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2025湘教版数学选择性必修第二册
第4章4.3　独立性检验
附表:
P(χ2≥x0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A级 必备知识基础练
1.经过对χ2的统计量的研究,得到了若干个临界值,当χ2≤3.841时,我们认为事件A与B(　　)
A.有95%的把握认为A与B有关系
B.有99%的把握认为A与B有关系
C.没有充分理由说明事件A与B有关系
D.有90%的把握认为A与B有关系
2.为了判定两个分类变量X和Y是否有关系,应用独立性检验算得χ2的观测值为5,又已知P(χ2≥3.841)=0.05,P(χ2≥6.635)=0.01,则下列说法正确的是(　　)
A.有99%以上的把握认为“X和Y有关系”
B.有99%以上的把握认为“X和Y没有关系”
C.有95%以上的把握认为“X和Y有关系”
D.有95%以上的把握认为“X和Y没有关系”
3.根据分类变量X与Y的数据,计算得到χ2=3.974,下列判断正确的是(　　)
A.有不少于95%的把握认为变量X与Y有关系
B.有不少于95%的把握认为变量X与Y没有关系
C.没有充分的证据显示变量X与Y有关系
D.没有充分的证据显示变量X与Y不独立,这个结论犯错误的概率不超过0.05
4.某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查,根据独立性检验原理,处理所得数据之后发现,有97.5%的把握但没有99%的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关,则χ2的观测值可能为(　　)
A.χ2=3.206 B.χ2=6.625
C.χ2=7.869 D.χ2=11.208
5.(多选题)下列有关独立性检验的四个结论正确的是 (　　)
A.两个变量的2×2列联表中,对角线上数据的乘积相差越大,说明两个变量有关系成立的可能性就越大
B.对分类变量X与Y的统计量χ2的观测值x0来说,x0越小,“X与Y有关系”的可信程度越小
C.由独立性检验可知:有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关,我们说某人秃顶,那么他有95%的可能患有心脏病
D.由独立性检验可知:有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关,是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关
6.[2024内蒙古赤峰高三开学考试]卫生纸是人民群众生活中不可缺少的日用品.某品牌卫生纸生产厂家为保证产品的质量,现从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取500件进行品质鉴定,并将统计结果整理如下:
生产线 品质
合格品 优等品
甲生产线 250 250
乙生产线 300 200
(1)根据表中数据分析,能否认为产品的品质与生产线有关
(2)用频率估计概率,从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取2件进行详细检测,记抽取的产品中优等品的件数为X,求随机变量X的分布列与数学期望.
B级 关键能力提升练
7.为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的,女性喜爱足球的人数占女性人数的,若本次调查得出“有99.5%的把握认为喜爱足球运动与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有(　　)
附:χ2=.
A.11人 B.12人 C.13人 D.14人
8.每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候,甲、乙两家公司今年分别提供了2个和3个不同的职位,一共收到了100份简历,具体数据如下:
单位:份
公司 文史男 文史女 理工男 理工女
甲 10 10 20 10
乙 15 20 10 5
分析毕业生的选择意愿与性别的关联时,对应的χ2的观测值x1≈1.010,分析毕业生的选择意愿与专业关联时,对应的χ2的观测值x2≈9.090,则下列说法正确的是(　　)
A.有99.9%的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联
B.毕业生在选择甲、乙公司时,选择意愿与专业的关联比与性别的关联性更大一些
C.理科专业的学生更倾向于选择乙公司
D.女性毕业生更倾向于选择甲公司
9.某班主任对全班50名学生进行了作业量的评价调查,所得数据如下表所示:
单位:名
性别 对作业量的评价 合计
认为作业量大 认为作业量不大
男生 18 9 27
女生 8 15 23
合计 26 24 50
则认为作业量的大小与学生的性别有关的犯错误的概率不超过　　　　　.
10.为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:
PM2.5 SO2
[0,50] (50,150] (150,475]
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;
(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:
PM2.5 SO2
[0,150] (150,475]
[0,75]
(75,115]
(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.
参考公式:χ2=.
C级 学科素养创新练
11.针对时下的“直播热”,某校团委对“学生性别和喜欢直播是否有关”进行了调查,其中被调查的男、女生人数相同,男生喜欢直播的人数占男生人数的,女生喜欢直播的人数占女生人数的,若在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为是否喜欢直播和性别有关,则调查人数中男生至少有　　　　　人.
12.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办.
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关,某学校随机抽取了男生和女生各100名进行调查,得到2×2列联表如下:
性别 是否喜爱篮球运动 合计
是 否
男生 65 35 100
女生 25 75 100
合计 90 110 200
能否认为喜爱篮球运动与性别有关
(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人,如此不停地传下去,且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者,第n次触球者是甲的概率记为Pn,即P1=1.
①求P3,P4,并证明:为等比数列;
②比较第15次触球者是甲与第15次触球者是乙的概率的大小.
