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2025湘教版数学选择性必修第二册
第3章3.1.2　事件的独立性
A级 必备知识基础练
1.(多选题)[2024甘肃白银高二期中]分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设A=“第一枚正面朝上”,B=“第二枚正面朝上”,则下列结论正确的是(　　)
A.P(A)= B.P(AB)=
C.事件A与B不互斥 D.事件A与B相互独立
2.甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛,教练组根据训练情况,安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1,p2,p3,假设三次交接棒相互独立,则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是(　　)
A.p1p2p3
B.1-p1p2p3
C.(1-p1)(1-p2)(1-p3)
D.1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)
3.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.一辆车从甲地到乙地,恰好遇到2个红灯的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.[2024山东威海高一期末]掷红蓝两个均匀的骰子,观察朝上的面的点数,设A1=“红骰子的点数为2”,A2=“红骰子的点数为3”,A3=“两个骰子的点数之和为7”,A4=“两个骰子的点数之和为9”,则(　　)
A.A1与A2对立 B.A3与A4不互斥
C.A1与A3相互独立 D.A2与A4相互独立
5.(多选题)某社团开展“学党史知识竞赛”活动,甲、乙两人能得满分的概率分别为,两人能否获得满分相互独立,则下列说法错误的是(　　)
A.两人均获得满分的概率为
B.两人至少一人获得满分的概率为
C.两人恰好只有甲获得满分的概率为
D.两人至多一人获得满分的概率为
6.某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团,据资料统计,新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m,,n,已知三个社团他都能进入的概率为,至少进入一个社团的概率为,则m+n=　　　　　.
7.某停车场临时停车按时段收费,收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费,超过半小时的部分每小时收费3元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人在该停车场临时停车,两人停车时间互不影响且都不超过2.5小时.
(1)若甲停车的时长在不超过半小时、半小时以上且不超过1.5小时、1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同,乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同,求甲、乙两人停车付费之和为6元的概率;
(2)若甲、乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为,停车1.5小时以上且不超过2.5小时的概率分别为,求甲、乙两人临时停车付费不相同的概率.
B级 关键能力提升练
8.(多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子,观察向上的面出现的点数.下列事件中与事件“出现的点数为偶数”相互独立的事件为(　　)
A.“出现的点数为奇数”
B.“出现的点数大于2”
C.“出现的点数小于4”
D.“出现的点数小于3”
9.如图,某系统由A,B,C,D四个零件组成,若每个零件是否正常工作互不影响,且零件A,B,C,D正常工作的概率都为p(0A.[1-(1-p)p2]p
B.[1-p(1-p2)]p
C.[1-(1-p)(1-p2)]p
D.[1-(1-p)2p]p
10.(多选题)设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次.记事件A={第一个正四面体向下的一面出现偶数},事件B={第二个正四面体向下的一面出现奇数},C={两个正四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}.下列说法正确的是(　　)
A.P(A)=P(B)=P(C)
B.P(AB)=P(AC)=P(BC)
C.P(ABC)=
D.P(A)P(B)P(C)=
11.(多选题)如图所示的电路中,5个箱子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是(　　)
A.A,B两个盒子串联后畅通的概率为
B.D,E两个盒子并联后畅通的概率为
C.A,B,C三个盒子按如图混联后畅通的概率为
D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为
12.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人每射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响,则p=　　　　　.
13.某次战役中,某狙击手受命射击敌机,若要击落敌机,需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次,已知他每次射击,命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2,0.4,0.1,未命中敌机的概率为0.3,且各次射击相互独立.若他至多射击两次,则他能击落敌机的概率为　　　　　.
14.甲、乙、丙三人打靶,他们的命中率分别为p1,p2,,若三人同时射击一个目标,甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为,乙击中目标而丙没有击中目标的概率为.设事件A表示“甲击中目标”,事件B表示“乙击中目标”,事件C表示“丙击中目标”.已知A,B,C是相互独立事件.
(1)求p1,p2;
(2)写出事件A∪B∪C包含的所有互斥事件,并求事件A∪B∪C发生的概率.
