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2025 届中考模拟试卷
数学试卷
注意事项:
1.你拿到的试卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟.
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.
3.请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的.
4.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分)
每小题都给出 A,B,C,D 四个选项,其中只有一个是符合题目要求的.
1.-2 的绝对值是
A.-2 B.2 C.- D.
2.计算(-a2)3 的结果是
A.a6 B.-a5 C.a8 D.-a6
3.如图,这是初中物理课上用到的电压表立体示意图,则其主视图为
4.量子产业正在开启未来产业新赛道.前瞻产业研究院报告显示,2023 年全球量子信息投
资规模达到 386 亿美元,其中中国投资总额达 150 亿美元.数据 150 亿用科学记数法表示
为
A.1.5×1010 B.1.5×1011 C.150×108 D.15×1010
5.不等式 2-2x>0 的解集在数轴上表示为
6.如图,两个直角三角板的直角顶点 A 重合,斜边 BC 与 DE 平行,其中∠DAE=∠BAC=90°
,∠B=45°,∠D=30°,则∠DAB 的度数为
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A.15° B.16° C.18° D.20°
7.为增强学生网络常识及安全意识,某校举行了一次全校 6000 名学生参加的安全知识竞
赛.从中随机抽取 150 名学生的竞赛成绩进行了分析,把成绩(满分 100 分,所有竞赛成绩均
不低于 60 分)分成四个等级(60≤x<70;70≤x<80;80≤x<90;90≤x≤100),并根据分析结果绘制
了不完整的频数分布直方图.请据此估计全校学生中竞赛成绩低于 80 分的人数是
A.2160 B.2640 C.3000 D.3360
8.如图,在△ABC 中,AF 与 CE 相交于点 Q,点 Q 是△ABC 的重心,D 是 AC 的中点,DE 与
AF 相交于点 P.若 AP=6 cm,则 QF 的长为
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.4.5 cm
9.一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y=- 的图象如图所示,则二次函数 y=ax2+bx+c 的图象
可能是
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10.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=4,AC=6,D 为 AC 上一点,连接 BD,过点 A 作 AE⊥BD,
垂足为 E,连接 CE,则线段 CE 的最小值为
A.2 B.4 C.2 -2 D.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
11.计算: +1= .
12.函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 .
13.如图,点 C,D 在以 AB 为直径的半圆上,圆心为 O,且 OC⊥OD,弦 AC 与 BD 相交于点 E,
若 E 是 AC 的中点,AD=2,则 BC= .
14.如图,反比例函数y= 的图象经过点A,AD⊥y 轴于点D,AE⊥x 轴于点E,反比例函数y=
的图象分别与 AD,AE 交于点 B,C,△ADE 的面积为 2.
(1)k1 的值为 .
(2)若 DE 与反比例函数 y= 的图象有且只有一个交点,则 = .
三、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分)
15.计算:( -1)0- + - -1.
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16.如图,在边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点均在网
格线的交点上)以及过格点的直线 l.
(1)画出△ABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1.
(2)画出△ABC 绕 A 点顺时针旋转 90°后得到的△AB2C2.
(3)线段 AB 旋转到 AB2 扫过的面积为 .
四、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分)
17.随着“绿色出行,低碳生活”理念的普及,新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.
某公司计划购进 A,B 两种型号的新能源汽车共 3 辆,据了解,2 辆 A 型汽车和 1 辆 B 型汽
车的进价共计 55 万元,2 辆 B 型汽车和 1 辆 A 型汽车的进价共计 50 万元,分别求 A 型汽
车和 B 型汽车的单价.
18.观察以下等式:
第 1 个等式: + =1.
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第 2 个等式: + =1.
第 3 个等式: + =1.
第 4 个等式: + =1.
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)请写出第 6 个等式: .
(2)请你猜想第 n 个等式(用含 n 的等式表示),并证明.
五、(本大题共 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分)
19.灯塔工厂、无人化工厂和智能工厂等新型工厂大量涌现,中国正在迅速拥抱智能化浪
潮.如图,这是某智能工厂的机械臂处于某个工作状态的示意图.已知机械臂 AB=2 米,
BC=4 米,∠ABC=90°,∠BCD=150°,支架 CD 垂直于水平地面,求机械手点 A 到支架 CD 所
在直线的距离.(结果精确到 0.1 米, ≈1.73)
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20.如图,AB 是☉O 的直径,点 E 在弦 AC 上,且 OE 平分∠AEB,过点 B 作 BD∥OE,交 AC 的
延长线于点 D,延长 BE 交☉O 于点 F.
