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2025湘教版数学选择性必修第二册
第3章3.1.4　全概率公式　*3.1.5　贝叶斯公式
A级 必备知识基础练
1.在数字通信中,信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05,若发送信号0和1是等可能的,则接收信号为1的概率为(　　)
A.0.475 B.0.525 C.0.425 D.0.575
2.某种疾病的患病率为0.5%,通过验血诊断该病的误诊率为2%,即非患者中有2%的人验血结果为阳性,患者中有2%的人验血结果为阴性.随机抽取一人进行验血,则其验血结果为阳性的概率为(　　)
A.0.068 9 B.0.049
C.0.024 8 D.0.02
3.已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲.假如男性、女性各占一半,从中随机选一人,则此人恰是色盲的概率是(　　)
A.0.012 45 B.0.057 86
C.0.028 65 D.0.037 45
4.(多选题)[2024甘肃天水高二期末]某市为丰富青少年暑假生活,推出多项益智游乐项目.小乐与好朋友一起选择了该市的甲、乙两个儿童乐园游乐场去打卡.小乐与好朋友第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7.如果他们第一天去甲游乐场,那么第二天去甲游乐场的概率为0.7;如果第一天去乙游乐场,那么第二天去甲游乐场的概率为0.6,则小乐与好朋友(　　)
A.第二天去甲游乐场的概率为0.63
B.第二天去乙游乐场的概率为0.45
C.第二天去了甲游乐场,则第一天去乙游乐场的概率为
D.第二天去了乙游乐场,则第一天去甲游乐场的概率为
5.甲袋中有5个白球、1个红球,乙袋中共有红球与白球6个.从两个袋中任选一袋,从中任取一球,若取到的球是红球的概率为,则乙袋中红球的个数为　　　　　.
6.某工厂有甲、乙两条生产线,甲生产线的优质品率为70%,乙生产线的优质品率为65%,两条生产线的产品统一进入包装车间进行包装.已知甲、乙两条生产线的产品数分别占总数的60%,40%.质检部门从包装好的产品中任取一个,则取到优质品的概率是　　　　　.
7.将外形相同的球分别装三个盒子,每盒10个.第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有红球8个、白球2个.试验按如下规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则试验成功.求试验成功的概率.
B级 关键能力提升练
8.(多选题)在某一季节,疾病D1的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,其中18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,症状S在病人中占60%.则(　　)
A.任意一位病人有症状S的概率为0.02
B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
9.从甲地到乙地共有A,B,C,D四条路线可走,走路线A堵车的概率为0.08,走路线B堵车的概率为0.1,走路线C堵车的概率为0.12,走路线D堵车的概率为0.04.若小李从这四条路线中等可能的任选一条开车自驾游,则堵车的概率为(　　)
A.0.034 B.0.065
C.0.085 D.0.34
10.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的,且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为.现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为(　　)
A.0.08 B.0.1
C.0.15 D.0.2
11.[2024甘肃高三月考]某学校有A,B两个餐厅,已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐,如果甲当天选择了某个餐厅,他第二天会有60%的可能性换另一个餐厅就餐,假如第1天甲选择了A餐厅,则第n天选择A餐厅的概率Pn为　　　　　　　　　　.
12.设甲、乙、丙三个地区感染了某种流行病,三个地区感染此病的概率分别为.现从这三个地区任抽取一个人,假设每个人来自三个地区的可能性相同.
此人感染此病的概率为　　　　　;若此人感染此病,则此人来自乙地区的概率为　　　　　.
13.有3箱同种型号零件,里面分别装有50件、30件、40件,而且一等品分别有20件、12件和24件,现在任取一箱,从中不放回地先后取出2个零件.
(1)求先取出的零件是一等品的概率;
(2)求两次取出的零件均为一等品的概率.(结果保留两位小数)
C级 学科素养创新练
14.如图,有三个外形相同的箱子,分别编号为1,2,3,其中1号箱装有1个黑球和3个白球,2号箱装有2个黑球和2个白球,3号箱装有3个黑球,这些球除颜色外完全相同.小明先从三个箱子中任取一箱,再从取出的箱中任意摸出一球,记事件Ai(i=1,2,3)表示“球取自第i号箱”,事件B表示“取得黑球”.
(1)分别求P(BA1),P(BA2),P(BA3)和P(B)的值.
(2)若小明取出的球是黑球,该黑球来自几号箱的概率最大 请说明理由.
3.1.4　全概率公式　*3.1.5　贝叶斯公式
1.B　设A=“发送的信号为0”,B=“接收到的信号为0”,
则=“发送的信号为1”,=“接收到的信号为1”,
所以P(A)=0.5,P()=0.5,P(B|A)=0.9,P(|A)=0.1,P(B|)=0.05,P()=0.95,
所以接收信号为0的概率为P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475,
所以接收信号为1的概率为P()=1-P(B)=1-0.475=0.525.故选B.
