资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025湘教版数学选择性必修第二册
第4章4.2　一元线性回归模型
4.2.1　回归直线方程
A级 必备知识基础练
1.(多选题)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程和相关系数r,分别得到以下四个结论,其中一定错误的是(　　)
A.y=2.35x-6.42,r=-0.93
B.y=-3.47x+5.65,r=-0.95
C.y=5.43x+8.49,r=0.98
D.y=-4.32x-4.58,r=0.89
2.[2024青海海南高三开学考试]某厂近几年陆续购买了几台A型机床,该型机床已投入生产的时间x(单位:年)与当年需要支出的维修费用y(单位:万元)有如下统计资料:
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7
根据表中的数据可得回归直线方程为=1.23x+,则该型机床已投入生产的时间为10年时,当年所需要支出的维修费用估计为(　　)
A.12.9万元 B.12.36万元
C.13.1万元 D.12.38万元
3.根据如下样本数据,得到的回归直线方程为x+,则(　　)
x 2 3 4 5 6
y 4 2.5 -0.5 -2 -3
A.>0,>0 B.>0,<0
C.<0,>0 D.<0,<0
4.某科研机构在关于人的血压y(单位:mmHg)与体重x(单位:kg)的关系研究中,得到回归直线方程为=0.35x+70,则下列结论正确的是(　　)
A.若=60,则=91
B.人的血压与体重负相关
C.x=80 kg,血压一定为98 mmHg
D.体重大的人比体重小的人血压必然高
5.如果发现散点图中所有样本点都在一条直线上,则这些点到这条直线的竖直距离的平方和等于(　　)
A.1 B.0 C.2 D.3
6.某同学研究了气温对某小卖部热饮销售的影响,经过统计得到了一天所卖的热饮杯数y(单位:杯)与当天气温x(单位:℃)之间的线性关系是由回归直线=-2.35x+147.77来反映的,则下列说法错误的是(　　)
A.所卖的热饮杯数与当天气温负相关
B.可以预测温度在20 ℃时,该小卖部一定能卖出100杯热饮
C.气温每升高1 ℃,所卖的热饮杯数约减少2杯
D.如果某天气温为2 ℃时,则该小卖部能卖出热饮的杯数大约是143杯
7.某次实验得到如下7组数据,通过判断知道y与x线性相关,其回归直线方程为=0.125x+,则=　　　　　.
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6.0 6.2 6.3 6.4 6.4 6.7 6.8
8.“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源汽车的年销售量与年份的统计表.
年份 2017 2018 2019 2020 2021
年销售量/万台 8 12 15 20 25
根据上表,利用最小二乘法,可得新能源汽车的年销售量y万台关于年份x的回归直线方程为　.
参考数据:(xi-)(yi-)=(-2)×(-8)+(-1)×(-4)+1×4+2×9=42,(xi-)2=4+1+1+4=10.
附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
B级 关键能力提升练
9.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准,现选择15名志愿者,对其身高和臂展进行测量(单位:厘米),图1为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图,图2为身高与臂展所对应的散点图,并求得其回归直线方程为=1.16x-30.75,以下结论中错误的是 (　　)
图1
图2
A.15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B.15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C.可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D.身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米
10.(多选题)某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如表所示:
数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76
物理成绩y 80 87 75 a 100 79 93 68 85 77
参考数据:xi=800.已知y与x线性相关,且y关于x的回归直线方程为=1.1x-5,则下列说法正确的是(　　)
A.a=86
B.y与x正相关
C.y与x的相关系数为负数
D.若数学成绩每提高5分,则物理成绩估计能提高5.5分
11.某种细胞的存活率y与存放温度x之间具有线性相关关系,其样本数据如下表所示:
存放温度x/℃ 20 15 10 5 0 -5 -10
存活率y/% 6 14 26 33 43 60 63
计算得=5,=35,xiyi=-175,=875,并求得回归直线方程为=-2x+45,但实验人员发现表中数据x=-5的对应值y=60录入有误,更正为y=53,则更正后的回归直线方程为(　　)
A.=-1.9x+43.5 B.=1.9x+43.5
C.=1.2x+40 D.=-1.2x+32
12.在某学生的4次模拟考试中,其英语作文的减分情况如下表:
考试次数x 1 2 3 4
所减分数y 4.5 4 3 2.5
若所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系,则回归直线方程为(　　)
A.=0.7x+5.25 B.=-0.6x+5.25
C.=-0.7x+6.25 D.=-0.7x+5.25
C级 学科素养创新练
13.某特色餐馆开通了外卖服务,在一周内的某特色菜外卖份数x与收入y之间有如下表的对应数据:
外卖份数x/份 2 4 5 6 8
收入y/元 30 40 60 50 70
(1)画出散点图;
(2)请根据以上数据用最小二乘法,求出收入y关于份数x的回归直线方程;
(3)据此估计外卖份数为12份时,预测收入为多少元.
