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2025湘教版数学选择性必修第二册
第3章3.2.3　离散型随机变量的数学期望
A级 必备知识基础练
1.已知随机变量X的分布列如下表:
X 0 2 4 6
P 0.1 0.2 m 0.2
则E(X)的值为(　　)
A.2 B.2.4
C.3.6 D.不确定
2.某班有14名学生数学成绩优秀,如果从该班随机找出5名学生,那么其中数学成绩优秀的学生数X~B(5,),则E(2X+1)等于(　　)
A. B. C.3 D.
3.ξ,η为随机变量,且η=aξ+b,a,b为常数,若E(ξ)=1.6,E(η)=3.4,则a,b可能的值为(　　)
A.2,0.2 B.1,4
C.0.5,1.4 D.1.6,3.4
4.随机变量ξ的分布列如表所示,则其数学期望E(ξ)=(　　)
ξ 1 2 3
P a b a
A.1 B.2
C.3 D.不能确定
5.[2024江西宜春高三月考]从1—20中随机抽取3个数,记随机变量ξ为这3个数中相邻数组(a,a+1)的个数.如当这三个数为11,12,14时,ξ=1;当这三个数为7,8,9时,ξ=2,则E(ξ)的值约为(　　)
A.0.22 B.0.3
C.0.47 D.0.53
6.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的均值E(X)=(　　)
A. B. C. D.
7.设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,令取到白球的个数为X,且X的数学期望E(X)=,则口袋中白球的个数为　　　　　.
8.一个盒子里装有5张卡片,其中有红色卡片3张、白色卡片2张,从盒子中任取2张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(1)求取出的2张卡片中,至少有1张红色卡片的概率;
(2)在取出的2张卡片中,白色卡片数设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
B级 关键能力提升练
9.抛一枚质地均匀的硬币,若抛到正面则停止,抛到反面则继续抛,已知该硬币抛到正反两面是等可能的,则以上操作硬币反面朝上的次数期望为(　　)
A. B.1 C. D.
10.在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7,设随机变量X表示该运动员罚球1次的得分,则随机变量10X+13的数学期望E(10X+13)=　　　　　.
11.城南公园种植了4棵棕榈树,各棵棕榈树成活与否是相互独立的,成活率为p,设ξ为成活棕榈树的株数,数学期望E(ξ)=.若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活,则需要补种,则需要补种棕榈树的概率为　　　　　　　.
12.某市有m名男教师和n名女教师(m>n),从中任取两名教师去西部支教,甲被抽中的概率为,一名男教师和一名女教师被抽中的概率为,则=　　　　　.记去支教的教师中男教师的人数是ξ,则E(ξ)=　　　　　.
13.一个不透明袋中放有除颜色外其他均相同的小球,其中红球3个、黑球2个,现随机等可能取出小球.当有放回依次取出2个小球时,记取出的红球数为ξ1,则E(ξ1)=　　　;若第一次取出1个小球后,放入1个红球和1个黑球,再第二次随机取出1个小球.记取出的红球总数为ξ2,则E(ξ2)=　　　　.
14.某技校为了了解车床班学生的操作能力,设计了一个考查方案.每个考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成零件加工,规定:至少正确完成其中2个零件加工方可通过.6道备选题中,考生甲有4个零件能正确加工完成,2个零件不能完成;考生乙每个零件正确完成的概率都是,且每个零件正确加工完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两位考生正确加工完成零件数的概率分布列(列出分布列表);
(2)试从甲、乙两位考生正确加工完成零件数的数学期望及两人通过考查的概率分析比较两位考生的操作能力.
C级 学科素养创新练
15.(多选题)一个不透明的口袋中有8个大小相同的球,其中红球5个、白球1个、黑球2个,则下列说法正确的有(　　)
A.从该口袋中任取3个球,设取出的红球个数为ξ,则数学期望E(ξ)=
B.每次从该口袋中任取一个球,记录下颜色后放回口袋,先后取了3次,设取出的黑球次数为η,则数学期望E(η)=
C.从该口袋中任取3个球,设取出的球的颜色有X种,则数学期望E(X)=
D.每次从该口袋中任取一个球,不放回,拿出红球即停,设拿出的黑球的个数为Y,则数学期望E(Y)=
3.2.3　离散型随机变量的数学期望
1.C　依题意0.1+0.2+m+0.2=1,解得m=0.5,所以E(X)=0×0.1+2×0.2+4×0.5+6×0.2=3.6,故选C.
2.D　因为X~B(5,),所以E(X)=,则E(2X+1)=2E(X)+1=2×+1=.
