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2025人教A版数学选择性必修第三册
8.1　成对数据的统计相关性
8.1.1　变量的相关关系　8.1.2　样本相关系数
A级 必备知识基础练
1.[探究点一·2024河南洛阳高二阶段练习]下列说法正确的是(　　)
A.任何两个变量都具有相关关系
B.球的体积与该球的半径具有相关关系
C.广告费用与销售量之间是一种确定性关系
D.一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系
2.[探究点二·2024新疆和田高二期末]对于变量x,y有以下四个散点图,由这四个散点图可以判断变量x与y负相关的是(　　)
3.[探究点三·2024河南驻马店高二期末]开始吸烟的年龄X与得肺癌的相对危险度Y相对应的一组数据为(16,15.10),(18,12.81),(20,9.72),(22,3.21);每天吸烟的支数U与其得肺癌的相对危险度V相对应的一组数据为(10,7.5),(20,9.5),(30,16.6).用r1表示变量X与Y之间的样本相关系数,用r2表示变量U与V之间的样本相关系数,则下列说法正确的是(　　)
A.r1=r2 B.r1>r2>0
C.04.[探究点三]对于样本相关系数r,下列结论正确的个数为(　　)
①r∈[-1,-0.8]时,两变量负相关很强;
②r∈[0.8,1]时,两变量正相关很强;
③r∈(-0.6,-0.3]或[0.3,0.6)时,两变量相关性一般;
④r=0.1时,两变量相关性很弱.
A.1 B.2 C.3 D.4
5.[探究点三]为了对某班考试成绩进行分析,现从全班同学中随机抽取8名同学,他们的数学、物理成绩对应如表.根据表中数据分析:是否可以认为变量x与y具有线性相关关系
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95
物理分数y 72 77 80 85 88 90 93 95
B级 必备知识基础练
6.(多选题)下列关系是相关关系的有(　　)
A.学生的学习态度与学习成绩之间的关系
B.教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系
C.学生的身高与学生的学习成绩之间的关系
D.家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系
7.下图中的两个变量,具有相关关系的是(　　)
8.[2024河南驻马店高二期末]有以下几组(x,y)的统计数据:(1,1),(2,1.5),(3,3),(4,2.5),(5,7),要使剩下的数据具有较强的相关关系,应去掉的一组数据是(　　)
A.(2,1.5) B.(3,3)
C.(4,2.5) D.(5,7)
9.[2024湖南模拟预测]某骑行爱好者在专业人士指导下对近段时间骑行锻炼情况进行统计分析,统计每次骑行期间的身体综合指标评分x与骑行用时y(单位:时)如下表:
身体综合指标评分x 1 2 3 4 5
骑行用时y/时 9.5 8.8 7.8 7 6.1
由上表数据得到的正确结论是(　　)
参考数据:
(xi-)2=10,(yi-)2=7.06,(xi-)(yi-)=-8.4,≈8.402.
参考公式:
样本相关系数r=.
A.身体综合指标评分x与骑行用时y正相关
B.身体综合指标评分x与骑行用时y的相关程度较弱
C.身体综合指标评分x与骑行用时y的相关程度较强
D.身体综合指标评分x与骑行用时y是函数关系
10.(多选题)对于样本相关系数r,以下说法错误的有 (　　)
A.r只能是正值,不能为负值
B.|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越强;相反则越弱
C.|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越弱;相反则越强
D.r<0时表示两个变量不相关
11.已知某个样本点中的变量x,y线性相关,样本相关系数r>0,平移坐标系,则在以()为坐标原点的坐标系下的散点图中,大多数的点都落在第　　　　　象限.
12.关于变量x,y的一组样本数据(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn)(n≥2,a1,a2,…,an不全相等)的散点图中,若所有样本点(ai,bi)(i=1,2,…,n)恰好都在直线y=-2x+1上,则根据这组样本数据推断的变量x,y的样本相关系数为　　　　　.
