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2025湘教版数学选择性必修第二册
第3章3.3　正态分布
A级 必备知识基础练
1.设随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),若P(ξa+3),则a等于(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
2.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X≥5)=0.2,则P(1A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
3.已知随机变量X~N(2,σ2)(σ>0),若P(X<4)=0.7,则P(X≤0)=(　　)
A.0.2 B.0.3
C.0.5 D.0.7
4.某生态果园盛产猕猴桃,现摘取了1 600个猕猴桃进行个头大小的取样调查,已知样本猕猴桃的果径X(单位:cm)服从正态分布即X~N(7,σ2),若果径满足6A.40 B.120
C.200 D.240
5.(多选题)[2024甘肃酒泉高二期末]下列结论正确的是(　　)
A.若随机变量X~N(2,9),则P(X≤-1)=P(X≥5)
B.已知随机变量X,Y满足X+2Y=8,若X~B(10,0.4),则E(Y)=2,D(Y)=0.6
C.有8名学生,其中5名男生,从中选出4名学生,选出的学生中男生人数为X,则其数学期望E(X)=3
D.离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2-5P(X=1)=a,则a=
6.某航空机械公司的研究院研发了一款新零件用于航天器,若这批零件的质量指标ξ(单位:毫米)服从正态分布N(25.40,σ2),且P(ξ≥25.45)=0.1,现从该批零件中随机取3件,用X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间(25.35,25.45)的产品件数,则E(X)=　　　　　,D(X)=　　　　　.
7.上次月考刚好有900名学生参加考试,学生的数学成绩ξ~N(105,102),且P(95≤ξ≤105)≈0.34,则上次月考中数学成绩在115分以上的人数大约为　　　　.
8.假设某厂包装食盐的生产线,正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布N(500,52)(单位:g),该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐,称得其质量均大于515 g.
(1)求正常情况下,任意抽取一包食盐,质量大于515 g的概率为多少;
(2)检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理 请说明理由.
B级 关键能力提升练
9.(多选题)[2024广西高三月考]山东东阿盛产阿胶,阿胶与人参、鹿茸并称“中药三宝”.阿胶的主要原料是驴皮,配以冰糖、绍酒、豆油等十几种辅料,用东阿特有的含多种矿物质的井水、采取传统的制作工艺熬制而成.已知每盒某阿胶产品的质量M(单位:g)服从正态分布N(250,σ2),且P(M<251)=0.75,P(249A.若从该阿胶产品中随机选取1盒,则这盒阿胶产品的质量大于249 g的概率为0.75
B.若从该阿胶产品中随机选取1盒,则这盒阿胶产品的质量在251 g~253 g内的概率为0.15
C.若从该阿胶产品中随机选取1 000盒,则质量大于253 g的盒数的方差为47.5
D.若从该阿胶产品中随机选取1 000盒,则质量在251 g~253 g内的盒数的数学期望为200
10.(多选题)正态分布N(1,σ2)的正态曲线如图所示,则可以表示图中阴影部分面积的是(　　)
A.-P(X<0)
B.-P(X>2)
C.P(X≤2)-P(X<0)
D.-P(1≤X≤2)
11.某校高三有1 000人参加考试,统计发现数学成绩近似服从正态分布N(105,σ2),且成绩优良(不低于120分)的人数约为360,则此次考试数学成绩高于90分的人数约为(　　)
A.360 B.640 C.720 D.780
12.已知随机变量X服从正态分布N(100,4),若P(mA.100 B.101
C.102 D.103
13.通过对某次考试数学成绩进行统计分析发现数学成绩近似地服从正态分布N(96,52).据此估计:在本次参加考试的考生中抽取6名高三学生的数学成绩,恰有2名同学的成绩不低于96分的概率为　　　　　(用分数表示).
14.某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪,随机抽取了10件产品,检测结果均为合格,且质量指标分值如下:
38,70,50,43,48,53,49,57,60,69.
经计算知上述样本质量指标值平均数为53.7,标准差为9.9.生产合同中规定:所有农产品优质品的占比不得低于15%(已知质量指标在63分以上的产品为优质品).根据生产经验,可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本质量指标值平均数,σ2近似为方差,那么这种农产品是否满足生产合同的要求 请说明理由.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7.
C级 学科素养创新练
15.现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量,其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量,最后结果的误差Xn~N(0,),则为使|Xn|>的概率控制在0.045 5 以下,至少要测量的次数为(　　)
(附:随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
A.32 B.64 C.128 D.256
3.3　正态分布
1.A　根据正态分布密度函数的图象特征,又因为P(ξa+3),所以有=2,解得a=1,故选A.
