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2025人教A版数学选择性必修第三册
7.1.2　全概率公式
A级 必备知识基础练
1.[探究点二]播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为(　　)
A.0.8 B.0.832 5
C.0.532 5 D.0.482 5
2.[探究点二]设某批产品中,甲、乙、丙三个车间生产的产品分别为50%,30%,20%,甲、乙车间生产的产品的次品率分别为3%,5%,现从中任取一件,若取到的是次品的概率为3.6%,则推测丙车间的次品率为(　　)
A.3% B.4% C.5% D.6%
3.[探究点一]小王同学进行投篮练习,若他第1球投进,则第2球投进的概率为;若他第1球投不进,则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为,则他第2球投进的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.[探究点二、三](多选题)甲罐中有5个红球,2个白球,3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以事件A1,A2,A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球;再从乙罐中随机取出一个球,以事件B表示由乙罐取出的球是红球,则下列结论正确的是(　　)
A.P(B|A1)= B.P(A3B)=
C.P(B)= D.P(A1|B)=
5.[探究点一]已知P(B)=0.3,P(B|A)=0.9,P(B|)=0.2,则P()=　　　　　.
6.[探究点一]现已知甲、乙两地盛产核桃,甲地种植的核桃空壳率为2%,乙地种植的核桃空壳率为4%,将两地种植出来的核桃混放在一起,已知甲地和乙地核桃数量分别占总数量的40%,60%,从中任取一个核桃,则该核桃是空壳的概率是　　　.
7.[探究点三]某地举办了一次地区性的中国象棋比赛,小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中,一、二、三类棋手的人数之比为5∶7∶8,小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4.
(1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛,求小明获胜的概率;
(2)如果小明获胜,求与小明比赛的棋手分别为一、二、三类棋手的概率.
B级 必备知识基础练
8.据调查,某校大约有32%的学生近视,而该校大约有20%的学生每天玩手机的时间超过1 h,这些人的近视率约为40%.现从每天玩手机的时间不超过1 h的学生中任意调查一名学生,则这名学生患近视的概率为(　　)
A. B. C. D.
9.把外形相同的球分装在三个盒子中,每盒10个.其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有红球8个、白球2个.试验按如下规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则称试验成功,则试验成功的概率为(　　)
A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64
10.(多选题)有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.下列结论正确的是(　　)
A.每次随机抽取一个零件,抽出的零件不放回,第1次抽到次品的概率和第2次抽到次品的概率不相同
B.任取一个零件,它不是第1台车床加工的概率是0.75
C.任取一个零件,它是次品的概率小于0.06
D.如果取到的零件是次品,那么它是第2台车床加工的概率是
11.一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病,在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应,而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应,某地区此种病患者占人口总数的0.5%,则:
(1)某人化验结果为阳性的概率为　　　　　(用百分数表示);
(2)若此人化验结果为阳性,则此人确实患有此病的概率为　　　　　.
12.袋中有4个黑球,3个白球.现掷一枚均匀的骰子,掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球,则掷出2点的概率为　　　.
13.[2024江苏常州高三开学考试]某足球队为评估球员的场上作用,对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置,根据过往多场比赛,其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.3 0.5 0.2
球队胜率 0.8 0.6 0.7
(1)当甲出场比赛时,求球队输球的概率.
(2)当甲出场比赛时,在球队获胜的条件下,求球员甲担当边锋的概率.
(3)如果某场比赛该足球队获胜,那么球员甲最有可能在场上的哪个位置 请说明理由.
C级 学科素养创新练
14.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后,出现红球与绿球的概率都是,从按钮第二次按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为,若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为,记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.
(1)P2的值为　　　　　;
(2)若n∈N,n≥2,用Pn-1表示Pn的表达式为　　　　　　　　　　.
参考答案
7.1.2　全概率公式
1.D　设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1,A2,A3,A4,事件B为从这批种子中任选一颗,所结的穗含50颗以上麦粒,则P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=95.5%×0.5+2%×0.15+1.5%×0.1+1%×0.05=0.482 5.故选D.
2.A　设丙车间的次品率为p,
由题知0.5×3%+0.3×5%+0.2×p=3.6%,解得p=3%.故选A.
3.A　记A=“第1球投进”,B=“第2球投进”,则P(A)=,P()=,P(B|A)=,P(B|)=
因为P(B|A)=,所以P(AB)=P(A)P(B|A)=
因为P(B|)=,所以P(B)=P()P(B|)=
故P(B)=P(AB)+P(B)=故选A.