15. A,B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个试验组中,服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率;
(2)观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
C级 学科素养创新练
16.为了丰富业余生活,甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下:①每场比赛有两人参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛;③依次循环,直到有一个人首先获得两场胜利,则本次比赛结束,此人为本次比赛的冠军.已知在每场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为.
(1)求甲、乙、丙三人共进行了3场比赛且丙获得冠军的概率;
(2)求甲和乙先赛且甲获得冠军的概率.
3.1.2　事件的独立性
1.ACD　抛掷两枚质地均匀的硬币,所有可能的结果有:{正,正}、{正,反}、{反,正}、{反,反},共4个样本点;
对于A,满足事件A的样本点有{正,正}、{正,反},共2个,则P(A)=,A正确;
对于B,满足事件AB的样本点有{正,正},共1个,则P(AB)=,B错误;
对于C,事件A与事件B可同时发生,∴事件A与事件B不互斥,C正确;
对于D,满足事件B的样本点有{正,正}、{反,正},共2个,则P(B)=,
∴P(AB)=P(A)P(B),∴事件A与事件B相互独立,D正确.故选ACD.
2.C　∵该组合三次交接棒失误的概率分别是p1,p2,p3,∴三次交接棒不失误的概率分别为1-p1,1-p2,1-p3,∴假设三次交接棒相互独立,因此此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是(1-p1)(1-p2)(1-p3).故选C.
3.B　从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,一辆车从甲地到乙地,恰好遇到2个红灯的概率为P=×(1-)+×(1-)×+(1-)×.故选B.
4.C　对于A,A1与A2互斥但不对立,因为红骰子的点数还有其他情况,比如4,A错误;
对于B,A3与A4不可能同时发生,故A3与A4互斥,B错误;
对于C,两个骰子的点数之和为7的情况有1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1,则P(A1)=,P(A3)=,P(A1A3)=,所以P(A1)P(A3)=P(A1A3),所以A1与A3相互独立,C正确;
对于D,两个骰子的点数之和为9的情况有3+6=4+5=5+4=6+3,P(A2)=,P(A4)=,P(A2A4)=,所以P(A2)P(A4)≠P(A2A4),D错误.故选C.
5.BCD　∵甲、乙两人能得满分的概率分别为,两人能否获得满分相互独立,分别记甲、乙能得满分的事件为M,N,P(M)=,P(N)=,
∴两人均获得满分的概率为P(MN)=P(M)P(N)=,故A正确;
两人至少一人获得满分的概率为1-P()=1-[1-P(M)][1-P(N)]=1-(1-)×(1-)=,故B错误;
两人恰好只有甲获得满分的概率为P(M)=P(M)[1-P(N)]=×(1-)=,故C错误;
两人至多一人获得满分的概率为1-P(MN)=1-,故D错误.故选BCD.
6.　他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m,,n,三个社团他都能进入的概率为,至少进入一个社团的概率为,
∴解得m+n=.
7.解(1)设甲停车付费a元,乙停车付费b元,其中a,b∈{0,3,6},
则甲、乙两人的停车费用的所有可能结果为(0,0),(0,3),(0,6),(3,0),(3,3),(3,6),(6,0),(6,3),(6,6),共9种,
其中事件“甲、乙两人停车付费之和为6元”,有(0,6),(3,3),(6,0)这3种结果,
故甲、乙两人停车付费之和为6元的概率为.
(2)设甲、乙两人停车的时长不超过半小时分别为事件A1,B1,
停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件A2,B2,
停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件A3,B3,
则P(A1)=1-P(A2)-P(A3)=1-,
P(B1)=1-P(B2)-P(B3)=1-,
所以甲、乙两人临时停车付费相同的概率为P(A1B1∪A2B2∪A3B3)=P(A1B1)+P(A2B2)+P(A3B3)=P(A1)·P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=,所以甲、乙两人临时停车付费不相同的概率为1-.
