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2025人教A版数学选择性必修第三册
第2课时　两个计数原理的综合应用
A级 必备知识基础练
1.[探究点一·2024江苏宿迁高二统考]由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有(　　)
A.42个 B.48个 C.54个 D.120个
2.[探究点一]用数字0,1,2,3组成无重复数字的3位数,其中比200大的3位数的个数为(　　)
A.24 B.12 C.18 D.6
3.[探究点二]某市医院急诊科有3名男医生,3名女医生,内科有5名男医生,4名女医生,现从该医院急诊科和内科各选派1名男医生和1名女医生组成4人组,参加省医院组织的交流会,则所有不同的选派方案有(　　)
A.180种 B.56种 C.29种 D.15种
4.[探究点一]某城市的电话号码由七位升为八位(首位数字均不为零),则该城市可增加的电话部数是(　　)
A.9×8×7×6×5×4×3×2
B.8×97
C.9×107
D.8.1×107
5.[探究点三]某地为宣传标语进行涂色装饰,要求相邻的标语之间不能用同一颜色,现在有四种颜色可供选择,则不同的涂色方案种数为(　　)
自由 平等 公正 法制
A.24 B.256
C.108 D.72
6.[探究点一](多选题)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3 443,94 249等,显然两位回文数有9个:11,22,33,…,99;三位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999.下列说法正确的是(　　)
A.四位回文数有90个
B.四位回文数有45个
C.2n+1(n∈N*)位回文数有9×10n个
D.2n+1(n∈N*)位回文数有10n个
7.[探究点二]某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班,甲、乙、丙、丁四人报名参加,每人只报名参加一项,且甲、乙不参加同一项,则不同的报名方法种数为　　　　　　.
8.[探究点二]五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1个,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有　　　　　种.
9.[探究点三]如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC 与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有种.
10.[探究点二]某文艺小组有20人,其中会唱歌的有14人,会跳舞的有10人,从中选出会唱歌与会跳舞的各1人参加演出,且既会唱歌又会跳舞的至多选1人,有多少种不同的选法
11.[探究点三]有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中,每块试验田种植一种作物,相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物,共有多少种不同的种植方法
B级 必备知识基础练
12.一植物园的参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线共有(　　)
A.6种 B.8种 C.36种 D.48种
13.假期里,有4名同学去社区做文明实践活动,根据需要,要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站,每个实践站至少去1名同学,每名同学只去1个实践站,则不同的安排方法共有　　　　种.
14.用数字1,2,3,4组成没有重复数字的四位数,则这些四位数中比2 134大的数字个数为　　　　.(用数字作答)
15.将三个分别标有A,B,C的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.
求:(1)1号盒中无球的不同方法种数;
(2)1号盒中有球的不同放法种数.
16.(1)从5种颜色中选出3种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每一个顶点涂一种颜色,并使同一条棱上的两个顶点异色,求不同的涂色方法数;
(2)从5种颜色中选出4种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每个顶点上涂一种颜色,并使同一条棱上的两个顶点异色,求不同的涂色方法数.
C级 学科素养创新练
17.称子集A M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}是“好的”,如果它有下述性质——“若2k∈A,则2k-1∈A且2k+1∈A(k∈N)”(空集和M都是“好的”),则M中有多少个包含2个偶数的“好的”子集
参考答案
第2课时　两个计数原理的综合应用
1.A　分两类:第1类,若五位数的个位数是0,则可以组成4×3×2×1=24个无重复数字的五位数;
第2类,若五位数的个位数是2,由于0不排首位,
因此只有1,3,5,共3种情况,中间的三个位置有3×2×1=6种情况,
可以组成3×6=18个无重复数字的五位数.
由分类加法计数原理可得,所有无重复五位偶数的个数为24+18=42.故选A.
2.B　分三步:第1步,百位上的数字为2或3,共2种情况;第2步,十位上的数字可在剩余3个数字中选择1个数字,共3种情况;第3步,个位上的数字从剩下的2个数字中任选1个,有2种情况.
根据分步乘法计数原理,比200大的3位数的个数为2×3×2=12.故选B.
3.A　分两步:第1步,从急诊科选派1名男医生和1名女医生,有3×3=9种选派方案;第2步,从内科选派1名男医生和1名女医生,有5×4=20种选派方案.
根据分步乘法计数原理,不同的选派方案种数为9×20=180.故选A.
4.D　电话号码是七位数字时,由分步乘法计数原理,该城市可安装电话9×106部,同理升为八位时,由分步乘法计数原理,该城市可安装电话9×107部,所以可增加的电话部数是9×107-9×106=8.1×107.
5.C　第1步,涂“自由”,有4种涂法;第2步,涂“平等”,有3种涂法;第3步,涂“公正”,有3种涂法;第4步,涂“法制”,有3种涂法.根据分步乘法计数原理,不同的涂色方案种数为4×3×3×3=108.故选C.
6.AC　根据题意,对于四位回文数,
有1 001,1 111,1 221,…,1 991,
2 002,2 112,2 222,…,2 992,
…,
9 009,9 119,9 229,…,9 999,
其首位和个位有9种选法,第二位和第三位有10种选法,故共有9×10=90个,则A正确,B错误;
对于2n+1位回文数,首位和个位数字有9种选法,第二位和倒数第二位数字有10种选法,…,
第n+1位数字,即最中间的数字有10种选法,
则共有9×10×10×…×10=9×10n种选法,
即2n+1(n∈N*)位回文数个数为9×10n,故C正确,D错误.
