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2025人教A版数学选择性必修第三册
6.3　二项式定理
6.3.1　二项式定理
A级 必备知识基础练
1.[探究点一](x+2)n的展开式共有12项,则n=(　　)
A.9 B.10
C.11 D.8
2.[探究点一]下列不属于(x-2)3的展开式中的项的是(　　)
A.x3 B.6x2
C.12x D.-8
3.[探究点二·2024贵州校联考模拟预测]在x+8的展开式中,含的项的系数为(　　)
A.8 B.28
C.56 D.70
4.[探究点一]化简(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1的结果为(　　)
A.x4 B.(x-1)4
C.(x+1)4 D.x4-1
5.[探究点二]使得3x+n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
6.[探究点一](多选题)对于+x3n(n∈N*),下列判断正确的有(　　)
A.存在n∈N*,展开式中有常数项
B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项
C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项
7.[探究点二]若(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=　　　　　.(用数字填写答案)
8.[探究点一]若(1+)4=a+b(a,b为有理数),则a+b=　　　　　.
9.[探究点二]已知x2-9,求展开式中的
(1)第6项;
(2)第3项的系数;
(3)含x9的项;
(4)常数项.
10.[探究点二]已知n的展开式中的第9项与第10项二项式系数相等,求x的系数(用组合数表示).
11.[探究点三]求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.
B级 必备知识基础练
12.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是 (　　)
A.-297 B.-252 C.297 D.207
13.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为(　　)
A.3 B.6 C.9 D.21
14.(x2+2)-15的展开式中的常数项是(　　)
A.-3 B.-2 C.2 D.3
15.-2+4-8+…+(-2)n=(　　)
A.(-1)n-1 B.(-1)n
C.3n D.3n-1
16.在3x2-n的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
17.已知在x2-n的展开式中,第9项为常数项,则:
(1)n的值为　　　　　;
(2)含x的整数次幂的项有　　　　　个.
18.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是　　　　.
19.已知(xcos θ+1)5的展开式中x2的系数与x+4的展开式中x3的系数相等,则cos θ=　　　　.
20.若ax2-6的展开式中x3项的系数为-160,则a2+b2的最小值为　　　　　　.
21.已知n的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.
(1)证明:展开式中没有常数项;
(2)求展开式中所有的有理项.
C级 学科素养创新练
22.已知xn的展开式中,前三项的二项式系数之和为37.
(1)求含x的整数次幂的项;
(2)展开式中第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数,并证明你的结论.
参考答案
6.3　二项式定理
6.3.1　二项式定理
1.C　∵(a+b)n的展开式共有n+1项,而(x+2)n的展开式共有12项,∴n=11.
2.B　由二项式定理可知,(x-2)3=x3-6x2+12x-8,故6x2不是展开式中的项.故选B.
3.B　展开式的通项为Tr+1=x8-rx-r=x8-2r.
当8-2r=-4,即r=6时,=28,
所以含的项的系数为28.故选B.
4.A　由题可得,(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1=(x+1)4+(x+1)3×(-1)+(x+1)2×(-1)2+(x+1)×(-1)3+(-1)4=[(x+1)-1]4=x4.故选A.
5.B　展开式中的第k+1项为(3x)n-k3n-k若展开式中含常数项,则存在n∈N*,k∈N,使n-k=0,故最小的n为5,故选B.
6.AD　+x3n的展开式的通项为Tk+1=x4k-n,由通项可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和x的一次项,故选AD.
7　二项展开式的通项为Tk+1=x10-kak,当10-k=7时,k=3,T4=a3x7,则a3=15,故a=
8.44　∵(1+)4=1+()1+()2+()3+()4=1+4+18+12+9=28+16,
∴a=28,b=16,
∴a+b=28+16=44.
9.解 由题可得,x2-9的展开式的通项是Tk+1=(x2)9-k-k=-kx18-3k.
(1)T6=-5x3=-x3.
(2)因为T3=-2x12=9x12,所以展开式第3项的系数为9.
(3)令18-3k=9,得k=3,
所以T4=-3x9=-x9.
(4)令18-3k=0,得k=6,所以T7=-6=,即展开式的常数项为T7=
10.解,
∴n=17,Tk+1=2k
令=1,得k=9.
∴T10=x4×29x-3=29x.
故x的系数为29
11.证明∵1+2+22+…+-1=32n-1=(31+1)n-1=31n+31n-1+…+31+-1=31(31n-1+31n-2+…+),显然31n-1+31n-2+…+为整数,
∴原式能被31整除.
12.D　(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,x5的系数为=207.
13.B　∵x3=(x-2+2)3=(x-2)3+(x-2)2·2+(x-2)·22+23=8+12(x-2)+6(x-2)2+(x-2)3,
∴a2=6.
14.D　展开式的通项为Tk+1=(-1)k=(-1)k
令10-2k=2或10-2k=0,解得k=4或k=5.
故(x2+2)的展开式中的常数项是
(-1)4+2×(-1)5=3.
15.A　∵-2+4-8+…+(-2)n=1-2+4-8+…+(-2)n-1=(1-2)n-1=(-1)n-1.
16.B　Tk+1=(3x2)n-k-k=3n-k·-kx2n-5k,令2n-5k=0,
∴n=k.
∴正整数n的最小值为5.
17.(1)10　(2)6　二项展开式的通项为Tk+1=x2n-k·-k=(-1)kn-k
(1)因为第9项为常数项,所以当k=8时,2n-k=0,
解得n=10.
(2)要使20-k为整数,则k为偶数,由于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的项有6个,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.
18.-121　展开式中含x3的项的系数为(-1)3+(-1)3+(-1)3+(-1)3=-121.
19.±　(xcos θ+1)5的展开式中x2的系数为cos2θ,
x+4的展开式中x3的系数为
由题意可知cos2θ=,
∴cos2θ=,
∴cos θ=±
20.4　ax2-6展开式的通项为Tk+1=(ax2)6-k·(-bx-1)k=a6-k(-b)kx12-3k.
令12-3k=3,解得k=3,故T4=a3(-b)3x3,所以a3(-b)3=-160,
解得ab=2,所以a2+b2≥2ab=4,当且仅当a=b=时,等号成立.故a2+b2的最小值为4.
21.(1)证明由题意得2=1+,
即n2-9n+8=0,
∴n=8(n=1舍去).
∴Tk+1=)8-k=(-1)k(0≤k≤8,k∈Z).
若Tk+1是常数项,则=0,
即16-3k=0,∵k∈Z,∴等式不可能成立,
∴展开式中没有常数项.
(2)解由(1)知,若Tk+1是有理项,当且仅当为整数.∵0≤k≤8,k∈Z,∴k=0,4,8,即展开式中有三项有理项,分别是T1=x4,T5=x,T9=x-2.
22.解(1)xn的展开式的前三项的二项式系数之和为=37,解得n=8(n=-9舍去).
所以xn=x8的展开式的通项为Tk+1=(x)8-kk=
又0≤k≤8,k∈Z,所以当k=0,6时,x的指数为整数.
所以含x的整数次幂的项有x12,28x.
(2)由(1)知,展开式共有9项,展开式第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.
证明如下:因为展开式第5项的二项式系数为=70,展开式第4项的二项式系数为,展开式第6项的二项式系数为,且=56<70.
故有展开式中第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.
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