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2025湘教版数学选择性必修第二册
第4章4.2.2　一元线性回归模型的应用
A级 必备知识基础练
1.根据样本数据得到的回归直线方程x+中的=-1.4,根据此方程预测当x=10时,y的取值为 (　　)
x 3 4 5 6 7 8 9
y 4.0 2.5 0.5 -1 -2.0 -3.0 -4.5
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-6.0 B.-6.1 C.-6.2 D.-6.4
2.[2024江西高二期末]由于网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势,使得各大国货品牌都受到高度关注,销售额迅速增长,已知某国货品牌2023年8~12月在D网络平台的月销售额y(单位:百万元)与月份x具有线性相关关系,并根据这5个月的月销售额,求得回归直线方程为=4.2x+3,则该国货品牌2023年8~12月在D网络平台的总销售额为　　　　　百万元.
3.以模型y=cekx(c>0)去拟合一组数据时,设z=ln y,将其变换后得到线性回归方程z=2x-1,则c=　　　　　.
4.由样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x7,y7)得到的回归方程为.已知数据xi=19,yi=35,,则实数的值为　　　　　.
5.[2024江西高二开学考试]商家为了解某品牌取暖器的月销售量y(单位:台)与月平均气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4个月该品牌取暖器的月销售量与当月平均气温,其数据如下:
x 10 7 4 1
y 26 37 55 82
由表中数据算出回归直线方程x中的=-6.2,当平均气温为-1 ℃时,此品牌取暖器的月销售量为　　　　　台(结果保留整数).
6.[2024湖北武汉高三模拟预测]随着科技发展的日新月异,人工智能融入了各个行业,促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本,正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升,以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后销售金额y(单位:万元)的统计情况.
时间 2023年 8月 2023年 9月 2023年 10月 2023年 11月 2023年 12月 2024年 1月
月份编号x 1 2 3 4 5 6
销售金额 y/万元 15.4 25.4 35.4 85.4 155.4 195.4
若y与x之间线性相关,回答下列问题:
(1)试求变量y与x的样本相关系数r(结果精确到0.01);
(2)试求y关于x的回归直线方程(回归系数保留一位小数),并据此预测2025年2月份该公司的销售金额.
附:线性回归方程x+,其中,相关系数r=.
参考数据:xiyi=2 463.4,-6=20.
7.据统计截止到2020年,中国高铁运营里程已经达到3.9万千米.下表是2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计表,它反映了中国高铁近几年的飞速发展:
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份 代码x 1 2 3 4 5 6 7 8
运营里 程y/万 千米 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.9 3.5 3.9
根据以上数据,回答下面问题.
(1)甲同学用曲线y=bx+a来拟合,并算得相关系数r1=0.97,乙同学用曲线y=cedx来拟合,并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数r2=0.99,试问哪一个更适合作为y关于x的回归方程模型,并说明理由;
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,求y关于x的回归方程(系数精确到0.01).
参考公式:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式:,a=.
参考数据:≈2.48,(xi-)(yi-)≈15.50,(xi-)2=42.00,令w=ln y,≈0.84,(xi-)(wi-)≈6.50,(wi-)2≈1.01,e0.14≈1.15.
B级 关键能力提升练
8.某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据,运用Excel软件计算得=0.577x-0.448(x为年龄,y为人体脂肪含量).对年龄为37岁的人来说,下面说法正确的是(　　)
A.年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%
B.年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%
C.年龄为37岁的大部分人的体内脂肪含量为20.90%
D.年龄为37岁的大部分的人体内脂肪含量为31.5%
9.某植物种子的每百颗的发芽颗数y(单位:颗)和温度x(单位:℃)的散点图如图所示,根据散点图,在0 ℃至24 ℃之间下面四个回归方程模型中最适宜作为发芽颗数y和温度x的回归方程模型的是(　　)
A.y=bx+a B.y=bex+a
C.y=bsin ωx+a D.y=bx2+a
10.已知变量y关于x的回归方程为,其一组数据如下表所示:
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
若x=5,则估计y的值为(　　)
A.e5 B. C.e7 D.
11.某人对一地区人均工资x(单位:千元)与该地区人均消费y(单位:千元)进行统计调查,y与x有相关关系,得到回归直线方程=0.66x+1.075.若该地区的人均消费水平为7.675千元,估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比为　　　　　.
12.某公司为了解某产品的研发费x(单位:万元)对销售量y(单位:百件)的影响,收集了该公司以往的5组数据,发现用函数模型y=aekx(e为自然对数的底数)拟合比较合适.令z=ln y得到x+4.06,经计算,x,z对应的数据如表所示:
研发费x 5 8 12 15 20
z=ln y 4.5 5.2 5.5 5.8 6.5
则aek=　　　　　.
13.某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天,这五家“农家乐”的收费标准互不相同,得到的统计数据如下表,x为收费标准(单位:元/日),t为入住天数(单位:天),以频率作为各自的“入住率”,收费标准x与“入住率”y的散点图如图.
x 100 150 200 300 450
t 90 65 45 30 20
(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查,记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数,求ξ的分布列.
(2)令z=ln x,由散点图判断y=bx+a与y=bz+a哪个更适合于描述y与x的关系(给出判断即可,不必说明理由),并根据你的判断结果求回归方程(的结果精确到0.01).
参考数据:=240,=365 000,xiyi=457.5,≈5.35,≈28.62,≈144.24,ziyi≈12.72.