故选AC.
7.54　甲有三个培训班可选,甲、乙不参加同一项,所以乙有两个培训班可选,丙、丁各有三个培训班可选,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法种数为3×2×3×3=54.
8.96　完成承建任务可分五步.第1步,安排1号子项目,有4种不同的承建方案;第2步,安排2号子项目,有4种不同的承建方案;第3步,安排3号子项目,有3种不同的承建方案;第4步,安排4号子项目,有2种不同的承建方案;第5步,安排5号子项目,有1种承建方案.由分步乘法计数原理得,共有4×4×3×2×1=96种不同的承建方案.
9.12　先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,再涂三棱柱的三个侧面,由分步乘法计数原理,共有3×2×1×2=12种不同的涂法.
10.解易知既会唱歌又会跳舞的有4人,只会唱歌的有10人,只会跳舞的有6人.第1类,首先从只会唱歌的10人中选出1人,有10种不同的选法,从会跳舞的10人中选出1人,有10种不同的选法,共有10×10=100种不同的选法;第2类,从既会唱歌又会跳舞的4人中选1人,再从只会跳舞的6人中选1人,共有4×6=24种不同的选法.
由分类加法计数原理,共有100+24=124种不同的选法.
11.解(方法一)第一步,A试验田有4种种植方法;
第二步,B试验田有3种种植方法;
第三步,若C试验田种植的作物与B试验田相同,则D试验田有3种种植方法,此时有1×3=3种种植方法;
若C试验田种植的作物与B试验田不同,则C试验田有2种种植方法,D试验田也有2种种植方法,共有2×2=4种种植方法.
由分类加法计数原理知,有3+4=7种种植方法.
由分步乘法计数原理得,共有N=4×3×7=84种不同的种植方法.
(方法二)第一类,若实验田A,D种植同种作物,则实验田A,D有4种不同的种植方法,实验田B有3种种植方法,实验田C也有3种种植方法,由分步乘法计数原理得,共有4×3×3=36种种植方法;
第二类,若实验田A,D种植不同作物,则实验田A有4种种植方法,实验田D有3种种植方法,实验田B有2种种植方法,实验田C有2种种植方法,由分步乘法计数原理得,共有4×3×2×2=48种种植方法.
综上所述,由分类加法计数原理得,共有N=36+48=84种种植方法.
12.D　选择参观路线分步完成:第一步,选择三个“环形”路线中的一个,有3种方法,再按逆时针或顺时针方向参观有2种方法;第二步,选择余下两个“环形”路线中的一个,有2种方法,也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法;最后一个“环形”路线,也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法.由分步乘法计数原理知,共有3×2×2×2×2=48种方法,故选D.
13.14　将4人安排到2个文明实践站,每人有2种安排方法,则有2×2×2×2=16种安排方法,其中都安排在同一个文明实践站的方法有2种,则有16-2=14种不同的安排方法.
14.17　根据题意,用数字1,2,3,4组成没有重复数字的四位数,
当其千位数字为3或4时,有2×3×2×1=12种情况,即有12个符合题意的四位数;
当其千位数字为2时,有6种情况,其中最小的为2 134,则有6-1=5个比2 134大的四位数,
故共有12+5=17个比2 134大的四位数.
15.解(1)1号盒中无球即A,B,C三个球只能放入2,3,4号盒子中,由分步乘法计数原理,有33=27种放法;
(2)1号盒中有球可分三类:第1类,1号盒中有一个球,共有3×32=27种放法,第2类,1号盒中有两个球,共有3×3=9种放法,第3类,1号盒中有三个球,有1种放法.
由分类加法计数原理,共有27+9+1=37种放法.
16.
解(1)如图,由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,则A,C必须颜色相同,B,D必须颜色相同,所以共有5×4×3×1×1=60种不同的涂色方法.
(2)(方法一)由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,则A,C可以颜色相同,B,D可以颜色相同,并且两组中必有一组颜色相同.所以,先从两组中选出一组涂同一颜色,有2种选法;假设B,D颜色相同,则从5种颜色中,选出四种颜色涂在S,A,B,C四个顶点上,有5×4×3×2=120种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理,共有2×120=240种不同的涂色方法.
(方法二)分两类:
第1类,C与A颜色相同.由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,它们有5×4×3=60种不同的涂色方法.共有5×4×3×1×2=120种不同的涂色方法.第2类,C与A颜色不同.由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,它们有5×4×3=60种不同的涂色方法.共有5×4×3×2×1=120种不同的涂色方法.由分类加法计数原理,共有120+120=240种不同的涂色方法.
17.解 含有2个偶数的“好的”子集A,有两种不同的情形:
①两偶数是相邻的,有4种可能:2,4;4,6;6,8;8,10.
每种情况必有3个奇数相随(如2,4∈A,则1,3,5∈A).
余下的3个奇数可能在集合A中,也可能不在集合A中,
故这样的“好的”子集共有4×23=32个.
②两偶数不相邻,有6种可能:2,6;2,8;2,10;4,8;4,10;6,10.
每种情况必有4个奇数相随(如2,6∈A,则1,3,5,7∈A).
余下的2个奇数可能在集合A中,也可能不在集合A中,
故这样的“好的”子集共有6×22=24个.
综上所述,集合M中有32+24=56个包含2个偶数的“好的”子集.
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