8.BD　设事件A为“出现的点数为偶数”,则P(A)=,设事件B为“出现的点数为奇数”,则P(B)=,P(B|A)=0,因为P(B)≠P(B|A),所以事件A与事件B不是相互独立事件,故选项A错误;
设事件C为“出现的点数大于2”,则P(C)=,P(C|A)=,因为P(C)=P(C|A),所以事件A与事件C是相互独立事件,故选项B正确;
设事件D为“出现的点数小于4”,则P(D)=,P(D|A)=,因为P(D)≠P(D|A),所以事件A与事件D不是相互独立事件,故选项C错误;
对于选项D,设事件E为“出现的点数小于3”,则P(E)=,P(E|A)=,因为P(E)=P(E|A),所以事件A与事件E是相互独立事件,故选项D正确.故选BD.
9.C　要使系统正常工作,则A,B都正常或C正常,D必须正常,
∴该系统正常工作的概率为P=P{[(AB)∪C]∩D]}=P[(AB)∩C]P(D)=[1-P()P()]P(D)={1-[1-P(AB)][1-P(C)]}P(D)=[1-(1-p2)(1-p)]p.故选C.
10.ABD　依题意P(A)=,P(B)=,P(C)=,故A,D对;P(AB)=,P(AC)=,P(BC)=,故B对;事件A,B,C不可能同时发生,P(ABC)=0,故C错.故选ABD.
11.CD　由于A,B两个盒子串联后畅通的概率P=(1-)×(1-)=,因此A错误;
由于D,E两个盒子并联后畅通的概率P=1-,因此B错误;
由于A,B,C三个盒子混联后畅通的概率P=1-,因此C正确;
当开关合上时,整个电路畅通的概率P=,因此D正确.故选CD.
12.　设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,则“甲射击一次,未击中目标”为事件,“乙射击一次,未击中目标”为事件,则P(A)=,P()=1-,P(B)=p,P()=1-p,依题意得×(1-p)+×p=,解得p=.
13.0.23　他每次射击,命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2,0.4,0.1,未命中敌机的概率为0.3,且各次射击相互独立.若他射击一次就击落敌机,则他击中敌机的机尾,概率为0.1;若他射击2次就击落敌机,则他2次都击中敌机的机首,概率为0.2×0.2=0.04;
或者他第一次没有击中机尾且第二次击中了机尾,概率为0.9×0.1=0.09,
若他至多射击两次,则他能击落敌机的概率为0.1+0.04+0.09=0.23.
14.解(1)甲、乙、丙三人打靶,他们的命中率分别为p1,p2,,三人同时射击一个目标,甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为,乙击中目标而丙没有击中目标的概率为.
则
解得p1=,p2=.
(2)设事件A表示“甲击中目标”,事件B表示“乙击中目标”,事件C表示“丙击中目标”,A,B,C是相互独立事件.
事件A∪B∪C包含的所有事件有ABC,AB,AC,BC,A C,
事件A∪B∪C发生的概率为P(A∪B∪C)=1-P()=1-(1-)×(1-)×(1-)=1-.
15.解(1)设Ai表示“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有i只,i=0,1,2”,
Bi表示“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只,i=0,1,2”,
依题意有P(A1)=2×,
P(A2)=,
P(B0)=,
P(B1)=2×,
所求概率为P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=.
(2)依题意这3个试验组中至少有一个甲类组的对立事件为这3个试验组中没有一个甲类组的,
所以所求事件概率P=1-(1-)3=.
16.解(1)甲、乙、丙三人共进行了3场比赛且丙获得冠军的情况有2种:
①首先甲乙比赛,甲胜,然后甲丙比赛,丙胜,再由乙丙比赛,丙胜,概率为P1=×(1-)×(1-)=;
②首先甲乙比赛,乙胜,然后乙丙比赛,丙胜,再由甲丙比赛,丙胜,概率为P2=(1-)×(1-)×(1-)=.
∴甲、乙、丙三人共进行了3场比赛且丙获得冠军的概率P=.
(2)甲和乙先赛且甲获得冠军的情况有2种:
①甲胜乙,甲胜丙的概率为P3=;
②乙胜甲,丙胜乙,甲胜丙,甲胜乙的概率为P4=(1-)×(1-)×;
③甲胜乙,丙胜甲,乙胜丙,甲胜乙的概率为P5=×(1-)×.
∴甲和乙先赛且甲获得冠军的概率P=.
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