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2025湘教版数学选择性必修第二册
第3章3.2.2　几个常用的分布
A级 必备知识基础练
1.[2024北京高三开学考试]电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.8,则3个灯泡在使用1 000小时内恰好坏了一个的概率为(　　)
A.0.384 B. C.0.128 D.0.104
2.同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次,若两枚硬币都正面向上,就说这次试验成功,则3次试验中至少有2次成功的概率是(　　)
A. B.
C. D.
3.某射手每次射击击中目标的概率是,则这名射手在3次射击中,至少有2次击中目标的概率为(　　)
A. B.
C. D.
4.(多选题)在4件产品中,有一等品2件、二等品1件(一等品与二等品都是正品)、次品1件.现从中任取2件,则下列说法正确的是(　　)
A.两件都是一等品的概率是
B.两件中有1件是次品的概率是
C.两件都是正品的概率是
D.两件中至少有1件是一等品的概率是
5.口袋里有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,数列{an}满足:
an=如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7=3的概率为(　　)
A.×2×5 B.×5×2
C.×2×5 D.×2×5
6.若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=0.7,P(X=1)=0.3,令Y=3X-2,则P(Y=-2)=　　　　　.
7.已知随机变量X~B(2,p),Y~B(1,p),若P(X≥1)=0.64,P(Y=1)=p,则P(Y=0)的值等于　　　　　.
8.学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教,设抽取的人中女教师的人数为X,求P(X≤1).
B级 关键能力提升练
9.已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4,该运动员进行罚球练习(每次罚球互不影响),则在罚球命中两次时,罚球次数恰为4次的概率是(　　)
A. B.
C. D.
10.记一次伯努利试验成功的概率为p(0A.(0,) B.(0,)
C.(,1) D.(,1)
11.中国的景观旅游资源相当丰富,5A级为中国旅游景区最高等级,代表着中国世界级精品的旅游风景区等级.某地7个旅游景区中有3个景区是5A级景区,现从中任意选3个景区,下列事件中概率等于的是(　　)
A.至少有1个5A级景区
B.有1个或2个5A级景区
C.有2个或3个5A级景区
D.恰有2个5A级景区
12.(多选题)袋中有10个大小相同的球,其中6个黑球、4个白球,现从中任取4个球,则下列结论中正确的是(　　)
A.取出的白球个数X服从二项分布
B.取出的黑球个数Y服从超几何分布
C.取出2个白球的概率为
D.若取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,则总得分最大的概率为
13.已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,其次品数为ξ.已知P(ξ=1)=,且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为　.
14.已知某种药物对某种疾病的治愈率为,现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物.
(1)求出甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈的概率;
(2)求出恰有3个患者被治愈的概率;
(3)设有X人被治愈,求X的分布列.
C级 学科素养创新练
15.“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括.为弘扬“女排精神”,甲、乙两班组织了一次排球比赛,采用“五局三胜”制,无论哪一方先胜三局则比赛结束.假设每局比赛均分出胜负且每局比赛相互独立,每局比赛乙班获胜的概率为.
(1)若前两局已战成平局,求还需比赛3局比赛才结束且乙班获胜的概率;
(2)如果比赛的赛制有“五局三胜”制和“三局两胜”制,对于乙班来说,如何选择比赛赛制对自己获胜更有利,请通过计算说明理由.
3.2.2　几个常用的分布
1.A　电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.8,1个灯泡在使用1 000小时内坏了的概率为1-0.8=0.2,则3个灯泡在使用1 000小时内恰好坏了一个的概率为×0.2×0.82=0.384.故选A.
2.B　在一次试验中,两枚硬币都正面向上的概率为,设X为3次试验中成功的次数,则X~B(3,),故所求概率P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=.故选B.
3.D　由题意,3次射击中,有2次击中目标的概率为P1=(1-)=;
3次射击中,有3次击中目标的概率为P2=.所以这名射手在3次射击中,至少有2次击中目标的概率为P1+P2=.故选D.
4.ABD　两件都是一等品的概率为,两件中有一件次品的概率为,两件都是正品的概率为,两件中至少有1件是一等品的概率为.
故选ABD.
5.B　S7=3表示摸取7次中出现5次白球2次红球,所以所求概率为×5×2.故选B.
6.0.7　由Y=-2可知3X-2=-2,即X=0,
∴P(Y=-2)=P(X=0)=0.7.
7.0.6　P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=p(1-p)+p2=0.64,解得p=0.4(p=1.6舍去),P(Y=0)=1-P(Y=1)=1-p=1-0.4=0.6.
8.解由题意知,X服从参数为7,3,2的超几何分布,即X~H(7,3,2),因此P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=.
9.C　由已知命中的概率为0.4,不命中的概率为1-0.4=0.6.
罚球4次,命中两次,说明第4次命中,前3次命中1次,故概率P=0.4×0.62×0.4=0.172 8=,故选C.
10.B　依题意进行两次该伯努利试验,恰有一次成功的概率P1=p(1-p);进行三次该伯努利试验,恰有两次成功的概率P2=p2(1-p),
因为P1>P2,所以解得011.B　用X表示这3个旅游景区中5A级景区的个数,则X服从超几何分布,且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以P(X=1)+P(X=2)=,即有1个或2个5A级景区的概率为.故选B.
12.BD　由于超几何分布的随机变量为实验次数,即指某事件发生n次的试验次数,由此可知取出的白球个数X,黑球个数Y服从超几何分布,故A错误,B正确;
由于取出2个白球的概率为P=,故C错误;
若取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,则取出四个黑球的总得分最大,所以总得分最大的概率为P=,故D正确.故选BD.
13.20%　设10件产品中存在n件次品,从中抽取2件,
由P(ξ=1)=得,,化简得n2-10n+16=0,
解得n=2或n=8;
又该产品的次品率不超过40%,∴n≤4.应取n=2,∴这10件产品的次品率为=0.2=20%.
14.解如果用A1,A2,A3,A4分别表示甲被治愈、乙被治愈、丙被治愈、丁被治愈,则不难看出P(Ai)=,P()=1-P(Ai)=,i=1,2,3,4.
(1)甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈可以表示为A1A2A3,因此由独立性可知P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)P()=.
(2)恰有3个患者被治愈的情况共有种(4个人中,选出3个是被治愈的,剩下的那个是没有被治愈的),即A2A3A4,A1A3A4,A1A2A4,A1A2A3,这四种情况两两都是互斥的,而且每一种情况的概率均为()3×,因此所求概率为P(A2A3A4+A1A3A4+A1A2A4+A1A2A3)=P(A2A3A4)+P(A1A3A4)+P(A1A2A4)+P(A1A2A3)=×()3×.
(3)因为共有4名患者服用了药物,所以X的取值范围应该是{0,1,2,3,4},而且P(X=3)=×()3×,同理P(X=0)=×()0×()4=,P(X=1)=×()3=,P(X=2)=×()2×()2=,P(X=4)=×()4×()0=.
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
15.解(1)记Ai为事件“第i局乙胜”,为事件“第i局乙输”,i=1,2,3,4,5,
B为事件“还需比赛3局比赛才结束且乙班获胜”,则B=A3A5∪A4A5,
故P(B)=.
(2)记C为事件“‘三局两胜’制下乙班获胜”,D为事件“‘五局三胜’制下乙班获胜”,
则P(C)=P(2局获胜)+P(3局获胜)=,
P(D)=P(3局获胜)+P(4局获胜)+P(5局获胜)=.
由于,
故乙班选择“三局两胜”制对自己获胜更有利.
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