C级 学科素养创新练
14.某企业为响应国家号召,汇聚科研力量,加强科技创新,准备加大研发资金投入.为了解年研发资金投入额x(单位:亿元)对年盈利额y(单位:亿元)的影响,通过对近10年的年研发资金投入额xi和年盈利额yi(i=1,2,…,10)数据进行分析,建立了两个函数模型:y=α+βx2,y=eλx+t,其中α,β,λ,t均为常数,e为自然对数的底数,令ui=,vi=ln yi(i=1,2,…,10).经计算得如下数据:=26,=215,=680,=5.36,(xi-)2=100,(ui-)2=22 500,(ui-)(yi-)=260,(yi-)2=4,(vi-)2=4,(xi-)(vi-)=18.问:
(1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合度更好.
(2)根据(1)的选择及表中数据,建立y关于x的回归方程.
(3)若希望2024年盈利额y为500亿元,请预测2024年的研发资金投入额x为多少亿元.(结果精确到0.01)
附:①相关系数r=.
②回归直线x+.
参考数据:ln 2≈0.693,ln 5≈1.609.
4.2.2　一元线性回归模型的应用
1.B　由表中数据可得,×(3+4+5+6+7+8+9)=6,
×(4+2.5+0.5-1-2-3-4.5)=-0.5,
∵x+中的=-1.4,∴=-0.5+1.4×6=7.9,
∴=-1.4x+7.9,当x=10时,=-6.1.故选B.
2.225　依题意,=10,因为点()在回归直线上,代入得=4.2×10+3=45,
所以该国货品牌2023年8~12月在D网络平台的总销售额为5×45=225百万元.
3.　∵y=cekx(c>0),∴两边取对数,可得ln y=ln(cekx)=ln c+ln ekx=ln c+kx,
令z=ln y,可得z=ln c+kx,∵线性回归方程z=2x-1,∴ln c=-1,解得c=.
4.4　令t=,则t≥0,则回归方程为t+且过样本中心(),
∵yi=×35=5,
∴=5,解得=4.
5.90　由题意可得×(10+7+4+1)=5.5,×(26+37+55+82)=50,将点(5.5,50)代入回归直线方程x,其中=-6.2,
即50=-6.2×5.5,
解得=84.1,所以=84.1-6.2x,
当x=-1时,y的估计值=90.3≈90.
6.解(1)=3.5,=85.4,
-6=1+4+9+16+25+36-6×3.52=17.5,
所以r==
≈0.96.
(2)由题意≈38.3,
所以=85.4-3.5×38.3≈-48.7,
所以y关于x的回归直线方程为=38.3x-48.7,
所以预测2025年2月份该公司的销售金额为y=38.3×19-48.7=679(万元).
7.解(1)∵0(2)=4.5,
由y=cedx得ln y=ln c+dx,令z=ln y,a=ln c,b=d,则得到直线方程z=bx+a,因为≈0.15,
≈0.84-×4.5≈0.14,所以=0.14+0.15x,所以=e0.14+0.15x=e0.14e0.15x≈1.15e0.15x.
8.C　当x=37时,=0.577×37-0.448=20.901≈20.90,由此估计年龄为37岁的大部分人的体内脂肪含量为20.90%.
9.C　由散点图可知,函数先增后减,选项A与选项B的函数单调,所以不符合图形,故错误;C选项中,散点图与正弦型函数的一部分图象很接近,适合作为发芽颗数y和温度x的回归方程,故C正确;D选项中二次函数的对称轴为y轴,与散点图不符,故D错误.故选C.
10.D　将式子两边取对数,得到x-0.5,令,得到x-0.5,列出x,z的取值对应的表格,
x 1 2 3 4
z 1 3 4 6
则=2.5,=3.5,
∵()满足-0.5,
∴3.5=×2.5-0.5,解得=1.6,
∴=1.6x-0.5,
∴=e1.6x-0.5,当x=5时,=e1.6×5-0.5=.故选D.
11.76.75%　因为回归直线方程为=0.66x+1.075,且人均消费水平为7.675千元,则有7.675=0.66x+1.075,解得x=10,所以估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比为×100%=76.75%.
12.e4.18　=12,=5.5,
所以5.5=×12+4.06,解得=0.12,
所以=0.12x+4.06.
又因为z=ln y,所以=e0.12x+4.06=e4.06e0.12x,
所以aek=e4.06·e0.12=e4.18.
13.解(1)由题意,随机抽取两家深入调查,ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
(2)y=bz+a更适合于描述y与x的关系.
×(0.9+0.65+0.45+0.3+0.2)=0.5,
≈-0.57,
∵≈5.35,∴≈0.5-(-0.57)×5.35≈3.55,
∴回归方程为=-0.57ln x+3.55.
14.解(1)为了判断两个函数模型y=α+βx2,y=eλx+t拟合程度,只需要判断两个函数模型y=α+βu,v=λx+t拟合程度即可.设{ui}和{yi}的相关系数为r1,{xi}和{vi}的相关系数为r2,
由题意r1=≈0.87,
r2==0.9,
显然r2>r1>0,因此从相关系数的角度,模型y=eλx+t的拟合程度更好.
(2)先建立v关于x的线性回归方程,由y=eλx+t得ln y=λx+t,即v=λx+t,
=0.18,
=5.36-0.18×26=0.68,
所以v关于x的线性回归方程为=0.18x+0.68,
即=0.18x+0.68,
所求回归方程为=e0.18x+0.68.
(3)若2024年盈利额为500亿元,即为500=e0.18x+0.68,
ln 500=0.18x+0.68,6.215≈0.18x+0.68,
解得x≈30.75,
所以2024年的研发资金投入量约为30.75亿元.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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