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2025人教A版数学选择性必修第三册
7.4.2　超几何分布
A级 必备知识基础练
1.[探究点一·2024广西桂林高二期末]已知在10件产品中有2件次品,现从这10件产品中任取3件,用X表示取得次品的件数,则P(X=1)=(　　)
A. B. C. D.
2.[探究点一·2024广东深圳高三期末]一袋中装有大小、质地均相同的5个白球,3个黄球和2个黑球,从中任取3个球,则至少含有一个黑球的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3.[探究点三]若100件产品中包含10件次品,有放回地随机抽取6件,下列说法正确的是(　　)
A.其中的次品数X服从超几何分布
B.其中的正品数Y服从二项分布
C.其中的次品数X的期望是1
D.其中的正品数Y的期望是5
4.[探究点二·2024宁夏高二期末]在10件工艺品中,有3件二等品,7件一等品,现从中抽取5件,则抽到的二等品的件数X的数学期望为(　　)
A.2 B.4 C. D.
5.[探究点一]在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为 (　　)
A. B. C. D.
6.[探究点一]一个盒子里装有大小相同的10个黑球,12个红球,4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于的是(　　)
A.P(0C.P(X=1) D.P(X=2)
7.[探究点一]10名同学中有a名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰好抽取1名女生的概率为,则a=　　　　　.
8.[探究点二]从装有3个红球,2个白球的袋中随机取2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P 　　　　 　　　　 　　　　
9.[探究点二]某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列及期望.
10.[探究点三]为了解适龄民众对生二孩的态度,某市选取80后作为调查对象,随机调查了10人,其中打算生二胎的有4人,不打算生二胎的有6人.
(1)从这10人中随机抽取3人,记打算生二胎的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望;
(2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率作为概率,从该市80后中随机抽取3人,记打算生二胎的人数为η,求随机变量η的分布列和数学期望.
B级 必备知识基础练
11.[2024山东临沂高三开学考试]一个不透明的袋子中装有3个黑球,n个白球(n∈N*),这些球除颜色外大小、质地完全相同,从中任意取出3个球,已知取出2个黑球、1个白球的概率为.设X为取出白球的个数,则E(X)=(　　)
A. B. C.1 D.2
12.已知6件产品中有2件次品,4件正品,检验员从中随机抽取3件进行检测,记取到的正品数为X,则下列结论正确的是(　　)
A.E(2X-1)= B.D(X)=
C.E(X)=1 D.D(2X-1)=
13.袋中装有5个红球和4个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得3分,取到1个黑球得1分,设得分为随机变量X,则X≥8的概率P(X≥8)=　　　　　.
14.50张彩票中只有2张中奖票,今从中任取n张,为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5,n至少为　　　　　.
15.甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的8道题,规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选.
(1)求甲恰有2个题目答对的概率;
(2)求乙答对的题目数X的分布列;
(3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小,并说明理由.
C级 学科素养创新练
16.一款小游戏的规则如下:每轮游戏要进行三次,每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球,若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分,若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分,若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分(即获得-10分).
(1)设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X,求X的分布列;
(2)许多玩过这款游戏的人发现,若干轮游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了,请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.
参考答案
7.4.2　超几何分布
1.B　由题意可知,10件产品中有2件次品,8件正品,从这10件产品中任取3件,用X表示取得次品的件数,X=1表示要从2件次品中抽取1件,从8件正品中抽取2件,故P(X=1)=故选B.
2.B　根据题意,至少含有一个黑球的概率是故选B.
3.B　若100件产品中包含10件次品,有放回地随机抽取6件,则每一次抽取的结果相互独立,故此题中的“正品数”和“次品数”都分别服从二项分布,故A错误,B正确;
对于C,因为次品数X服从二项分布,即X~B(6,0.1),所以次品数X的期望是6×0.1=0.6,故C错误;
对于D,因为正品数X服从二项分布,即Y~B(6,0.9),则正品数Y的期望是6×0.9=5.4,故D错误.故选B.
4.C　随机变量X可能的取值为0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,E(X)=0+1+2+3故选C.
5.A　正品数比次品数少,有两种情况:0个正品、4个次品或1个正品、3个次品,由超几何分布的概率可知,当0个正品、4个次品时,概率为
当1个正品、3个次品时,概率为
所以正品数比次品数少的概率为
6.B　本题相当于求至多取出1个白球的概率,即取到1个白球或没有取到白球的概率.
7.2或8　根据题意,得,解得a=2或a=8.
8　P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,P(ξ=2)=
9.解(1)设A=“选出的3名同学是来自互不相同的学院”,
则P(A)=
所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为
(2)依据条件,随机变量X服从超几何分布,其中N=10,M=4,n=3,且随机变量X的可能值为0,1,2,3.
P(X=k)=,k=0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P
所以随机变量X的期望为E(X)=0+1+2+3
10.解 (1)由题意知,ξ服从超几何分布,ξ的分布列为P(ξ=k)=,k=0,1,2,3.
P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,P(ξ=3)=
所以计算的具体结果为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)=0+1+2+3
(2)由题意可知,全市80后打算生二胎的概率为P=,η的可能取值为0,1,2,3,且η~B3,.
P(η=k)=3-k,k=0,1,2,3.
η的分布列为
η 0 1 2 3
P
E(η)=3
11.A　由题可知,解得n=3,
则X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
∴E(X)=0+1+2+3
故选A.
12.D　根据题意可知,X可能取1,2,3,且服从超几何分布,
故P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以E(X)=1+2+3=2,
D(X)=(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2,
E(2X-1)=2E(X)-1=2×2-1=3,
D(2X-1)=4D(X)=故选D.
13　由题意知P(X≥8)=1-P(X=6)-P(X=4)=1-
14.15　用X表示中奖票数,P(X≥1)=>0.5,且n∈N*,n≤50,解得n≥15.
15.解(1)∵甲在备选的10道题中,答对其中每道题的概率都是,∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率P=
(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2,3,4,则P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,
故X的分布列为
X 2 3 4
P
(3)乙平均答对的题目数E(X)=2+3+4
∵甲答对题目数Y~B4,,
∴甲平均答对的题目数E(Y)=4
∵E(X)=E(Y),
∴甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数.
16.解(1)每次游戏,出现“两个都是红球”的概率为P=X可能的取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)设每轮游戏得分为Y.
由(1)知,Y的分布列为
X -10 20 200
P
E(Y)=-10+20+200=-1.69.
这表明,获得分数Y的均值为负.因此,多次游戏之后,与最初的分数相比,分数没有增加,反而减少了.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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