(1)求证:AC=BF.
(2)若☉O 的半径为 2,OE=1,求 AD 的长.
六、(本题满分 12 分)
21.为增强学生的安全意识,某校开展了安全知识讲座.为了解学生的学习情况,在七、八年
级各抽取了50名学生进行了安全知识测试,根据测试成绩(成绩为整数,满分为10分)绘制
统计图如下.
七年级抽取的学生成绩条形统计图 八年级抽取的学生成绩扇形统计图
(1)求抽取的八年级学生中测试成绩为 10 分的人数.
(2)求七年级被抽取的 50 人的平均成绩.
(3)现决定从七年级选一人 A,从八年级选两人 B,C,去市里参加安全知识演讲比赛,A,B,C
三人依次上场,则 B 和 C 相邻上场的概率是多少
七、(本题满分 12 分)
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22.如图, ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 E 在 AC 上,且点 E 又同时在边 AB,AD
的垂直平分线上,连接 BE,DE,旋转 CB 得到 CF,使得点 F 落在 AB 的延长线上.
(1)求证: ABCD 是菱形.
(2)如图 1,当 DE⊥AB 时,求证:DB∥CF.
(3)如图 2,当 DE∥CF 时,求 的值.
八、(本题满分 14 分)
23.对于二次函数 y=ax2+bx+2,当自变量 x=- 时,函数 y 的最大值为 .
(1)求二次函数的解析式.
(2)如图,二次函数 y=ax2+bx+2 的图象与 x 轴相交于 A,B 两点,与 y 轴相交于点 C,P,Q 是 A
与 C 之间的二次函数图象上的两个动点,PM⊥x 轴交直线 AC 于点 M,QN⊥x 轴交直线 AC
于点 N,ME⊥y 轴于点 E,ND⊥y 轴于点 D,PM=QN,求当 P,Q 两点不重合时,线段 ME+ND
的长.
(3)在(2)的条件下,连接 NE,求△CNE 的面积的最大值.
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参考答案
1.B 2.D 3.D 4.A 5.C 6.A 7.B 8.C 9.D
10.C 提示:提示:如图,取 AB 的中点 O,连接 OC,OE.
∵AE⊥BD,O 为 AB 中点,∴在 Rt△AEB 中,OE= AB=2.
∵CE≥OC-OE,∴当 O,E,C 三点在同一直线上时,满足 CE 最短.
在 Rt△AOC 中,OC= = =2 ,CE 的最小值=2 -2.
11.-2 12.x>-1 13.2
14.(1)4 (2)3
提示:(2)设点 A 的坐标为 m, ,则 D 0, ,E(m,0),直线 DE 的解析式为 y=ax+b.
将 D,E 代入得直线 DE 的解析式为 yDE=- x+ .
∵DE 与反比例函数 y= 的图象只有一个交点,
∴- x+ = 只有一个关于 x 的根,
整理得- x2+ x=k2, x2- x+k2=0,
Δ= - 2-4× ×k2= - ×k2=0,
∴k2=1,y= ,
∴B , ,C m, ,
∴AB=m- = ,BD= ,∴ =3.
15.解:原式=1-3-2=-4. .....................................................8 分
16.解:(1)如图,△A1B1C1 为所求. .............................................3 分
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(2)如图,△AB2C2 为所求. ...................................................6 分
(3) π. ..................................................................8 分
17.解:设每辆 A 型汽车的价格为 x 万元,每辆 B 型汽车的价格为 y 万元.
由题意得 .................................................4 分
解得
答:每辆 A 型汽车的价格为 20 万元,每辆 B 型汽车的价格为 15 万元. .............8 分
18.(1) + =1. .......................................................2 分
(2)猜想第 n 个等式: + =1. ........................................5 分
证明:左边= + = + = =1=右边,
故等式成立. .............................................................8 分
19.解:如图,过点 B 作 BE⊥DC,交 DC 的延长线于点 E,过点 A 作 AF⊥EB,交 EB 的延长线
于点 F.
∵∠BCD=150°,
∴∠BCE=30°,∠CBE=60°.
∵∠ABC=90°,
∴∠ABF=30°.
