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2025湘教版数学选择性必修第二册
3.2.1　离散型随机变量及其分布
A级 必备知识基础练
1.下列随机变量是离散型随机变量的个数是(　　)
①掷一颗骰子出现的点数;
②投篮一次的结果;
③某同学在12:00至12:30到校的时间;
④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件,其中合格品的件数.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.离散型随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3,…,n,且ξ取每一个值的概率相同.若P(2<ξ<5)=0.2,则n的值为(　　)
A.4 B.6 C.9 D.10
3.甲、乙两班进行足球对抗赛,每场比赛赢了的队伍得3分,输了的队伍得0分,平局的话,两队各得1分,共进行三场.用ξ表示甲的得分,则ξ=3表示(　　)
A.甲赢三场
B.甲赢一场、输两场
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次
4.离散型随机变量X的概率分布直观图如图所示,则a=(　　)
A.0.1 B.0.12 C.0.15 D.0.18
5.甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8,0.7,他们各自投篮1次,设两人命中总次数为X,则X的分布列为(　　)
A.
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B.
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.56
C.
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D.
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
6.抛掷两颗骰子,所得点数之和X是一个随机变量,则P(X≤4)等于(　　)
A. B. C. D.
7.已知P(X=1)=P(X=2)=0.2,P(X=3)=P(X=4)=0.3,则P(|2X-5|=1)=　　　　　.
8.[2024甘肃兰州高三模拟]为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”,该城市某出租车公司共200名司机,他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.
(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数;
(2)从这200名司机中任选两人,设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的分布列.
B级 关键能力提升练
9.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为
X -1 0 1 2 3
P
则下列各式正确的是(　　)
A.P(X=1.5)=0 B.P(X>-1)=
C.P(210.(多选题)一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球,现不放回地随机从盒子中摸球,每次取1个,直到取到黑球为止,记摸到白球的个数为随机变量ξ,则下列说法正确的是(　　)
A.P(ξ=0)= B.P(ξ=1)=
C.P(ξ=1)= D.P(ξ=2)=
11.两名教师和两名学生排成一排拍合照,记ξ为两名学生中间的教师人数,则E(ξ)=(　　)
A. B.
C. D.
12.一批产品分为四级,其中一级产品的个数是二级产品个数的两倍,三级产品的个数是二级产品个数的一半,四级产品的个数与三级产品的个数相等.从这批产品中随机抽取一个进行质量检验,设其级别为随机变量ξ,则P(ξ>1)=(　　)
A. B.
C. D.
13.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表,其中2b=a+c,且c=ab,
X 0 2 3
P a b c
这名运动员得3分的概率是　　　　　.
14.某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的:底薪800元,每工作1 h再获取15元.从该快餐店中任意抽取一名小时工,设其月工作时间为X h,获取的税前月工资为Y元.则X与Y之间的关系式是　　　　　　　　;当P(X≤120)=0.8时,P(Y>2 600)的值为　　　　　.
15.某商店试销某种商品20天,获得如下数据.
日销售量/件 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.
(1)求当天商店不进货的概率;
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列.
C级 学科素养创新练
16.大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果,然后以15元/千克的价格出售,若有剩余,则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地.为了确定进货数量,该超市记录了A水果最近50天的日需求量n(单位:千克),整理如表所示.
日需求量 140 150 160 170 180 190 200
频数 5 10 8 8 7 7 5
以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.
(1)求该超市A水果日需求量n(单位:千克)的分布列;
(2)若该超市一天购进A水果150千克,记超市当天A水果获得的利润为X(单位:元),求X的分布列.
17.小李参加一种红包接龙游戏:他在红包里塞了12元,然后发给朋友A.如果A猜中,A将获得红包里的所有金额;如果A未猜中,A将当前的红包转发给朋友B.如果B猜中,A,B平分红包里的金额;如果B未猜中,B将当前的红包转发给朋友C.如果C猜中,A,B和C平分红包里的金额;如果C未猜中,红包里的钱将退回小李的账户.设A,B,C猜中的概率分别为,且A,B,C是否猜中互不影响.
(1)求A恰好获得4元的概率;
(2)设A获得的金额为X元,求X的概率分布列.
3.2.1　离散型随机变量及其分布
1.C　①中骰子出现的点数为1,2,3,4,5,6,可以一一列举出来.
②中投篮一次有两种情况,若用1表示投中,0表示不中,则也可以一一列举出来.
③中学生到校时间可以是12:00到12:30中的任意时刻,不能一一列举出来,因此③不是离散型随机变量.
④中所取3件产品的合格品数可能为0,1,2,3,共4种情况,可以一一列举出来.
