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2025湘教版数学选择性必修第二册
第3章3.2.4　离散型随机变量的方差
A级 必备知识基础练
1.[2024甘肃武威高二月考]已知甲、乙两人进行五局围棋比赛,甲每局获胜的概率都是,且各局的胜负相互独立,设甲获胜的局数为X,则D(X)=(　　)
A. B. C. D.2
2.在n(n∈N*)次独立重复试验中,每次试验的结果只有A,B,C三种,且A,B,C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中,事件A,B发生的概率均为,则事件A,B,C发生次数的方差之比为(　　)
A.5∶5∶4 B.4∶4∶3
C.3∶3∶2 D.2∶2∶1
3.已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试.设该同学通过考试的高校个数为随机变量X,则D(X)=(　　)
A. B.
C. D.
4.已知随机变量X的分布列是
X -1 0 1
P a b
若E(X)=0,则D(X)=(　　)
A.0 B. C. D.1
5.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是(　　)
A.P(X=1)=E(X) B.E(4X+1)=3
C.D(4X+1)=3 D.D(X)=
6.随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=　　　　　.
7.某地区投入共享电动车后,若该地区内的每位成员使用共享电动车的概率都为p,且各成员使用与否相互独立,设X为某群体的5位成员中使用共享电动车的人数,D(X)=1.2,P(X=2)8.甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为.
(1)求乙至多击中目标2次的概率;
(2)记甲击中目标的次数为Z,求Z的分布列、数学期望和标准差.
B级 关键能力提升练
9.(多选题)[2024甘肃临夏高二期末]设某项试验成功率是失败率的2倍,若用随机变量X描述一次试验的成功次数,E(X),D(X)分别为随机变量的期望和方差,则(　　)
A.P(X=0)= B.E(2X)=
C.D(X)= D.D(3X+1)=3
10.(多选题)若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,记X的均值和方差分别为E(X)和D(X),则下列结论正确的是(　　)
A.E(X)= B.E(5X+3)=6
C.D(X)= D.D(5X+3)=
11.已知随机变量X的分布列如下,则D(3X-1)的最大值为(　　)
X 1 2 3
P a b 2b-a
A. B.3
C.6 D.5
12.在一次随机试验中,事件A发生的概率为p,013.盒中有4个球,其中1个红球、1个黄球、2个蓝球.从盒中随机取球,每次取1个,取后不放回,直到蓝球全部被取出为止,在这一过程中取球次数为ξ,则ξ的方差D(ξ)=　　　　　.
14.袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球.
(1)采取放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记X为摸出的白球个数,求X的方差;
(2)采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记Y为摸出的白球个数,求Y的方差.
C级 学科素养创新练
15.已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环,且甲击中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙击中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,甲、乙射击结果互不影响.记甲、乙两名射手在一次射击中的环数分别为ξ,η.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)求ξ,η的数学期望与方差,并比较甲、乙两名射手的射击技术.
3.2.4　离散型随机变量的方差
1.C　因为甲每局获胜的概率都是,且各局的胜负相互独立,所以X~B5,,则D(X)=5×.故选C.
2.C　根据A,B,C事件的互斥性可得,每一次试验中,事件C发生的概率为,
设事件A,B,C发生的次数分别为随机变量X,Y,Z,则有X~B(n,),Y~B(n,),Z~B(n,).
事件A,B,C发生次数的方差分别为n,n,n,
故事件A,B,C发生次数的方差之比为3∶3∶2,故选C.
3.A　由已知X的取值可能为0,1,
P(X=0)=,P(X=1)=,
∴E(X)=0×+1×,D(X)=.
故选A.
4.C　由已知可得解得a=b=,因此,D(X)=[(-1-0)2+(0-0)2+(1-0)2]=.故选C.
5.AC　因为P(X=0)=,所以P(X=1)=.E(X)=0×+1×,所以选项A正确;
E(4X+1)=4E(X)+1=4×+1=4,所以选项B错误;
D(X)=(0-)2×+(1-)2×,所以选项D错误;
所以D(4X+1)=16D(X)=3.所以选项C正确.
故选AC.
6.　设P(X=1)=a,则P(X=2)=1--a=-a,从而E(X)=a+2(-a)=-a=1,解得a=,所以D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×.
7.0.6　由题意可得,X~B(5,p),
所以D(X)=5p(1-p)=1.2,即p(1-p)=0.24,解得p=0.4或0.6,
因为P(X=2)所以p2(1-p)3解得1-p所以8.解(1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布,故乙至多击中目标2次的概率为1-3=.
(2)由题意知Z~B3,,
P(Z=0)=3=,
P(Z=1)=3=,
P(Z=2)=3=,
P(Z=3)=3=.
随机变量Z的分布列为
Z 0 1 2 3
P
E(Z)=0×+1×+2×+3×,
D(Z)=0-2×+1-2×+2-2×+3-2×,
所以.
9.ABC　设试验成功的概率为p,则有p+=1,解得p=.
记一次试验中成功的次数为X,则X的取值为0,1,P(X=0)=,P(X=1)=,选项A正确;
X 0 1
P
则随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×,E(2X)=2E(X)=,选项B正确;
D(X)=0-2×+1-2×,选项C正确;
D(3X+1)=9D(X)=9×=2,选项D错误;故选ABC.
10.AB　因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,所以P(X=1)=,所以E(X)=,D(X)=,E(5X+3)=5E(X)+3=6,D(5X+3)=52D(X)=6.故选AB.
11.C　因为分布列中概率和为1,故可得a+b+2b-a=1,解得b=,又E(X)=a+2×+3(-a)=-2a+.
则D(X)=(-2a)2×a+(-2a)2×+(+2a)2×(-a)=-4a2+a+,
又0≤a≤1,0≤-a≤1,故可得a∈,
则当a=时,D(X)的最大值为-4×,又D(3X-1)=9D(X),故D(3X-1)的最大值为9×=6.
12.　记事件A发生的次数ξ可能的值为0,1.
分布列如下:
ξ 0 1
P 1-p p
数学期望E(ξ)=0×(1-p)+1×p=p,由0当且仅当p=1-p,即p=时,等号成立,
故数学期望E(ξ)=p,方差D(ξ)的最大值为.
13.　由题意可知,随机变量ξ的可能取值有2,3,4,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,
所以,随机变量ξ的分布列如下表所示:
ξ 2 3 4
P
所以E(ξ)=2×+3×+4×,因此D(ξ)=.
14.解(1)因为采取放回抽样方式,所以每次摸一个白球的概率为,
每一次摸一个黑球的概率为,且两次摸球相互独立,由题意可知X~B(2,),X=0,1,2.
P(X=0)=)0·()2=,
P(X=1)=,
P(X=2)=)2=,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×,
D(X)==0.48;
(2)由题意可知Y=0,1,2,
P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,
所以X的分布列为
Y 0 1 2
P
E(Y)=0×+1×+2×,
D(Y)==0.36.
15.解(1)依题意,有0.5+3a+a+0.1=1,
解得a=0.1.
∵乙击中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,
∴乙击中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2,
∴ξ,η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)可得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,
E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,
D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
由于E(ξ)>E(η),说明甲平均击中的环数比乙高,
又D(ξ)21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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