b=.
16. 解(1)连接BG,则BG是BE在平面ABD内的射影,即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角.
建立如图所示的空间直角坐标系,坐标原点为C.
设CA=2a(a>0),则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),
A1(2a,0,2),E(a,a,1),G.
∴=(0,-2a,1).
∴=-a2+=0,解得a=1.
∴=(2,-2,2),.
∴cos∠A1BG=.
(2)由(1)有A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1),则=(-1,1,1)·(-1,-1,0)=0,=(0,0,2)·(-1,-1,0)=0,∴ED⊥平面AA1E.
又ED 平面AED,∴平面AED⊥平面AA1E.
又平面AED∩平面AA1E=AE,
∴点A1在平面AED上的射影K在AE上.
设=λ(λ∈R),则=(-λ,λ,λ-2).由=0,得λ+λ+λ-2=0,解得λ=.
∴.
∴||=.
故点A1到平面AED的距离为.
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