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2025人教A版数学选择性必修第三册
模块综合测评(一)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.有甲、乙两种钢材,从中各取等量样品检验它们的抗拉强度(分别用X甲,X乙表示)指标如下:
X甲 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
X乙 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.1 0.4 0.2
现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好,应考察哪项指标(　　)
A.均值与方差 B.正态分布 C.χ2 D.概率
2.x2-11的展开式中,二项式系数最大的项为(　　)
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第6项和第7项
3.[2024河南高二阶段练习]已知一批产品的次品率为0.3,从中有放回地随机抽取50次,X表示抽到的次品的件数,则D(X)=(　　)
A.9.5 B.10.5 C.11.5 D.12.5
4.已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X(单位:分)服从正态分布N(105,σ2),且P(X<120)=0.8,从这些学生中任选一位,其数学成绩落在区间(90,105)内的概率为(　　)
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
5.[2024河南南阳高二期中]某老师很喜欢一小程序中的“挑战答题”模块,他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数,如下表:
天数x 1 2 3 4 5 6 7
一次最多答对题数y 14 16 18 21 21 a 27
根据最小二乘法得到y关于x的经验回归方程为=2x+12,则a=(　　)
A.22 B.23 C.24 D.25
6.现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入医疗队,用事件A表示“抽到的两名医生性别相同”,事件B表示“抽到的两名医生都是女医生”,则P(B|A)=(　　)
A. B. C. D.
7.已知离散型随机变量X的分布列PX==ak(k=1,2,3,4,5),则PA.1 B. C. D.
8.某校高三年级有8名同学计划假期前往O,M,N三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生,4名女生.每个景点至少有2名同学前往,每名同学仅选一处景点游玩,其中男生甲与女生A不去同一处景点游玩,女生B与女生C去同一处景点游玩,则这8名同学游玩行程的方法数为(　　)
A.564 B.484 C.386 D.640
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024吉林模拟预测]在的展开式中,下列说法正确的是(　　)
A.展开式的各二项式系数的和为64 B.展开式中各项系数的绝对值的和为729
C.展开式的有理项有3项 D.展开式的常数项是第4项
10.为了增强学生的身体素质,提高适应自然环境、克服困难的能力,某校在课外活动中新增了一项登山活动,并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,得到如图所示的等高条形统计图,则下列说法中正确的有(　　)
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.05 0.01
xα 3.841 6.635
　　　　
A.被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多
B.被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多
C.若被调查的男女生均为100人,则认为喜欢登山和性别有关,该推断犯错误的概率不超过0.01
D.无论被调查的男女生人数为多少,认为喜欢登山和性别有关,该推断犯错误的概率均不超过0.01
11.[2024广东广州一模]甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别),先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球;再从乙箱中随机取出两球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球,则(　　)
A.P(A1)= B.P(B)= C.P(B|A1)= D.P(A2|B)=
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.为研究变量x,y的相关关系,收集得到如下数据:
x 1 2 3 4 5
y y1 60 y3 y4 y5
若由最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为x+64,并据此计算在样本点(2,60)处的残差为0,则yi=　　　　.
13.若x6=a0+a1(x+1)+…+a5(x+1)5+a6(x+1)6,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=　　　　　,a5=　　　　　.
14.在一次“定点投球”的游戏中,游戏共进行两轮,每小组两位选手,在每轮活动中,两人各投一次,如果两人都投中,则小组得3分;如果只有一个人投中,则小组得1分;如果两人都没投中,则小组得0分,甲、乙两人组成一组,甲每轮投中的概率为,乙每轮投中的概率为,且甲、乙两人每轮是否投中互不影响,各轮结果亦互不影响,则该小组在本次活动中得分之和不低于4分的概率为　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024宁夏石嘴山高一阶段练习]小张参加某公司的招聘考试,题目按照难度不同分为A类题和B类题,小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型:一个箱子里装有质地、大小一样的5个球,3个标有字母A,另外2个标有字母B,小张从中任取3个小球,若取出的A球比B球多,则答A类题,否则答B类题.
(1)设小张抽到A球的个数为X,求X的分布列及E(X);
(2)已知A类题里有4道论述题和1道计算题,B类题里有3道论述题和2道计算题,小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答,求小张回答论述题的概率.