参考数据:=145,xiyi=1 380.
参考公式:用最小二乘法求回归直线方程x+的系数公式:.
4.2.1　回归直线方程
1.AD　对于y=2.35x-6.42,且r=-0.93,由线性回归方程知,此两变量的关系是正相关,r>0,∴A错误;对于y=-3.47x+5.65,且r=-0.95,线性回归方程符合负相关的特征,r<0,∴B正确;对于y=5.43x+8.49,且r=0.98,线性回归方程符合正相关的特征,r>0,∴C正确;对于y=-4.32x-4.58,且r=0.89,线性回归方程符合负相关的特征,r<0,D错误.故选AD.
2.D　∵=4,
=5,
将点(4,5)代入方程得5=1.23×4+,解得=0.08,
∴=1.23x+0.08.
故当x=10时,=12.38,即当年所需要支出的维修费用估计为12.38万元,故选D.
3.B　由表格可知y随x的增大而减小,故<0,
又
故x+过点(4,0.2),代入可得>0.故选B.
4.A　将=60代入=0.35x+70可得=60×0.35+70=91,故A正确;
由回归直线方程可知,人的血压与体重正相关,故B错误;
当x=80时,=0.35×80+70=98,即x=80 kg,血压约为98 mmHg,故C错误;
因为回归直线方程计算出来的结果是估计的结果,不是必然的,故D错误.故选A.
5.B
6.B　因为回归直线=-2.35x+147.77中-2.35<0,所以y与x负相关,A说法正确;
回归直线=-2.35x+147.77中,当x=20时,=-2.35×20+147.77=100.77,大约卖出100杯,这是一个预测值,不能说一定会卖出100杯,B说法不正确;
由回归直线=-2.35x+147.77知,气温每升高1 ℃,所卖的热饮杯数约减少2杯,C说法正确;
回归直线=-2.35x+147.77中,当x=2时,=-2.35×2+147.77≈143,
即小卖部能卖出热饮的杯数大约是143杯,D说法正确.
故选B.
7.5.9　根据表格数据可得=4,×(6.0+6.2+6.3+6.4+6.4+6.7+6.8)=6.4.故6.4=0.125×4+,解得=5.9.
8.=4.2x-8 463.8　
=2 019,
=16,
故=4.2,
=16-4.2×2 019=-8 463.8,
所以回归直线方程为=4.2x-8 463.8.
9.D　对于A,身高极差大约为21,臂展极差大约为26,故A正确;
对于B,根据散点图以及回归直线得到,15名志愿者身高和臂展成正相关关系,故B正确;
对于C,当x=190时,=1.16×190-30.75=189.65,所以可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米,故C正确;
对于D,由回归直线方程知身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米,但并不是准确值,回归直线上的点并不都是准确的样本点,故D错误.故选D.
10.ABD　根据题意,由y关于x的回归直线方程为=1.1x-5,易知y与x正相关且y与x的相关系数为正数,故B正确,C错误;
若数学成绩每提高5分,代入回归直线方程易得物理成绩估计能提高5.5分,故D正确;
对于选项A,因为=80,,所以=1.1×80-5,解得a=86,故A正确.故选ABD.
11.A　依题意,设更正后的回归直线方程为x+,更正后=5,×(35×7-60+53)=34,
xiyi=-175+5×60-5×53=-140,=875,
=-1.9,=34-(-1.9)×5=43.5,所以更正后的回归直线方程为=-1.9x+43.5.故选A.
12.D　由题意可知,所减分数y与模拟考试次数x之间的相关关系为负相关,所以排除A.考试次数的平均数为(1+2+3+4)=2.5,所减分数的平均数为(4.5+4+3+2.5)=3.5,即回归直线应该过点(2.5,3.5),代入选项验证可知y=-0.7x+5.25成立,故选D.
13.解(1)作出散点图如下图所示:
(2)=5,=50,
∵=145,xiyi=1 380,
∴=6.5,
∴=50-6.5×5=17.5,
故回归直线方程为=6.5x+17.5.
(3)当x=12时,=12×6.5+17.5=95.5,
故外卖份数为12份时,预测收入为95.5元.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