资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025湘教版数学选择性必修第二册
模块综合测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量a=(1,1,0),则与a同向且共线的单位向量e=(　　)
A.-,0 B.(0,1,0) C.,0 D.(-1,-1,0)
2.下列求导运算正确的是(　　)
A.(x3-x2+1)'=3x2-2x+1 B.'=-
C.(exlog2x)'= D.(sin 2x)'=cos 2x
3.为考察一种新药预防疾病的效果,某科研小组进行动物实验,收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中,由列联表中的数据计算得χ2≈9.616.
附表:
P(χ2≥x0) 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参照附表,下列结论正确的是(　　)
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“药物有效”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“药物无效”
C.有不少于99%的把握认为“药物有效”
D.有不少于99%的把握认为“药物无效”
4.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M.设=a,=b,=c,则下列向量中与相等的是(　　)
A.-a-b+c B.-a+b+c
C.a-b+c D.a+b+c
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　)
A.y=a+bx B.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+bln x
6.小明上学可以乘坐公共汽车,也可以乘坐地铁.已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4,乘坐地铁的概率为0.6,而且乘坐公共汽车与地铁时,小明迟到的概率分别为0.05和0.04,则小明准时到校的概率为(　　)
A.0.954 B.0.956 C.0.958 D.0.959
7.研究两个变量x,y的相关关系,得到了7个数据,作出其散点图如图所示.对这两个变量进行线性相关分析,方案一,根据图中所有数据,得到回归直线方程x+,相关系数为r1;方案二,剔除点3对应的数据,根据剩下数据得到回归直线方程x+,相关系数为r2,则(　　)
A.<0,<0,-10,>0,-1C.>0,>0,00,>0,08.已知空间四个点A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4),则直线AD与平面ABC所成的角为 (　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.在空间直角坐标系O-xyz中,平面α的法向量为n=(1,1,1),直线l的方向向量为m,则下列说法错误的是 (　　)
A.若m=-,-,1,则l∥α B.若m=(1,0,-1),则l⊥α
C.平面α与所有坐标轴相交 D.原点O一定不在平面α内
10.甲盒中有3个红球和2个白球,乙盒中有2个红球和3个白球.先从甲盒中随机取出一球放入乙盒,用事件E表示“从甲盒中取出的是红球”,用事件F表示“从甲盒中取出的是白球”;再从乙盒中随机取出一球,用事件G表示“从乙盒中取出的是红球”.下列结论正确的是(　　)
A.事件F与G是互斥事件 B.事件E与G不是相互独立事件
C.P(G)= D.P(G|E)=
11.若0A.ln a>ln b B.ln abln a
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知空间向量a=(4,-1,λ),b=(2,1,1),c=(1,2,1),若a,b,c共面,则实数λ=　　　　　.
13.若函数f(x)=x3+3x2-mx+1在[-2,2]上单调递增,则实数m的取值范围是　　　　.
14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=AA1=4,BC=3,则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=x3-3ax+2,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x+y+m=0.
(1)求实数a,m的值;
(2)求f(x)在区间[1,2]上的最值.
16.(15分)已知函数f(x)=x3+2ax+b在x=-2 处取得极值.
(1)求实数a的值;
(2)若函数y=f(x)在[0,4]内有零点,求实数b的取值范围.
17.(15分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,PA=AB=2,在棱PD上取点Q,使得PB∥平面ACQ.
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)求平面ACQ与平面ABCD所成角的余弦值;
(3)求直线PB到平面ACQ的距离.
18.(17分)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列.
(2)为使累计得分的数学期望最大,小明应选择先回答哪类问题 请说明理由.
19.(17分)[2022新高考Ⅰ,20]一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
组别 不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
(ⅰ)证明:R=;
(ⅱ)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值.
附:χ2=.
P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001
x0 3.841 6.635 10.828
模块综合测评
1.C　向量a=(1,1,0),则与a同向且共线的单位向量为e=
故选C.
2.B　由于(x3-x2+1)'=3x2-2x,'=(2)'=-,(exlog2x)'=exlog2x+,(sin 2x)'=2cos 2x,因此选项B正确.
故选B.
3.C　∵6.635<χ2<10.828,
∴有不少于99%的把握认为“药物有效”.
故选C.
4.B　=c+=c+)=-a+b+c.
故选B.
5.D　结合题中散点图,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数型函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+bln x.
6.B　小明上学乘坐公共汽车且准时到校的概率为0.4×(1-0.05)=0.38,
小明上学乘坐地铁且准时到校的概率为0.6×(1-0.04)=0.576,
∴小明准时到校的概率为0.38+0.576=0.956.
故选B.
7.D　根据两个变量x,y的散点图知变量x,y正相关,所以>0,>0.
方案一中,没剔除点3,线性相关性弱,方案二中,剔除点3,线性相关性强,所以相关系数08.A　∵A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4),
=(-2,-1,3),=(-5,-1,1),=(-4,-2,-1).
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则由n=0,n=0,
可知
令x=1,得y=-3,z=2,
所以n=(1,-3,2).
设直线AD与平面ABC所成的角为θ,
则sin θ=|cos<,n>|=,
解得θ=30°.
故选A.