2.C　随机抽取一人进行验血,则其验血结果为阳性的概率为P=0.5%×(1-2%)+(1-0.5%)×2%=0.024 8.故选C.
3.D　用事件A,B分别表示随机选1人为男性、女性,用事件C表示此人恰是色盲,则Ω=A∪B,且A,B互斥,故P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×7%+×0.49%=0.037 45.故选D.
4.AC　设A1=“第一天去甲游乐场”,A2=“第二天去甲游乐场”,B1=“第一天去乙游乐场”,B2=“第二天去乙游乐场”,依题意可得P(A1)=0.3,P(B1)=0.7,P(A2|A1)=0.7,P(A2|B1)=0.6.
对于A,P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.3×0.7+0.7×0.6=0.63,A正确;
对于B,P(B2)=1-P(A2)=0.37,B错误;
对于C,P(B1|A2)=,C正确;
对于D,P(A1|B2)=,D错误.故选AC.
5.2　设乙袋中红球的个数为x(06.0.68　设B=“任取一个产品为优质品”,A1=“产品由甲生产线生产”,A2=“产品由乙生产线生产”,
根据题意得P(A1)=0.6,P(A2)=0,4,P(B|A1)=0.7,P(B|A2)=0.65,
根据题意可知样本空间Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥.
所以根据全概率公式可得,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.7+0.4×0.65=0.68.
7.解设A=“从第一个盒子中取得标有字母A的球”,B=“从第一个盒子中取得标有字母B的球”,R=“第二次取出的球是红球”,
则P(A)=,P(B)=,P(R|A)=,P(R|B)=.
事件“试验成功”表示为RA∪RB,又事件RA与事件RB互斥,所以由概率的加法公式得P(RA∪RB)=P(RA)+P(RB)=P(R|A)·P(A)+P(R|B)·P(B)=.
所以试验成功的概率为.
8.ABC　P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02.由贝叶斯公式得P(D1|S)==0.4,P(D2|S)==0.45,P(D3|S)==0.15.故选ABC.
9.C　走路线A且堵车的概率为×0.08,同理,走路线B且堵车的概率为×0.1,走路线C且堵车的概率为×0.12,走路线D且堵车的概率为×0.04,所以堵车的总概率为×(0.08+0.1+0.12+0.04)=0.085.故选C.
10.A　以A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片为次品,P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,则由全概率公式得所求概率为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)==0.08.故选A.
11.0.5+0.5×(-0.2)n-1　当n≥2且n∈N*时,若甲在第(n-1)天选择了A餐厅,那么在第n天有40%的可能性选择A餐厅,若甲在第(n-1)天选择了B餐厅,那么在第n天有60%的可能性选择A餐厅,所以第n天选择A餐厅的概率Pn=0.4Pn-1+0.6(1-Pn-1)(n≥2,n∈N*),即Pn=-0.2Pn-1+0.6,所以Pn-0.5=-0.2(Pn-1-0.5),n≥2,n∈N*.
又由题意得,P1=1,所以{Pn-0.5}是以P1-0.5=0.5为首项,-0.2为公比的等比数列,所以Pn-0.5=0.5×(-0.2)n-1,所以Pn=0.5+0.5×(-0.2)n-1.
12.　由题意,所抽取的人感染此病的概率P=×()=.
若A,B,C分别表示来自甲、乙、丙地区,D表示感染此病,
∴此人感染此病且来自乙地区的概率P(B|D)=.
13.解(1)记事件Ai表示“任取的一箱为第i箱零件”,则i=1,2,3;
记事件Bj表示“第j次取到的是一等品”,则j=1,2.由题意得P(A1)=P(A2)=P(A3)=,
P(B1|A1)==0.4,P(B1|A2)==0.4,
P(B1|A3)==0.6,由全概率公式得P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)+P(A3)P(B1|A3)=×(0.4+0.4+0.6)=.
(2)P(B1B2|A1)=,
P(B1B2|A2)=,
P(B1B2|A3)=,
由全概率公式得P(B1B2)=P(A1)P(B1B2|A1)+P(A2)P(B1B2|A2)+P(A3)P(B1B2|A3)=×()=≈0.22.
14.解(1)由已知可得P(A1)=P(A2)=P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)==1,
∴P(BA1)=P(A1)P(B|A1)=,
P(BA2)=P(A2)P(B|A2)=,
P(BA3)=P(A3)P(B|A3)=×1=,
∴P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=.
(2)P(A1|B)=,P(A2|B)=,P(A3|B)=,P(A3|B)最大,即若小明取出的球是黑球,该黑球来自3号箱的概率最大.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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