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在 Rt△ABF 中,cos 30°= = ,
∴BF= 米. .............................................................5 分
在 Rt△BCE 中,sin 30°= = ,
∴BE=2 米,
∴点 A 到直线 CD 的距离 EF=2+ ≈3.7(米). ................................10 分
20.解:(1)证明:如图,作 OM⊥BF 于点 M,ON⊥AC 于点 N,
∵OE 平分∠AEB,
∴ON=OM,
∴AC=BF. ...............................................................4 分
(2)在 Rt△AON 和 Rt△BOM 中,
∵AO=BO,OM=ON,
∴Rt△AON≌Rt△BOM(HL),
∴∠A=∠ABE,
∴AE=BE.
∵OE 平分∠AEB,
∴OE⊥AB.
∵BD∥OE,AO=BO,
∴BD⊥AB,AE=DE,
∴BD=2OE=2.
∵AB=2AO=4,
∴在 Rt△ABD 中,AD= =2 . ......................................10 分
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21.解:(1)∵测试成绩为 10 分的人数所占的百分比为 1-14%-24%-22%-28%=12%,
∴50×12%=6(人),
∴抽取的八年级学生中测试成绩为 10 分的人数为 6. ...........................4 分
(2) =8(分).
答:七年级被抽取的 50 人的平均成绩是 8 分. .................................8 分
(3)画树状图如下:
共有 6 种等可能的结果,其中 B 与 C 相邻的结果有 4 种,
∴P= = . .............................................................12 分
22.解:(1)证明:∵点 E 在边 AB,AD 的垂直平分线上,
∴DE=AE=BE.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴DO=BO,
∴EO 垂直平分 BD,
∴AD=AB,
∴ ABCD 是菱形. ........................................................3 分
图 1
(2)证明:如图 1,延长 DE 交 AB 于点 M.
∵DE⊥AB,点 E 在边 AB 的垂直平分线上,
∴AM=BM= AB.
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∵ ABCD 是菱形,
∴AD=AB=2AM,
∴在 Rt△ADM 中,∠ADM=30°,∠DAM=60°,
∴∠DAC=∠BAC= ∠DAM=30°.
∵AB=BC,
∴∠BCA=∠BAC=30°,
∴∠CBF=60°.
∵CB=CF,
∴△CBF 为等边三角形,∠BCF=60°,
∴∠ACF=30°+60°=90°.
∵ ABCD 是菱形,
∴AC⊥BD,∠AOB=∠ACF=90°,
∴DB∥CF. ...............................................................7 分
图 2
(3)如图 2,延长 DE 交 AB 于点 M,设∠CAB=x,则∠CAD=x.
∵AE=DE,AB=BC,
∴∠ADE=∠CAD=x,∠BCA=∠CAB=x,
∴∠DEC=2x.
∵DE∥CF,
∴∠ECF=∠DEC=2x,
∴∠BCF=x,
∴∠BCF=∠CAF=x.
又∵∠F=∠F,
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∴△BCF∽△CAF,
∴ = = .
设 AB=m,BF=n,则 BC=CF=m,AF=m+n, = ,
∴ = ,
整理得 = =1+ .
设 = =t,
则 =1+t,t2+t=1,解得 t1= ,t1= ,
∴ = . ............................................................12 分
23.解:(1)由题意得
解得
∴二次函数的解析式为 y=-x2-x+2. ..........................................4 分
(2)当 y=0 时,-x2-x+2=0,解得 x1=-2,x2=1,
∴A(-2,0),B(1,0).
∵C(0,2),
∴OA=OC=2,直线 AC 的解析式为 y=x+2.
设点 P 的坐标为(m,-m2-m+2),点 Q 的坐标为(n,-n2-n+2),-2则点 M 的坐标为(m,m+2),点 N 的坐标为(n,n+2),
点 E 的坐标为(0,m+2),点 D 的坐标为(0,n+2),
∴ME=-m,ND=-n, .........................................................6 分
PM=-m2-m+2-m-2=-m2-2m,
QN=-n2-n+2-n-2=-n2-2n.
∵PM=QN,
∴-m2-2m=-n2-2n,(m+1)2=(n+1)2,
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∴m=n(不合题意,舍去)或 m=-n-2,
∴ME+ND=-m+(-n)=n+2+(-n)=2. ...........................................9 分
(3)由(2)可知,ND=-n,CE=-m,
∴S△CNE= ×(-m)×(-n)= (-m)(m+2)=- (m+1)2+ .
∵a=- <0,-2∴当 m=-1 时,S△CNE 取得最大值,S△CNE 的最大值为 . ..........................14 分
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