故只有①②④满足.故选C.
2.D　因为P(2<ξ<5)=P(ξ=3)+P(ξ=4)==0.2,所以n=10.故选D.
3.D　由于赢了的队伍得3分,输了的队伍得0分,平局的话,两队各得1分,所以ξ=3可以分成两种情况,即3+0+0或1+1+1,即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次.故选D.
4.C　由题意P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)+P(X=7)=0.5+a+0.2+a=1,解得a=0.15.故选C.
5.D　由题意可得,X所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=(1-0.8)×(1-0.7)=0.06,P(X=1)=(1-0.8)×0.7+0.8×(1-0.7)=0.38,P(X=2)=0.8×0.7=0.56.故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
故选D.
6.A　根据题意,有P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).抛掷两颗骰子,按所得的点数共36个基本事件,而X=2对应(1,1),X=3对应(1,2),(2,1),X=4对应(1,3),(3,1),(2,2),故P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,所以P(X≤4)=.
7.0.5　依题意可知P(|2X-5|=1)=P(X=3)+P(X=2)=0.3+0.2=0.5.
8.解(1)由统计图,得200名司机中送考1次的有20人,送考2次的有100人,送考3次的有80人,所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为=2.3.
(2)从该公司任选两名司机,设A=“这两人中一人送考1次,另一人送考2次”,B=“这两人中一人送考2次,另一人送考3次”,C=“这两人中一人送考1次,另一人送考3次”,D=“这两人送考次数相同”.
由题意知X的所有可能取值为0,1,2,则
P(X=0)=P(D)=,
P(X=1)=P(A)+P(B)=,
P(X=2)=P(C)=.
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2
P
9.AB　∵事件“X=1.5”不存在,∴P(X=1.5)=0,∴A正确.
∵P(X>-1)=1-P(X=-1)=,∴B正确.
∵P(210.CD　对于ξ=0,分为第一次即取到黑球,或第一次摸到红球,第二次摸到黑球,或前两次均摸到红球,第三次摸到黑球,
故P(ξ=0)=,A错误;
对于ξ=1,即第一次摸到白球,第二次摸到黑球,或前两次中有一次摸到红球,一次摸到白球,第三次摸到黑球,或前三次有两次摸到红球,一次摸到白球,第四次摸到黑球,故P(ξ=1)=+2×+3×,B错误,C正确;
由题知ξ的所有可能有0,1,2,故P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)=,D正确.故选CD.
11.C　根据题意,随机变量ξ的取值为0,1,2,可得P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,所以E(ξ)=0×+1×+2×.故选C.
12.A　由题意得P(ξ=1)=2P(ξ=2),P(ξ=3)=P(ξ=2)=P(ξ=4),
设P(ξ=2)=2a,则可得ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P 4a 2a a a
由分布列的性质,得解得a=.
所以P(ξ>1)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=2a+a+a=4a=.故选A.
13.　由分布列的性质知a+b+c=1,且a,b,c都是非负数,因为由题知2b=a+c,c=ab,所以三个方程联立成方程组,可解得a=,b=,c=,所以得3分的概率是.
14.Y=15X+800　0.2　根据题意有Y=15X+800.
因为X≤120,故15X+800≤2 600,即Y≤2 600.
所以P(Y≤2 600)=P(X≤120)=0.8,
从而P(Y>2 600)=1-0.8=0.2.
15.解(1)记“当天商品销售量为0件”为事件A,“当天商品销售量为1件”为事件B,“当天商店不进货”为事件C,则P(C)=P(A)+P(B)=.
(2)由题意知,X的可能取值为2,3.
P(X=2)=P(当天商品销售量为1件)=;
P(X=3)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为2件)+P(当天商品销售量为3件)=.
故X的分布列为
X 2 3
P
16.解(1)由表格知总频数为5+10+8+8+7+7+5=50,
∴n的分布列为
n 140 150 160 170 180 190 200
P 0.1 0.2 0.16 0.16 0.14 0.14 0.1
(2)若A水果日需求量为140千克,则X=140×(15-10)-(150-140)×(10-8)=680(元),
∴P(X=680)==0.1.
若A水果日需求量不小于150千克,则X=150×(15-10)=750(元),
∴P(X=750)=1-0.1=0.9.
故X的所有可能取值为680,750,则X的分布列为
X 680 750
P 0.1 0.9
17.解(1)依题意,当且仅当C猜中时A恰好获得4元,
∴A恰好获得4元的概率为.
(2)X的所有可能取值为0,4,6,12,
P(X=0)=,P(X=4)=,
P(X=6)=,P(X=12)=,
∴X的概率分布列为
X 0 4 6 12
P
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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