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2025湘教版数学选择性必修第二册
第4章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设一个回归方程为=3+1.2x,则变量x增加一个单位时(　　)
A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加3个单位
C.y平均减少1.2个单位 D.y平均减少3个单位
2.在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时,得到如下数据:
x 4 6 8 10 12
y 1.3 1.9 3 3.9 4.9
由表中数据求得y关于x的回归直线方程,则(4,1.3),(6,1.9),(8,3),(10,3.9)这四个样本点中,距离回归直线最近的点是(　　)
A.(4,1.3) B.(6,1.9) C.(8,3) D.(10,3.9)
3.某机构通过抽样调查,利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关,计算得χ2=3.305,经查对临界值表知P(χ2≥2.706)≈0.10,P(χ2≥3.841)≈0.05.现给出四个结论,其中正确的是(　　)
A.因为χ2>2.706,故有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
B.因为χ2<3.841,故有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
C.因为χ2>2.706,故有90%的把握认为“患肺病与吸烟无关”
D.因为χ2<3.841,故有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”
4.下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是(　　)
A.回归分析和独立性检验没有什么区别
B.回归分析是对两个变量准确关系的分析,而独立性检验是分析两个变量之间的不确定关系
C.回归分析研究两个变量之间的相关关系,独立性检验是对两个变量是否有关系的一种检验
D.独立性检验可以100%确定两个变量之间是否有关系
5. 相关变量x,y的散点图如图所示,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一,根据图中所有数据,得到回归直线方程x+,相关系数为r1;方案二,剔除点(10,21),根据剩下的数据得到回归直线方程x+,相关系数为r2,则(　　)
A.0C.-16.在一项调查中有两个变量x和y,下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图,那么适宜作为y关于x的回归方程的函数模型是(　　)
A.y=a+bx B.y=p+qcx(q>0) C.y=m+nx2(n>0) D.y=c+d
7.某考察团对10个城市的职工人均工资x(单位:千元)与居民人均消费y(单位:千元)进行调查统计,得出y与x具有线性相关关系,且回归方程为=0.16x+1.2.若某城市职工人均工资为5千元,估计该城市的职工人均消费额占工资收入的百分比为(　　)
A.40% B.60% C.70% D.80%
8.某化工厂产生的废气经过过滤后排放,以模型y=P0e-kx去拟合过滤过程中废气的污染物数量y mg/L与时间x h间的一组数据时,为了求出回归方程,设z=ln y,其变换后得到线性回归方程=-0.5x+2+ln 300,则当经过6 h后,估计废气的污染物数量约为(　　)
A.300e2 mg/L B.300e mg/L C. mg/L D. mg/L
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量x和y的n对数据,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线,如图所示,则以下结论正确的是(　　)
A.直线l必过点()
B.回归直线必通过散点图中的多个点
C.x和y的相关系数在-1和0之间
D.当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数相同
10.为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间的关系,某研究机构随机抽取了50名高中生,通过问卷调查,得到以下数据:
数学成绩 选物理 不选物理
优异 20 7
一般 10 13
根据临界值表,以下说法正确的是(　　)
参考数据:
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.有95%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关
B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为是否选择物理与数学成绩有关
C.95%的数学成绩优异的同学选择物理
D.若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍,在相同条件下,结论不会发生变化
11.在一次飞行航程中,调查男、女乘客在机上晕机的情况,结果如下表所示:
性别 晕机 不晕机 合计
男 n11 15 n1+
女 6 n22 n2+
合计 n+1 28 46
下列说法正确的是(　　)
A.
B.χ2<2.706
C.有90%的把握认为在飞行中,晕机与否跟男女性别有关
D.在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为在飞行中,晕机与否跟男女性别有关
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.对具有线性相关关系的变量x,y有一组观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,8),其回归直线方程是x+,且(x1+x2+…+x8)=2(y1+y2+…+y8)=6,则=　　　　　.
13.疫苗是用于人体预防接种的预防性生物制品,疫苗的有效率决定了疫苗预防作用的大小.一般通过比较疫苗接种人群和未接种人群出现病例的情况,可对疫苗的保护效力进行评估.疫苗有效率的计算方法:若注射安慰剂组的发病率是a,注射疫苗组的发病率是b,则疫苗有效率的计算公式为(a-b)÷a.为了考察某种疫苗的预防效果,在进行试验后,得到如表统计数据:
发病情况 未发病 发病 合计
安慰剂组 20 40 60
疫苗组 80 10 90
合计 100 50 150
该疫苗的有效率为　　　　　.
14.某商家统计,甲产品以往的先进技术投入xi(单位:千元)与月产利润yi(单位:千元)(i=1,2,3,…,8)的数据可以用方程+50 来拟合,且=9 630,=6.8,其中ti=ti,yi,预测先进生产技术投入为64千元时,甲产品的月产利润大约为　　　　　千元.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)下表是弹簧伸长的长度x与拉力值y的对应数据:
长度x/cm 1 2 3 4 5
拉力值y/N 3 7 8 10 12
(1)求样本相关系数r(保留两位小数);
(2)通过样本相关系数r说明y与x是否线性相关.
参考数据和公式:r=≈3.16,≈6.78,≈4.80.
16.(15分)某连锁经营公司的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表.
商店名称 A B C D E
销售额x/万元 3 5 6 7 9
利润额y/万元 2 3 3 4 5
(1)画出销售额和利润额的散点图;
(2)根据相关的参考公式与参考数据,求利润额y与销售额x之间的回归直线方程;
(3)若该公司还有一个零售店某月销售额为11万元,试估计它的利润额.
附:参考公式:x+,其中xiyi=112,=200.
17.(15分)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得=0.038,=1.615 8,xiyi=0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附:相关系数r=≈1.377.