2.C　P(13.B　∵随机变量X~N(2,σ2)(σ>0),P(X<4)=0.7,∴P(24.C　∵果径服从正态分布N(7,σ2),∴其正态曲线关于直线x=7对称,∵果径在6 cm到8 cm之间的猕猴桃占样本总数的,由对称性可知样本中果径不小于8 cm的猕猴桃占样本总数的×(1-)=,∴样本中果径不小于8 cm的猕猴桃约有×1 600=200个.故选C.
5.ABD　对于A,因为X~N(2,9),则正态曲线关于直线x=2对称,所以P(X≤-1)=P(X≥5),故A正确;
对于B,因为X~B(10,0.4),所以E(X)=10×0.4=4,D(X)=10×0.6×0.4=2.4,
又X+2Y=8,所以Y=4-X,
所以E(Y)=4-E(X)=4-×4=2,D(Y)=D(X)=×2.4=0.6,即B正确;
对于C,依题意X的可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,
所以E(X)=1×+2×+3×+4×,故C错误;
对于D,因为P(X=0)=2-5P(X=1)=a且P(X=0)+P(X=1)=1,解得a=,故D正确.故选ABD.
6.0.6或　0.48或　由正态分布的性质得P(25.35<ξ<25.45)=1-2P(ξ≥25.45)=1-2×0.1=0.8,
则1件产品的质量指标值ξ不位于区间(25.35,25.45)的概率P=0.2,
所以X~B(3,0.2),故E(X)=3×0.2=0.6,D(X)=3×0.2×0.8=0.48.
7.144　∵学生的数学成绩ξ~N(105,102),且P(95≤ξ≤105)≈0.34,∴P(105≤ξ≤115)≈0.34,∴P(ξ>115)≈0.5-0.34=0.16,则上次月考中数学成绩在115分以上的人数大约为900×0.16=144(人).
8.解设正常情况下,该生产线上包装出来的食盐质量为X g,由题意可知X~N(500,52).
(1)由于515=500+3×5,所以根据正态曲线的对称性与“3σ原则”可知P(X>515)=(1-P(500-3×5≤X≤500+3×5))≈×(1-0.997 3)=0.135%.
(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常,由(1)可知,随机抽取两包检查,质量都大于515 g的概率约为0.135%×0.135%≈1.8×10-6,几乎为零,但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现了异常,检测员的判断是合理的.
9.ACD　对于选项A,因为M~N(250,σ2),所以P(M>249)=P(M<251)=0.75,A正确;
对于选项B,因为P(M<251)=0.75,所以P(249所以P(251对于选项C,因为P(249253)=0.75-0.7=0.05,
若从该阿胶产品中随机选取1 000盒,记质量大于253 g的盒数为X,则X~B(1 000,0.05),
所以D(X)=1 000×0.05×(1-0.05)=47.5,C正确;
对于选项D,P(25110.ABC　由正态分布N(1,σ2)的正态密度曲线关于直线x=1对称,由对称性可得图中阴影部分可表示为P(0≤X≤1)=P(X≤1)-P(X<0)=-P(X<0),故选项A正确;由对称性可得P(X<0)=P(X>2),所以图中阴影部分可表示为P(0≤X≤1)=-P(X<0)=-P(X>2),故选项B正确;
由对称性可得P(0≤X≤1)=P(1≤X≤2),所以图中阴影部分可表示为P(0≤X≤1)=[P(X≤2)-P(X<0)]=P(X≤2)-P(X<0),故选项C正确;由对称性可得-P(1≤X≤2)=P(X<0)=P(X>2),故选项D错误.故选ABC.
11.B　因为=105,所以P(X≤90)=P(X≥120)=,所以P(X>90)=1-P(X≤90)=,所以此次考试数学成绩高于90分的人数约为1 000×=640.
12.C　由题意知P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
由于
≈=0.135 9,
即P(μ+σ所以要使得P(m13.　∵数学成绩近似地服从正态分布N(96,52),
∴抽取1名高三学生,数学成绩不低于96分的概率为,
∴所求概率P=)2×.
14.解这批农产品中优质品占比满足生产合同的要求;理由如下:
记这种农产品的质量指标分值为X,由题意可知,X~N(53.7,9.92),则P(43.8≤X≤63.6)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
因为P(X>63)>P(X>63.6)≈=0.158 65>0.15,
所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求.
15.C　根据题意,P(|Xn|>)<0.045 5 P(|Xn|≤)=P(-≤Xn≤)≥1-0.045 5=0.954 5.
而μ=0,则P(-2σ≤Xn≤2σ)≈0.954 5,所以2σ≤ σ= n≥128.
故选C.
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