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2025湘教版数学选择性必修第二册
第3章3.1　条件概率与事件的独立性
3.1.1　条件概率
A级 必备知识基础练
1.端午节为每年农历五月初五,又称端阳节、午日节、五月节等.端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日,以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开,传播至华夏各地,民俗文化共享,屈原之名人尽皆知,追怀华夏民族的高洁情怀.小华的妈妈为小华煮了8个粽子,其中5个甜茶粽和3个艾香粽,小华随机取出两个,事件A为“取到的两个为同一种馅”,事件B为“取到的两个都是艾香粽”,则P(B|A)=(　　)
A. B. C. D.
2.某高中的小明同学每天坚持骑自行车上学.他在骑自行车上学途中必须经过2个路口,经过一段时间在各路口是否遇到红灯统计分析发现如下规律:经过2个路口时在第一个路口遇到红灯的概率是,连续两次遇到红灯的概率是.小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下,第2个路口也遇到红灯的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.口袋中装有大小形状相同的红球3个、白球3个,小明从中不放回地逐一取球,在第一次取得红球的条件下,第二次取得白球的概率为(　　)
A.0.4 B.0.5
C.0.6 D.0.75
4.已知100个产品中,有83个产品长度合格,90个产品质量合格,80个产品长度和质量都合格.现在,任取一个产品,若它的质量合格,则它长度合格的概率为(　　)
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是(　　)
A.P(B|A)B.P(B|A)=是可能的
C.0D.P(A|A)=0
6.临夏刺绣是传统民间工艺,历史悠久,享有“一针一世界,一绣一繁华”的美誉,2018年被列为市级非物质文化遗产名录、刺绣精巧别致、种类多样.现有两人都准备从“床布、门帘、中堂、墙帱”四个物体中随机购买一个,设事件A为“两人至少有一人购买墙帱”,事件B为“两人选择的物件不同”,则P(B|A)=　　　　　.
7.袋中装有编号为1,2,…,10的10个球,先从袋中一次性任取两个球,在取出的两个球编号之和为偶数的条件下,2号球被取出的概率为　　　　　.
8.[北师大版教材例题]一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动取款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:
(1)任意按最后一位数字,不超过两次就按对的概率;
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过两次就按对的概率.
B级 关键能力提升练
9.将三枚骰子各掷一次,设事件A为“三个点数都不相同”,事件B为“至少出现一个6点”,则P(A|B)等于(　　)
A. B.
C. D.
10.一个家庭有两个小孩,假设生男生女是等可能的,已知这个家庭有一个是女孩的条件下,另一个也是女孩的概率是(　　)
A. B.
C. D.
11.设A,B是两个事件,且B发生A必定发生,0A.P(A+B)=P(B)
B.P(B|A)=
C.P(A|B)=1
D.P(AB)=P(A)
12.由“0,1,2”组成的三位数密码中,若用A表示“第二位数字是2”的事件,用B表示“第一位数字是2”的事件,则P(A|B)=　　　　　.
13.[2024甘肃张掖高三模拟]为推进共同富裕,我国西部某县政府派出含甲、乙、丙在内的6名农业专家,并分配到3个村庄进行农业技术指导,要求每个村庄至少分配到1名专家,每名专家只能去1个村庄,则在甲、乙两名专家不能分配在同一村庄的前提下,甲、丙两名专家恰好分配在同一村庄的概率为　　　　　.
14.某校在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣小组活动,其中有个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型,并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案,作为春节的吉祥物.两个兴趣小组各派一名成员将模型随机抛出,两人都希望能抛出虎的图案朝上,寓意虎虎生威.两人各抛一次,在第一人抛出虎的图案朝上时,两人心愿均能达成的概率为　　　　　.
15.一袋中有6个黑球、4个白球.
(1)依次取出3个球,不放回,已知第一次取出的是白球,求第三次取到黑球的概率;
(2)有放回地依次取出3个球,已知第一次取出的是白球,求第三次取出的是黑球的概率.
16.抛掷红、蓝两枚骰子,记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”,事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”,求:
(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率;
(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率.
C级 学科素养创新练
17.盒子里放着三张卡片,一张卡片两面都是红色,一张卡片两面都是黑色,剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色.现在随机抽出一张卡片,并展示它的一面的颜色.假设是红色,那么剩下的一面也是红色的概率是多少
考察下面的解法:随意从三张卡片中抽出一张,抽到任何一张都是等概率的.如果抽出的这张展示的一面是红色,那么这张卡片有可能是两面全是红色的那张,也可能是一面红一面黑的那张,因此抽到的是两面全红的那张卡片的概率是.
好像很简单,但请再换个问题研究一下:如果展示出来的那一面是黑色,由上面的思路可得抽到两面全是黑色的卡片的概率也是.所以,不管我们看到的是什么颜色,抽到两面同色的卡片的概率都是.这意味着虽然三张卡片中只有两张是同色的卡片,但随机抽到其中任何一张的概率都是.肯定什么地方出错了.请问:上述解法中,哪里出现错误呢
3.1.1　条件概率
1.B　由题意,P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=.故选B.