18.(17分)[2023全国甲,理19改编]一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望;
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8　26.5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.6　35.6
35.8　36.2　37.3　40.5　43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5　18.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.8　23.6
23.9　25.1　28.2　32.3　36.5
①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成下表:
组名 增加量
对照组
试验组
②根据①中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
附:χ2=.
P(χ2≥x0) 0.100 0.050 0.010
x0 2.706 3.841 6.635
19.(17分)某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验,并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据,且作了一定的数据处理(如表),得到了散点图(如图).
(xi-)2 (wi-)2 (xi-)(yi-) (wi-)(yi-)
1.47 20.6 0.78 2.35 0.81 -19.3 16.2
表中wi=wi.
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+哪一个更适宜作烧开一壶水所用时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型 (不必说明理由)
(2)根据判断结果和表中数据,建立y关于x的回归方程.
(3)若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比,那么x为多少时,烧开一壶水最省煤气
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(u3,v3),…,(un,vn),其回归直线 u的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
第4章测评
1.A
2.C　=8,
=3,
∴距离回归直线最近的点是(8,3).
3.A　因为χ2=3.305,且3.305>2.706,由临界值表知P(χ2≥2.706)≈0.10,由于1-0.1=90%,所以有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”,故A正确,C不正确;
因为临界值3.841>3.305,则不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”,也不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”,即B,D都不正确.故选A.
4.C　回归分析和独立性检验是两种不同的统计分析,故A错误;回归分析研究两个变量之间的相关关系,独立性检验是对两个变量是否有关系的一种检验,故B错误,C正确;独立性检验不能100%确定两个变量之间是否有关系,故D错误.
故选C.
5.D　由题中散点图可知两变量负相关,所以r1<0,r2<0,因为剔除点(10,21)后,剩下的数据线性相关性更强,|r2|更接近1,所以-16.D　由散点图可知,y随x的增大而增大,且增长速度变慢.选项A中的函数为线性函数,排除A;
选项B中的函数为指数型函数,当c>1时,y随x的增大而增大,且越增越快,不合题意,当0C选项中的函数为开口向上的二次函数,增长速度先慢后快,不合题意,排除C;
D选项中的函数,当d>0时,y随x的增大而增大,且增长速度越来越缓慢,符合题意,故D正确.故选D.
7.A　由y与x具有线性相关关系且满足回归方程=0.16x+1.2,当x=5时,可得=0.16×5+1.2=2,即估计该城市的职工人均消费额为2千元,所以可估计该城市的职工人均消费额占工资的百分比为100%=40%.故选A.
8.D　当x=6时,=-1+ln 300=ln,故选D.
9.AC　A是正确的;回归直线可以不经过散点图中的任何点,故B错误;
由题设中提供的直线的图象可知x和y是负相关,相关系数在-1和0之间,故C正确;
当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数不一定相同,故D错误.
故选AC.
10.AB　由题表中数据,计算得到χ2=4.844,因为4.844>3.841,由临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05,所以有95%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关,在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为是否选择物理与数学成绩有关,故A,B正确;
易知C错误;
若表中的数据都扩大为原来的10倍,则χ2=48.44,
又48.44>10.828,故结论会发生变化,故D错误.
故选AB.
11.AB　由2×2列联表性质可知n+1+28=46,
解得n+1=18.
由n11+6=18,解得n11=12.
由15+n22=28,解得n22=13.
故n1+=12+15=27,n2+=6+13=19.
所以
因为,故选项A正确;
由计算公式可知χ2=0.775<2.706,因此没有90%的把握认为,在飞行中,晕机与否跟男女的性别有关,故选项B正确,C,D错误.故选AB.
12　由题(x1+x2+…+x8)=2(y1+y2+…+y8)=6,
所以,
,
所以样本中心的坐标为,代入x+,得
13　由表中的数据可得,注射安慰剂组的发病率是a=,注射疫苗组的发病率是b=,则该疫苗的有效率为÷
14.9 690　-50=9 630-50×6.8=9 290,所以回归方程为=9 290+50,当x=64时,甲产品的月产利润大约为=9 290+50×8=9 690千元.
15.解(1)依题意,=3,
=8,
,
,
(xi-)(yi-)=(-2)×(-5)+(-1)×(-1)+0×0+1×2+2×4=21,
所以样本相关系数
r=0.98.
(2)由(1)知r=0.98>0.8,说明y与x具有较强的线性相关关系.
16.解(1)根据表中所给的数据,在所给的平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.
(2)由已知数据可知=6,=3.4,
=0.5,
=3.4-0.5×6=0.4,∴回归直线方程为=0.5x+0.4.
(3)当x=11时,代入回归直线方程中,得=5.9(万元),
所以某月销售额为11万元,它的利润额约是5.9万元.
17.解(1)依题意,=0.06,=0.39,
故估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为=0.06,平均一棵的材积量为=0.39.
(2)依题意,所求样本相关系数
r=
=0.97.
(3)由题意及(1),可知该林区这种树木的总材积量的估计值为186=1 209(m3).
18.解(1)X所有可能取值为0,1,2,且P(X=k)=,k=0,1,2,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
X的数学期望E(X)=0+1+2=1.
(2)①m=23.4.
列联表如下:
组名 增加量 合计
对照组 6 14 20
试验组 14 6 20
合计 20 20 40
②由列联表中的数据,可得
χ2==6.4.
由于6.4>3.841,因此有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
19.解(1)由散点图可知y=c+更适宜作烧开一壶水所用时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型.
(2)由公式可得=20.
=20.6-20×0.78=5,
所以所求回归方程为=5+
(3)设t=kx,k≠0,则煤气用量S=yt=kx=5kx+2=20k,
当且仅当5kx=,
即x=2时,等号成立.
所以当x为2时,烧开一壶水最省煤气.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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