16.(15分)某旅游景区为吸引旅客,提供了A,B两条路线方案,该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价(“好”或“一般”),对300名旅客的路线选择和评价进行了统计,如下表:
性别 A路线 B路线 合计
好 一般 好 一般
男 20 55 120
女 90 40 180
合计 50 75 300
(1)填补上面的统计表中的空缺数据.并依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为有A,B两条路线的选择与性别有关
(2)某人计划到该景区旅游,预先在网上了解两条路线的评价,假设他分别看了两条路线各三条评价(评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考),若评价为“好”的计5分,评价为“一般”的计2分,以期望值作为参考,那么你认为这个人会选择哪一条路线 请用计算说明理由.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.100 0.050 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
17.(15分)在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表,规定75分以下为一般,大于等于75分且小于85分为良好,85分及以上为优秀.
分数 69 73 74 75 77 78 79 80 82 83 85 87 89 93 95
人数 2 4 4 2 3 4 6 3 3 4 4 5 2 3 1
经计算样本的平均值μ≈81,标准差σ≈6.2.为评判该份试卷质量的好坏,从中任取一人,记其成绩为X,并根据以下不等式进行评判.
①P(μ-σ②P(μ-2σ③P(μ-3σ评判规则:若同时满足上述三个不等式,则被评为优秀试卷;若仅满足其中两个不等式,则被评为合格试卷;其他情况,则被评为不合格试卷.
(1)试判断该份试卷被评为哪种等级;
(2)按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生,再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流,用随机变量X表示4人中成绩优秀的人数,求随机变量X的分布列和均值.
18.(17分)短视频已成为很多人生活娱乐中不可或缺的一部分,很多人喜欢将自己身边的事情拍成短视频发布到网上,某人统计了发布短视频后1~8天的点击量的数据进行了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(xi-)2 (ti-)2 (xi-)(yi-) (ti-)(yi-)
4.5 5 25.5 42 3 570 72.8 686.8
其中ti=.
某位同学分别用两种模型:①=bx2+a,②=dx+c进行拟合.
(1)根据散点图,比较模型①,②的拟合效果,应该选择哪个模型
(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的经验回归方程;(在计算回归系数时精确到0.01)
(3)预测该短视频发布后第10天的点击量是多少
附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
19.(17分)[2023新高考Ⅰ]甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(Xi)=qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
参考答案
模块综合测评(一)
1.A　检验钢材的抗拉强度,若平均抗拉强度相同,再比较波动情况.
2.D
3.B　由题意知,X~B(50,0.3),
故由二项分布的性质可得D(X)=50×0.3×(1-0.3)=10.5.故选B.
4.A　因为X~N(105,σ2),所以P(X<105)=0.5.又P(X<120)=0.8,所以P(1055.B　因为=4,,所以=2×4+12,解得a=23.
故选B.
6.A　由题意可得,n(A)==9,n(B)==3,所以P(B|A)=故选A.
7.C　由题意得,随机变量X的分布列如表所示.
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
由分布列的性质得,a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=
∴P8.A　8人分三组可分为2人,2人,4人和2人,3人,3人,共两种情况.
第一种情况分成2人,2人,4人:女生B,C去同一处景点,当B,C成2人组时,
其他6人分成2人,4人两组,且男生甲与女生A不同组,有=8种方法;
当B,C在4人组时,有=36种方法.
第二种情况分成2人,3人,3人:当B,C成2人组时,有=6种方法;
当B,C在3人组时,有=44种方法.
故这8名同学游玩行程的方法数为(8+36+6+44)=564.故选A.
9.AB　在的展开式中,各二项式系数的和为26=64,故A正确;
由题可知,展开式中各项系数的绝对值的和与的展开式中各项系数的和相等,
令x=1,可得-26展开式中各项系数的绝对值的和为36=729,故B正确;
展开式的通项为Tr+1=6-r=(-2)r,
当r-6为整数,即r=0,2,4,6时,展开式的项为有理项,
所以展开式的有理项有4项,故C错误;
令r-6=0,得r=4,所以常数项是第5项,故D错误.
故选AB.
10.AC　因为被调查的男女生人数相同,由等高条形统计图可知,喜欢登山的男生占80%,喜欢登山的女生占30%,所以A正确,B错误.
设被调查的男女生人数均为n,则由等高条形统计图可得2×2列联表如下:
性别 男 女 合计
喜欢 0.8n 0.3n 1.1n
不喜欢 0.2n 0.7n 0.9n
合计 n n 2n
零假设H0:喜欢登山和性别无关.