2.C　设“小明同学在第1个路口遇到红灯”为事件A,“小明同学在第2个路口遇到红灯”为事件B,则由题意可得P(A)=,P(AB)=,则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下,第2个路口也遇到红灯的概率为P(B|A)=.故选C.
3.C　记“第一次取得红球”为事件A,“第二次取得白球”为事件B,则P(A)=,P(AB)=,于是得P(B|A)==0.6,所以在第一次取得红球的条件下,第二次取得白球的概率为0.6.
4.C　设A=“产品的长度合格”,B=“产品的质量合格”,则AB=“产品的长度和质量都合格”,则P(B)=,P(AB)=,所以在B发生的条件下A发生的概率为P(A|B)=.
5.B　由条件概率公式P(B|A)=及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB),故A选项错误;当事件A包含事件B时,有P(AB)=P(B),此时P(B|A)=,故B选项正确;由于0≤P(B|A)≤1,P(A|A)=1,故C,D选项错误.故选B.
6.　P(A)=,P(AB)=,
所以P(B|A)=.
7.　记事件A为“取出的两个球编号之和为偶数”,事件B为“2号球被取出”,则P(A)=,P(AB)=,∴P(B|A)=,即在取出的两个球编号之和为偶数的条件下,2号球被取出的概率为.
8.解 设事件Ai(i=1,2)表示“第i次按对密码”,事件A表示“不超过两次就按对密码”,则A=A1∪(A2).
(1)依题意知事件A1与事件A2互斥,由概率的加法公式得P(A)=P(A1)+P(A2)=.
故任意按最后一位数字,不超过两次就按对的概率为.
(2)设事件B表示“密码的最后一位数字按偶数”,则P(A|B)=P(A1|B)+P(A2|B)=.
故如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过两次就按对的概率是.
9.A　∵P(A|B)=,P(AB)=,
P(B)=1-P()=1-=1-.
∴P(A|B)=.故选A.
10.D　一个家庭中有两个小孩只有4种可能:(男,男),(男,女),(女,男),(女,女).记事件A为“其中一个是女孩”,事件B为“另一个是女孩”,则A={(男,女),(女,男),(女,女)},AB={(女,女)}.
于是可知P(A)=,P(AB)=.问题是求在事件A发生的情况下,事件B发生的概率,即求P(B|A),由条件概率公式,得P(B|A)=.
11.C　∵B发生A必定发生,∴P(A+B)=P(A),P(AB)=P(B),故A,D错误;P(B|A)=,故B错误;P(A|B)==1,故C正确.故选C.
12.　由“0,1,2”组成的三位数密码,共有3×3×3=27(个)基本事件,又由用A表示“第二位数字是2”的事件,用B表示“第一位数字是2”的事件,可得P(B)=,P(A∩B)=,所以P(A|B)=.
13.　将6名专家分配到3个村庄的不同分法有=540(种),
其中甲、乙两名专家不分配在同一村庄的分法有540-()=390(种),
甲、乙两名专家不分配在同一村庄且甲、丙两名专家分配在同一村庄的分法有=114(种).
设事件A表示“甲、乙两名专家不分配在同一村庄”,事件B表示“甲、丙两名专家恰好分配在同一村庄”,则P(A)=,P(AB)=,故所求的概率为P(B|A)=.
14.　设第一人抛出虎的图案朝上为事件A,第二人抛出虎的图案朝上为事件B,则P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=,即在第一人抛出虎的图案朝上时,两人心愿均能达成的概率为.
15.解(1)设A=“第一次取出的是白球”,B=“第二次取出的是白球”,C=“第三次取出的是白球”,则在A发生的条件下,袋中只剩6个黑球和3个白球,则P(|A)=.
(2)∵每次取之前袋中球的情况不变,
∴n次取球的结果互不影响.
∴P(|A)=P()=.
16.解(1)抛掷红、蓝两枚骰子,样本点总数为6×6=36,事件A包含的样本点数为6×2=12,
所以P(A)=.
由于3+6=6+3=4+5=5+4>8,4+6=6+4=5+5>8,5+6=6+5>8,6+6>8,
所以事件B包含的样本点数为4+3+2+1=10,
所以P(B)=,
事件AB同时发生的概率为P(AB)=,
由条件概率公式,得P(B|A)=.
(2)由(1)得P(A|B)=.
17.解考察的解法中没有考虑到已经抽出并展示出抽出的这张卡片的一面为红色或黑色,即题目属于条件概率,我们以抽出的这张展示的一面是红色为例.
正确的方法是:设抽出的这张展示的一面是红色为事件A,抽出的卡片两面全是红色为事件B,如果展示的一面是红色,且这张卡片是两面全是红色的那张为事件AB,因为P(A)=,P(AB)=,由条件概率可得P(B|A)=,当然抽出的这张展示的一面是黑色也是如此,即概率为.
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