9.ABD　由于m·n=-+1=0,所以m⊥n,所以l∥α或l α,故A错误;
由于m·n=1+0-1=0,所以m⊥n,所以l∥α或l α,故B错误;
由于平面α的法向量的横、纵、竖坐标均不取零,故平面α不与坐标轴确定的平面平行,所以平面α与所有坐标轴相交,故C正确;
由于一个平面的法向量不能确定平面的具体位置,故不能确定原点O与平面α的关系,故D错误.故选ABD.
10.BCD　对于A,事件F和G能同时发生,所以事件F和G不是互斥事件,故A错误;
对于C,P(G)=,故C正确;
对于D,P(G|E)=,故D正确;
对于B,因为P(EG)=,P(E)P(G)=,所以P(EG)≠P(E)P(G),所以事件E与事件G不是相互独立事件,故B正确.
故选BCD.
11.BD　因为函数y=ln x在(0,+∞)上单调递增,且00,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,因为0bln a,C错误,D正确.故选BD.
12.1　∵空间向量a=(4,-1,λ),b=(2,1,1),c=(1,2,1),a,b,c共面,
∴a=xb+yc,x,y∈R,
∴(4,-1,λ)=x(2,1,1)+y(1,2,1)=(2x+y,x+2y,x+y).
∴λ=x+y=1.
13.(-∞,-3]　由函数f(x)=x3+3x2-mx+1在[-2,2]上单调递增,可得f'(x)=3x2+6x-m≥0在[-2,2]上恒成立,即m≤3x2+6x在[-2,2]上恒成立,即m≤(3x2+6x)min,令t=3x2+6x=3(x+1)2-3,x∈[-2,2],所以当x=-1时,tmin=-3,所以m≤-3.
14　以C为坐标原点,向量方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),C1(0,0,4),C(0,0,0),B1(0,3,4),
所以=(-4,0,4),=(0,3,4),=16,||=4,||=5,
因此异面直线AC1与B1C所成角的余弦值等于|cos<>|=
15.解(1)函数f(x)=x3-3ax+2的导数为f'(x)=3x2-3a,
∵曲线f(x)=x3-3ax+2在x=1处的切线方程为3x+y+m=0,
解得a=2,m=0.
(2)由(1)知f(x)=x3-6x+2.
f'(x)=3x2-6,令f'(x)=0,得x=±
当x∈[1,]时,f'(x)<0,∴f(x)在[1,]上单调递减;
当x∈(,2]时,f'(x)>0,
∴f(x)在(,2]上单调递增.
∴f()为f(x)在区间[1,2]上的极小值也是最小值.
又f(1)=-3,f()=2-4,f(2)=8-12+2=-2,
∴f(x)在区间[1,2]上的最大值为-2,最小值为2-4
16.解(1)f'(x)=3x2+2a,
∵f(x)在x=-2处取得极值,
∴f'(-2)=12+2a=0,
∴a=-6.
经验证当a=-6时,f(x)在x=-2处取得极值.
故a=-6.
(2)由(1)知f(x)=x3-12x+b,f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),
令f'(x)=0,
则x1=-2,x2=2.
当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
x 0 (0,2) 2 (2,4) 4
f'(x) - 0 +
f(x) b 递减↘ 极小值b-16 递增↗ b+16
由此可得,要使y=f(x)在[0,4]内有零点,只需
∴-16≤b≤16,
即实数b的取值范围是[-16,16].
17.(1)证明由于平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,PA 平面PAD,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.
(2)解设AC∩BD=O,则O为BD的中点,连接OQ,
由于PB∥平面ACQ,PB 平面PBD,平面PBD∩平面ACQ=OQ,所以PB∥OQ,由于O是BD的中点,所以Q是PD的中点.
由于PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥AB,又AB⊥AD,故AB,AD,AP两两垂直,以A为原点建立空间直角坐标系,如图所示.
则A(0,0,0),C(2,2,0),Q(0,1,1),D(0,2,0),则=(0,1,1),=(2,2,0).
设平面ACQ的法向量为n=(x,y,z),
所以
令x=-1,则y=1,z=-1,
所以n=(-1,1,-1)为平面ACQ的一个法向量.
易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),记平面ACQ与平面ABCD所成角为θ,则cos θ=
(3)解由于PB∥平面ACQ,则PB到平面ACQ的距离即为点B到平面ACQ的距离.
=(0,2,0),
因此点B到平面ACQ的距离为,
即直线PB到平面ACQ的距离为
18.解(1)X=0,20,100.
P(X=0)=1-0.8=0.2=,
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=,
P(X=100)=0.8×0.6=
所以X的分布列为
X 0 20 100
P
(2)若小明先回答A类问题,数学期望为E(X).
则E(X)=0+20+100
若小明先回答B类问题,Y为小明的累计得分,
Y=0,80,100,
P(Y=0)=1-0.6=0.4=,
P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=,
P(Y=100)=0.6×0.8=
E(Y)=0+80+100
因为E(X)19.解(1)由题意可知,n=200,
∴χ2=
=
=24>6.635,
∴有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)(ⅰ)证明:R=
(ⅱ)P(A|B)==0.4,
P(A|)==0.1,
同理P()==0.9,
P(|B)==0.6,
∴R==6.
∴指标R的估计值为6.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