由公式可得χ2=
当n=100时,χ2=>6.635,所以认为喜欢登山和性别有关,该推断犯错误的概率不超过0.01;
当n=10时,χ2=<6.635,依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立.
显然χ2的值与n的取值有关,所以C正确,D错误.
11.ABD　依题意可得P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=,故A,B正确,C错误;
P(A2|B)=,故D正确.故选ABD.
12.290　因为在样本点(2,60)处的残差为0,
所以60-2-64=0,得=-2,
则y关于x的经验回归方程为=-2x+64.
因为(1+2+3+4+5)=3,所以=-2×3+64=58,所以yi=5×58=290.
13.0　-6　因为x6=a0+a1(x+1)+…+a5(x+1)5+a6(x+1)6,令x=0,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=06=0,由x6=[(x+1)-1]6,又[(x+1)-1]6展开式的通项为Tk+1=(-1)k(1+x)6-k,令6-k=5,解得k=1,则(x+1)5的系数为-=-6,即a5=-6.
14　根据题意,设该小组在本次活动中得分之和为X,则X可能取的值为0,1,2,3,4,6,在一轮活动中,该小组得3分的概率P1=,该小组得1分的概率P2=1-+1-,该小组得0分的概率P3=1-×1-=,则有P(X=4)=,P(X=6)=,则P(X≥4)=P(X=4)+P(X=6)=,即该小组在本次活动中得分之和不低于4分的概率为
15.解 (1)X的所有可能取值为1,2,3,则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
故E(X)=1+2+3
(2)记事件C为“小张回答A类题”,事件D为“小张回答B类题”,事件E为“小张回答论述题”.
由(1)知,P(C)=,P(D)=
由题意知,P(E|C)=,P(E|D)=,
所以P(E)=P(E|C)P(C)+P(E|D)P(D)=
16.解(1)
性别 A路线 B路线 合计
好 一般 好 一般
男 10 20 55 35 120
女 90 30 20 40 180
合计 100 50 75 75 300
整理数据,得到2×2列联表如下,
性别 A路线 B路线 合计
男 30 90 120
女 120 60 180
合计 150 150 300
零假设为H0:A,B两条路线的选择无关联.
∵χ2==50>10.828=x0.001,∴依据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为A,B两条路线的选择与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)由(1)可得A路线评价为“一般”的概率为,评价为“好”的概率为1-
B路线评价为“一般”的概率为,评价为“好”的概率为1-
设A,B两条路线的得分分别为X,Y,则X,Y的可能取值都为6,9,12,15,∵P(X=6)=3=,P(X=9)=2=,P(X=12)=2,P(X=15)=3=,∴E(X)=6+9+12+15=12.
∵P(Y=6)=3=,P(Y=9)=3=,P(Y=12)=3=,P(Y=15)=3=,
∴E(Y)=6+9+12+15
∵E(X)>E(Y),∴选择A路线.
17.解(1)P(μ-σ0.954 5,P(μ-3σ0.997 3,因为考生成绩满足两个不等式,所以该份试卷应被评为合格试卷.
(2)由题知,75分以下的人数为10,大于等于75分且小于85分的人数为25,85分及以上的人数为15.
按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生,分别抽取人数为2,5,3.再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流,用随机变量X表示4人中成绩优秀的人数,则X的取值可能为0,1,2,3.
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0+1+2+3
18.解(1)由散点图可知,模型①效果更好.
(2)因为ti=,所以t+,
0.19,
=5-0.19×25.5≈0.16,=0.19x2+0.16.
(3)由(2)可知,令x=10,则=0.19×100+0.16=19.16,
故预测该短视频发布后第10天的点击量为19.16.
19.解 (1)设事件A:“第2次投篮的人是乙”,
则P(A)=P(甲乙)+P(乙乙)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.
(2)设第i次是甲投的概率为pi,则第i次是乙投的概率为1-pi,由题意可知p1=,
pi+1=pi×0.6+(1-pi)×0.2=0.2+0.4pi.
则pi+1-pi+pi-,
故数列pi-为公比为的等比数列.
故pi-=p1-,得到pi=,i∈N*.
(3)由(2)知,设随机变量Xi可取0,1,i=1,2,…,n,P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,则Xi服从两点分布.
由题可知,当n≥1时,E(Y)=pi=1-+,n∈N*.
综上所述,可知E(Y)=pi=1-+,n∈N*.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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