13.[2024陕西汉中高三期末]某大学生去某工厂实习,实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品,测量每个零件的横截面积(单位:mm2)和耗材量(单位:mm3),得到如下数据:
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计
零件的横截面积xi 0.03 0.05 0.04 0.07 0.07 0.04 0.05 0.06 0.06 0.05 0.52
耗材量yi 0.24 0.40 0.23 0.55 0.50 0.34 0.35 0.45 0.43 0.41 3.9
并计算得xiyi=0.214 3,(-10)·(-10)=1.491 36×10-4.
(1)估算该同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均每个零件的耗材量;
(2)求该同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数(精确到0.01);
(3)该同学测量了自己实习期制作的所有这种零件的横截面积,并得到所有这种零件的横截面积的和为182 mm2,若这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比,请帮该同学计算一下他制作的零件的总耗材量的估计值.
附:样本相关系数
r=≈1.221.
C级 学科素养创新练
14.某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量(单位:头),并计算得xi=60,yi=1 200,(xi-)2=80,(yi-)2=9 000,(xi-)(yi-)=800.
(1)估计该地区这种野生动物的数量;
(2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的样本相关系数.(精确到0.01)
参考答案
第八章　成对数据的统计分析
8.1　成对数据的统计相关性
8.1.1　变量的相关关系
8.1.2　样本相关系数
1.D　当两个变量之间具有确定的关系时,两个变量之间是函数关系,而不是相关关系,故A错误;
球的体积与该球的半径之间是函数关系,故B错误;
广告费用与销售量之间的关系是相关关系,是非确定性关系,故C错误;
学生的数学成绩与物理成绩之间的关系是非确定性关系,故D正确.故选D.
2.B　对于A,各点分布没有明显相关性,不符合题意;
对于B,各点分布在一条直线附近,且变量x与y负相关,符合题意;
对于C,各点分布在一条抛物线附近,变量x与y也有相关性,但它们既不是正相关,也不是负相关,不符合题意;
对于D,各点分布在一条直线附近,且变量x与y正相关,不符合题意.
故选B.
3.D　由X与Y相对应的数据可得,随着X的增大,Y呈现减小的趋势,呈负相关,故r1<0,
由U与V相对应的数据可得,随着U的增大,V呈现增大的趋势,呈正相关,故r2>0,
故r1<04.D　由样本相关系数的性质可知4个结论都正确.
5.解(60+65+70+75+80+85+90+95)=77.5,
(72+77+80+85+88+90+93+95)=85.
(xi-)(yi-)=685,(xi-)2=1 050,(yi-)2=456.
所以样本相关系数r=0.99,接近于1,
所以可以认为变量x与y具有线性相关关系.
6.AB　A中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系,但具有相关性,是相关关系;B中教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系;C,D都不具备相关关系.
7.B　相关关系是一种非确定性关系.
对于A,C,两个变量具有函数关系,是一种确定性关系,故A,C错误;
对于D,图中的散点分布没有什么规律,故两个变量之间不具有相关关系,故D错误;
对于B,图中的散点分布在一条从左下角到右上角的直线附近,两个变量具有相关关系,故B正确.故选B.
8.C　在坐标系中画出五个点,如图.
结果除去(4,2.5)之外,其余的点都在一条线附近,
去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系.故选C.
9.C　样本相关系数r=-1,
即样本相关系数近似为-1,y与x负相关,且相关程度相当高,但不是函数相关.
故A,B,D错误,C正确.故选C.
10.ACD　由样本相关系数的性质知选项B正确,其余选项均错误.
11.一、三　因为r>0,所以大多数的点都落在第一、三象限.
12.-1　所有样本点都在直线上,说明这两个变量间完全负相关,故其样本相关系数为-1.
13.解 (1)样本中10个这种零件的横截面积的平均值=0.052,
样本中10个这种零件的耗材量的平均值=0.39,
由此可估算该同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积为0.052 mm2,
平均每个零件的耗材量为0.39 mm3.
(2)r=
=
=0.94,
这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数约为0.94.
(3)设这种零件的总耗材量的估计值为t mm3,
又已知这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比,
,解得t=1 365,
故这种零件的总耗材量的估计值为1 365 mm3.
14.解(1)由题意知,20个样区的野生动物的平均数量yi=1 200=60,所以200个地块的野生动物的数量为200×60=12 000.
(2)样本相关系数r=0.94.
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