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2025人教A版数学选择性必修第三册
7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.1　离散型随机变量的均值
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]若随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P
则E(X)=(　　)
　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0 B.-1
C.- D.-
2.[探究点一]若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P
则X的均值E(X)=(　　)
A.2 B.2或 C. D.1
3.[探究点二·2024江苏高二专题练习]若随机变量Z的分布列为
Z 1 2 3
P 0.5 x y
且E(Z)=,则xy=(　　)
A. B. C. D.
4.[探究点二]若随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)=(　　)
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
A.16 B.11 C.2.2 D.2.3
5.[探究点三]今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达数为X,则E(X)的值为(　　)
A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22
6.[探究点一·2024湖南衡阳高二期中]一袋中装有编号分别为1,2,3,4的4个球,现从中随机取出2个球,用X表示取出球的最大编号,则E(X)= (　　)
A.2 B.3 C. D.
7.[探究点一]某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果:
投资成功 投资失败
192例 8例
则该公司一年后估计可获收益的均值是　　　　　.
8.[探究点二]离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),E(X)=3,则a=　　　　　,b=　　　　　.
9.[探究点三]为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据:
处罚金额x/元 0 5 10 15 20
会闯红灯的人数y 80 50 40 20 10
(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是多少
(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验.
①求这两种金额之和不低于20元的概率;
②若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和均值.
B级 必备知识基础练
10.某船队若出海后天气好,可获得5 000元;若出海后天气坏,将损失2 000元;若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是(　　)
A.2 000元 B.2 200元
C.2 400元 D.2 600元
11.[2024广西高二期末]A与B两人进行热身赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止,设A在每局中获胜的概率为,B在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,比赛停止时已打局数为ξ,则E(ξ)=(　　)
A. B.
C. D.
12.(多选题)已知随机变量ξ的分布列是
ξ -1 0 2
P cos α
其中α∈0,,则下列表述正确的是(　　)
A.+cos α=1
B.cos α=
C.E(ξ)=1
D.sin α=
13.李老师从课本上抄录一个随机变量X的分布列如表:
X 1 2 3
P ! !
请小王同学计算X的均值,尽管“ ”处完全无法看清,且两个“!”处字迹模糊,但能断定这两个“!”处的数值相同.据此,小王给出了正确答案E(X)=　　　　　.
14.[2024天津和平一模]某单位组织“学习强国”知识竞赛,竞赛共有10道题目,随机抽取3道让参赛者回答,规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛员甲只能答对其中的6道,那么甲抽到能答对题目数X的数学期望为　　　;甲能通过初试的概率为　　　.
15.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和均值.
16.[苏教版教材例题]在一个人数很多的地区普查某种疾病,由以往经验知道,该地区居民得此病的概率为0.1%.现有1 000人去验血,给出下面两种化验方法.
方法1:对1 000人逐一进行化验.
方法2:将1 000人分为100组,每组10人.对于每个组,先将10人的血各取出部分,并混合在一起进行一次化验,如果结果呈阴性,那么可断定这10人均无此疾病;如果结果呈阳性,那么再逐一化验.
试问:哪种方法较好
C级 学科素养创新练
17.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.
参考答案
7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.1　离散型随机变量的均值
1.C　E(X)=-1+0+1=-=-故选C.
2.C　由分布列的性质知,=1,解得a=1或a=-2(舍去).
所以E(X)=0+1
3.C　根据题意,可得解得所以xy=故选C.
4.A　由题中表格可求E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.故选A.
5.B　当X=0时,P(X=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015;
当X=1时,P(X=1)=0.9×(1-0.85)+0.1×0.85=0.22;
当X=2时,P(X=2)=0.9×0.85=0.765.
所以E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.
6.C　由题意随机变量X所有可能取值为2,3,4,
且P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=
因此X的分布列为
X 2 3 4
P
则E(X)=2+3+4故选C.
7.4 760　由题意知,一年后获利6 000元的概率为0.96,获利-25 000元的概率为0.04,故该公司一年后收益的均值是6 000×0.96+(-25 000)×0.04=4 760.
8　0　易知E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3. ①
又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,
即10a+4b=1, ②
由①②,得a=,b=0.
9.解(1)由题意可知,处罚10元时行人会闯红灯的概率与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是
(2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有=10种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率P(A)=
②根据条件,X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为
X 5 10 15 20 25 30 35
P
故E(X)=5+10+15+20+25+30+35=20.
10.B　出海的期望效益为5 000×0.6+(1-0.6)×(-2 000)=3 000-800=2 200(元).
11.B　由题意得,随机变量ξ的可能取值是2,4,6,
设每两局比赛为一轮,则该轮比赛停止的概率为2+2=
若该轮结束时比赛还要继续,则甲、乙在该轮中各得1分,
所以P(ξ=2)=,P(ξ=4)=,P(ξ=6)=2=,
所以E(ξ)=2+4+6故选B.
12.ABC　对于A,由随机变量的分布列的性质,
得+cos α=1;
对于B,由+cos α=1,得sin α+2cos α=2,
联立得5cos2α-8cos α+3=0,
解得cos α=或cos α=1(舍去);
对于D,因为α∈0,,则sin α=;
对于C,E(ξ)=-+2cos α=-+2=1.
13.2　设“!”为x,“ ”为y,则2x+y=1.
E(X)=4x+2y=2(2x+y)=2.
14　由题意,X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
所以E(X)=0+1+2+3
甲能通过初试的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=
15.解(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6名.
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为
因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-
(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.
P(X=1)=,P(X=2)=,
P(X=3)=
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)=1+2+3=2.
16.解 第1种方法的化验次数为1 000.
第2种方法:如果某组的混合血液化验结果呈阴性,就可以断定这10人均无此疾病,那么对这10人只化验1次;
如果结果呈阳性,那么必须对这10人再逐一化验,这时共需进行11次化验.因为对所有人来说,化验结果呈阳性的概率均为0.001,而且这些人的化验结果是相互独立的,所以每个人的化验次数X的概率分布如下表所示.
X 1 11
P (1-0.001)10 1-(1-0.001)10
因为每个人化验次数X的均值为
E(X)=1×(1-0.001)10+11×[1-(1-0.001)10],所以1 000人的化验次数的均值为1 000×{1×(1-0.001)10+11×[1-(1-0.001)10]}=1 100-1 000×0.99910≈110.
因此,方法2远好于方法1.
17.解记E=“甲组研发新产品成功”,F=“乙组研发新产品成功”.
由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E与F,E与与F,都相互独立.
(1)记H=“至少有一种新产品研发成功”,则,于是P()=P()P()=,故所求的概率为P(H)=1-P()=1-
(2)设企业可获利润为X万元,则X的可能取值为0,100,120,220.
因为P(X=0)=P()=,
P(X=100)=P(F)=,
P(X=120)=P(E)=,
P(X=220)=P(EF)=,
故X的分布列为
X 0 100 120 220
P
均值E(X)=0+100+120+220=140.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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