参考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d.
4.3　独立性检验
1.C　当χ2>3.841时,有不少于95%的把握认为A与B有关系,但当χ2≤3.841时,只能说明没有充分理由证明A与B有关系.故选C.
2.C　∵3.481<χ2=5<6.635,而在观测值表中对应于3.841的是0.05,对应于6.635的是0.01,∴有1-0.05=95%以上的把握认为“X和Y有关系”.故选C.
3.A　∵χ2=3.974>3.841,∴有不少于95%的把握认为变量X与Y有关系.
4.B　∵有97.5%的把握但没有99%的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关,∴5.024<χ2≤6.635,故B选项符合题意.故选B.
5.ABD　对于A,两个变量的2×2列联表中,对角线上数据的乘积相差越大,说明两个变量有关系成立的可能性就越大,所以A正确;对于B,对分类变量X与Y的统计量χ2的观测值x0来说,x0越小,“X与Y有关系”的可信程度越小,所以B正确;对于C,由独立性检验可知:有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关,不是说某人秃顶,那么他有95%的可能患有心脏病,C错误;对于D,由独立性检验可知:有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关,是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关,所以D正确.故选ABD.
6.解(1)补充列联表如下:
生产线 品质 合计
合格品 优等品
甲生产线 250 250 500
乙生产线 300 200 500
合计 550 450 1 000
提出统计假设H0:产品的品质与生产线无关.
根据列联表中的数据,经计算得到χ2=≈10.101.
因为7.879<10.101<10.828,查临界值表可知,我们至少有99.5%的把握认为产品的品质与生产线有关.
(2)由样本数据可知甲、乙两条生产线生产的产品中优等品的频率分别为.
所以估计从甲、乙两生产线生产的产品中各随机抽取1件产品,其为优等品的概率分别为.
X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=()2×()2=,P(X=1)=×()2×()2+()2×,
P(X=2)=()2×()2+×()2×+()2×()2=,
P(X=3)=×()2×()2+()2×,P(X=4)=()2×()2=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×.
7.B　 设男性人数为k,依题意,得2×2列联表如下:
性别 是否喜爱足球运动 合计
是 否
男性 k
女性 2k
合计 3k
则χ2=.
因为本次调查得出“有99.5%的把握认为喜爱足球运动与性别有关”的结论,于是χ2≥7.879,即≥7.879,解得k≥11.818 5,而k∈N*,因此kmin=12.故选B.
8.B　对于A,毕业生的选择意愿与专业是否有关联对应的χ2的观测值x2≈9.090<10.828,所以没有99.9%的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联,选项A错误;
对于B,毕业生的选择意愿与性别是否有关联对应的χ2的观测值x1≈1.010,选择意愿与专业是否有关联对应的χ2的观测值x2≈9.090,所以选择意愿与专业的关联性比与性别的关联性更大一些,选项B正确;
对于C,由题意不能得出理科专业的学生更倾向于选择乙公司,选项C错误;
对于D,由题意不能得出女性毕业生更倾向于选择甲公司,选项D错误.故选B.
9.0.025　因为χ2=≈5.059,5.024<5.059<6.635,所以认为作业量的大小与学生的性别有关的犯错误的概率不超过0.025.
10.解(1)根据抽查数据,该市100天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率的估计值为=0.64.
(2)根据抽查数据,可得2×2列联表:
PM2.5 SO2 合计
[0,150] (150,475]
[0,75] 64 16 80
(75,115] 10 10 20
合计 74 26 100
(3)提出统计假设H0:该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.
根据(2)的列联表得χ2=≈7.484.由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.
11.45　设男生的人数为5n(n∈N*),根据题意列出2×2列联表如下表所示:
单位:人
是否喜欢直播 性别 合计
男生 女生
是 3n 4n 7n
否 2n n 3n
合计 5n 5n 10n
则χ2=.
由于在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为是否喜欢直播和性别有关,所以≥3.841,得n≥8.066 1,
因为n∈N*,所以5n的最小值为45.
因此调查人数中男生至少有45人.
12.解(1)提出统计假设H0:喜爱篮球运动与性别无关,
计算χ2=≈32.323>6.635,
我们推断H0不成立,即认为喜爱篮球运动与性别有关.
(2)①由题意知,P1=1,P2=0,P3=,P4=×0+1-×.
证明:第n次触球者是甲的概率记为Pn,则当n≥2时,第n-1次触球者是甲的概率为Pn-1,第n-1次触球者不是甲的概率为1-Pn-1,则Pn=Pn-1×0+(1-Pn-1)×(1-Pn-1),从而Pn-=-Pn-1-,又P1-,所以是以为首项,-为公比的等比数列.
②第n次触球者是甲的概率为Pn=,所以P15=,
第15次触球者是乙的概率为Q15=(1-P15)=1-=,所以第15次触球者是甲的概率比第15次触球者是乙的概率大.
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