3.A　由E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ)+b=1.6a+b=3.4,
结合选项可知只有a=2,b=0.2时满足,故选A.
4.B　由题意可知a+b+a=1,即2a+b=1,而E(ξ)=1×a+2×b+3×a=4a+2b=2(2a+b)=2×1=2,故选B.
5.B　随机变量ξ的取值为0,1,2,当ξ=1时,即所取的三个数中仅两个数相邻,两数相邻有19种情况,其中相邻两数取1,2和19,20时,对应取法为17种,其余17种情况取法均有16种,所以P(ξ=1)=,
当ξ=2时,即所取的三个数中两两相邻,取法有18种,
所以P(ξ=2)=,
所以当ξ=0时,即所取的三个数彼此不相邻,取法有1 140-18-306=816种,
所以P(ξ=0)=,
所以E(ξ)=0×+1×+2×=0.3.
故选B.
6.C　因为P(X=0)=1-×(1-p)×(1-p)=,且p∈[0,1],解得p=.
由题意可知:X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=1)=×1-×1-+1-××1-×2=,
P(X=2)=×1-×2+1-×,
P(X=3)=,
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×.
故选C.
7.3　设口袋中白球有n个,则由题意知X~H(7,n,2),E(X)=,解得n=3.
8.解(1)设“取出的2张卡片中,至少有1张红色卡片”为事件A,则P(A)=1-.
(2)(方法一)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×.
(方法二)依题意,X~H(5,2,2),则P(X=k)=(k=0,1,2).
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=.
9.B　设硬币反面朝上的次数为X(X≥0),
由题可知,每次抛正面朝上的概率为,反面朝上的概率为1-,
则P(X=0)=,P(X=1)=(1-)×=()2,
P(X=2)=(1-)2×=()3,…,P(X=n)=(1-)n×=()n+1,…,
所以E(X)=0×+1×()2+2×()3+…+n()n+1,
E(X)=0×()2+1×()3+2×()4+…+n()n+2,
两式相减可得,E(X)=()2+()3+…+()n+1-n()n+2,
即E(X)=+()2+()3+…+()n-n()n+1=-n()n+1,
整理得,E(X)=1-()n-n()n+1=1-,
因为E(X)=(1-)=1,所以硬币反面朝上的次数期望为1,故选B.
10.20　E(X)=1×0.7+0×0.3=0.7,E(10X+13)=10×E(X)+13=20.
11.　由题意知,ξ~B(4,p),又E(ξ)=4p=,所以p=,故未成活率为1-,记“需要补种棕榈树”为事件A,P(A)=P(ξ≤2)=,所以需要补种棕榈树的概率为.
12.　由随机抽样的概率可知, m+n=9,且,得mn=20,且m>n,解得m=5,n=4,所以;
依题意ξ=0,1,2,则P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,
由ξ~H(9,5,2),则E(ξ)=2×.
13.　ξ1的可能取值为0,1,2,
P(ξ1=0)=,
P(ξ1=1)=,
P(ξ1=2)=,
所以E(ξ1)=0×+1×+2×.
ξ2的可能取值为0,1,2,
P(ξ2=0)=,
P(ξ2=1)=,
P(ξ2=2)=,
所以E(ξ2)=0×+1×+2×.
14.解(1)设考生甲、乙正确加工完成零件的个数分别为ξ,η.
则ξ的可能取值有1,2,3,η的可能取值有0,1,2,3,且η~B(3,),P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,
因此考生甲正确加工完成零件数ξ的概率分布列如下表所示:
ξ 1 2 3
P
P(η=0)=,P(η=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.
所以,考生乙正确加工完成零件数η的概率分布列如下表所示:
η 0 1 2 3
P
(2)因为E(ξ)=1×+2×+3×=2,E(η)=3×=2,P(ξ≥2)=,P(η≥2)=,
所以P(ξ≥2)>P(η≥2),
从做对题的数学期望分析,两人水平相当;
从通过考查的概率分析,甲通过的可能性大,因此可以判断甲的操作能力较强.
15.ABD　对于A,ξ的可能值为0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,则E(ξ)=0×+1×+2×+3×,所以A正确;
对于B,η的可能值为0,1,2,3,取球一次取到黑球的概率为,因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果,因此η~B,E(η)=,B正确;
对于C,X的可能值为1,2,3,P(X=1)=,P(X=3)=,P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=,则E(X)=1×+2×+3×=2,C不正确;
对于D,Y的可能值为0,1,2,P(Y=0)=,
P(Y=1)=,
P(Y=2)=×1+×1+×1=,
则E(Y)=0×+1×+2×,D正确.
故选ABD.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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