4.ABD　由题可得,P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,则P(B|A1)=,A选项正确;P(A3B)=,B选项正确;P(B)=,C选项错误;P(A1|B)=,D选项正确.故选ABD.
5　由题可得,P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|),
即0.3=P(A)×0.9+(1-P(A))×0.2,解得P(A)=
故P()=1-P(A)=1-
6.3.2%　设所取核桃产地为甲地为事件A1,所取核桃产地为乙地为事件A2,
所取核桃为空壳为事件B,则P(A1)=40%,P(A2)=60%,P(B|A1)=2%,P(B|A2)=4%,
P(B)=P(BA1)+P(BA2)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=40%×2%+60%×4%=3.2%,所以该核桃是空壳的概率是3.2%.
7.解 记事件B为“小明获胜”,
记事件Ai为“小明与第i(i=1,2,3)类棋手相遇”,
则P(A1)==0.25,P(A2)==0.35,P(A3)==0.4,
P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.5,P(B|A3)=0.4.
(1)由全概率公式可知
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.25×0.6+0.35×0.5+0.4×0.4=0.485.
(2)由条件概率公式可得
P(A1|B)=,
P(A2|B)=,
P(A3|B)=
即小明获胜,对手分别为一、二、三类棋手的概率为
8.A　设A1=“玩手机时间超过1 h的学生”,A2=“玩手机时间不超过1 h的学生”,B=“任意调查一人,此人患近视”,则Ω=A1∪A2,且事件A1,A2互斥,P(A1)=0.2,P(A2)=0.8,P(B|A1)=0.4,P(B)=0.32.由P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),得0.2×0.4+0.8×P(B|A2)=0.32,解得P(B|A2)=0.3.故选A.
9.A　设A=“从第一个盒子中取得标有字母A的球”,
B=“从第一个盒子中取得标有字母B的球”,
R=“第二次取出的球是红球”,
则P(A)=,P(B)=,P(R|A)=,P(R|B)=,
P(R)=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)==0.59.
10.BC　记事件B为“任取一个零件为次品”,事件Ai为“零件是第i台机床加工”,i=1,2,3,Ω=A1∪A2∪A3,且事件A1,A2,A3两两互斥,则P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.
由全概率公式第1次抽到次品的概率P(B)==0.052 5,
第2次取得次品与第1次取得次品这两个事件是相互独立的,因此第2次取得次品的概率仍然是0.052 5,A错误,C正确;
任取一个零件,它不是第1台车床加工的概率是1-P(A1)=0.75,B正确;
P(A2|B)=,D错误.故选BC.
11.(1)1.47%　(2)　A=“呈阳性反应”,B=“患有此种病”.
(1)P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%.
(2)P(B|A)=
12　记Ai表示事件“骰子掷出的点数为i”(i=1,2,3),
B表示事件“取出的球全是白球”,则P(Ai)=,P(B|Ai)=,所以P(B)=P(Ai)·P(B|Ai)=,
所以若已知取出的球全是白球,则掷出2点的概率为P(A2|B)=
13.解 (1)用A1表示“甲出任边锋”,A2表示“甲出任前卫”,A3表示“甲出任中场”,用B表示“球队赢球”.
则甲出场时,球队赢球的概率为
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.3×0.8+0.5×0.6+0.2×0.7=0.68,
所以甲出场比赛时,球队输球的概率为1-P(B)=1-0.68=0.32.
(2)因为P(B)=0.68,
所以P(A1|B)=,
即当甲出场比赛时,在球队获胜的条件下,球员甲担当边锋的概率为
(3)因为P(A2|B)=,P(A3|B)=,
故P(A2|B)>P(A1|B)>P(A3|B).
所以如果某场比赛该足球队获胜,那么球员甲最有可能在前卫.
14.(1)　(2)Pn=-Pn-1+　(1)设A1=第1次出现红球,A2=第1次出现绿球,B=第2次出现红球,则P(A1)=P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,
由全概率公式得P2=P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=
(2)设C1=第(n-1)次出现红球,C2=第(n-1)次出现绿球,D=第n次出现红球,则P(C1)=Pn-1,P(C2)=1-Pn-1,P(D|C1)=,P(D|C2)=,
由全概率公式得Pn=P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)=Pn-1+(1-Pn-1)=-Pn-1+(n∈N,n≥2).
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