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2025人教A版数学选择性必修第三册
模块综合训练
一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图,去掉点D(3,10)后,下列说法错误的是(　　)
A.样本相关系数r变大
B.残差平方和变大
C.决定系数R2变大
D.解释变量x与响应变量y的相关性变强
2.若的展开式中x2的系数为10,则实数a=(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
3.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,用X表示所选3人中女生的人数,则E(X)等于 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
4.[2024湖北襄阳高三期末]襄阳为“中国优秀旅游城市”,境内生态环境优美,旅游资源十分丰富,景区景点给人以自然的美妙与人文的魅力.其中南漳香水河、春秋寨、谷城薤山、保康五道峡、枣阳白水寺、唐梓山风景区、襄州鹿门寺都是风景宜人的旅游胜地,一位同学计划在假期从上面7个景区中选择3个游玩,其中香水河和五道峡最多只去一处,不考虑游玩的顺序,则不同的选择方案数为(　　)
A.20 B.30 C.35 D.40
5.若(1-x)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,则a6=(　　)
A.-448 B.-112 C.112 D.448
6.已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为,则该队员每次罚球的命中率p为(　　)
A. B. C. D.
7.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的,且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为.现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为 (　　)
A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2
8.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的均值为(　　)
A. B. C. D.
二、选择题(本题共3小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的价格x(单位:元)和销售量y(单位:件)之间的一组数据如下表所示:
价格x/元 9 9.5 10 10.5 11
销售量y/件 11 10 8 6 5
根据公式计算得样本相关系数r的绝对值|r|=0.986,其经验回归方程是=-3.2x+,则下列说法正确的有(　　)
A.由样本相关系数r可知变量x,y不具有线性相关关系
B.经验回归直线恒过定点(10,8)
C.=40
D.当x=8.5时,y的预测值为12.8
10.医用口罩面体分为内、中、外三层,内层为亲肤材质,中层为隔离过滤层,外层为特殊材料抑菌层.根据国家质量监督检验标准,医用口罩的过滤率是重要的指标.根据长期生产经验,某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率X~N(0.94,0.012)(P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3,0.998 65100≈0.87),则(　　)
A.P(X≤0.9)<0.5
B.P(X<0.4)1.5)
C.P(X>0.96)≈0.023
D.假设生产状态正常,记Y表示抽取的100只口罩中过滤率大于μ+3σ的数量,则P(Y≥1)≈0.13
11.为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况,在该市中小学中随机抽取了10所学校,10所学校中了解这个项目的人数如图所示.
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动,记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数,则(　　)
A.P(X<2)= B.P(X=0)=
C.E(X)= D.D(X)=
三、填空题(本题共3小题)
12.甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排,甲、乙要相邻,且甲不站在两端,则不同的排法种数是　　　　　.
13.已知数学老师从6道习题中随机抽3道对同学进行检测,规定至少要解答正确2道题才能及格.若某同学只能求解其中的4道题,则他能及格的概率是　　　　　　　.
14.中国在第75届联合国大会上承诺,二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值,努力争取2060年前实现碳中和(简称“双碳目标”).某地区积极响应政府的号召,大力提倡新能源汽车,某机构为研究新能源汽车在该地区的销售情况,对某品牌的新能源汽车在该地区近几个月的销售情况作了统计,如表.
月份 2021年11月 2021年12月 2022年1月 2022年2月 2022年3月
月份编号x 1 2 3 4 5
新能源汽车销售量y/辆 30 50 70 100 110
已知x和y线性相关,则y关于x的经验回归方程为　　　　　.
参考公式:经验回归方程x+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
四、解答题(本题共5小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.已知3x+n的展开式中各项的系数之和为1 024.
(1)求各奇数项系数之和;
(2)求3x+n(2x+y)2的展开式中不含y的项的各项系数之和.
16.某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数y,数据如下表:
日期 2月15日 2月16日 2月17日 2月18日 2月19日
日期代号x 1 2 3 4 5
购物人数y 77 84 93 96 100
(1)已知x与y线性相关,根据表中数据,建立y关于x的经验回归方程,并估计当年2月21日在该店购物的人数(人数用四舍五入法取整数);
(2)为了了解参加网购人群的年龄分布,该店随机抽取了200人进行问卷调查,得到如下所示不完整的2×2列联表:
单位:人
网上购物情况 年龄 合计
不低于40岁 低于40岁
参与过网上购物 30 150
未参与过网上购物 30
合计 200
将列联表补充完整,并依据表中数据及小概率值α=0.005的独立性检验,分析参与网上购物与年龄是否有关联.
附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,χ2=.
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.一个口袋中有4个白球、2个黑球,每次从袋中取出一个球.
(1)若有放回地抽取2次球,求第二次取出的是黑球的概率;
(2)若不放回地抽取2次球,求在第一次取出白球的条件下,第二次取出的是黑球的概率;
(3)若有放回地抽取3次球,求取出黑球次数X的分布列及E(X).
18.某市为了了解本市初中生周末运动时间,随机调查了3 000名学生,统计了他们的周末运动时间,制成如图所示的频率分布直方图.
(1)按照分层随机抽样的方式,从周末运动时间在区间[40,50)和[80,90)内的初中生中随机抽取了9名学生,现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试,记推荐的3名学生周末运动时间在区间[40,50)内的人数为X,求X的分布列和数学期望;
(2)由频率分布直方图可认为周末运动时间t服从正态分布N(μ,σ2),其中,μ为周末运动时间的平均数,σ近似为样本的标准差s,并已求得s≈14.6,可以用该样本的频率估计总体的概率,现从本市所有初中生中随机抽取12名学生,记周末运动时间在区间(43.9,87.7]之外的人数为Y,求P(Y=3)(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,结果精确到0.001).
参考数据1:当t~N(μ,σ2)时,P(μ-σ≤t≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤t≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤t≤μ+3σ)≈0.997 3.
参考数据2:0.818 69≈0.165 1,0.181 43≈0.006.
19.蝗虫能对农作物造成严重伤害,每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
平均温度x/℃ 21 23 25 27 29 32 35
平均产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325
(xi-)(zi-)
27.429 81.286 3.612 40.182 147.714
表中zi=ln yi,zi.
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=cedx(其中e=2.718…为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的经验回归方程模型.(给出判断即可,不必说明理由)
(2)求出y关于x的回归方程.(结果精确到小数点后第三位)
(3)根据以往统计,该地每年平均温度达到28 ℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到28 ℃以上的概率为p(0①记该地今后n(n≥3,n∈N*)年恰好需要2次人工防治的概率为f(p),求f(p)取得最大值时对应的概率p0;
②根据①中的结论,当f(p)取最大值时,记该地今后6年需要人工防治的次数为X,求X的均值和方差.
附:对于一组数据(x1,z1),(x2,z2),…,(x7,z7),其经验回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
参考答案
模块综合训练
1.B　去掉点D(3,10)后,其他数据都在一条直线附近,变量x与变量y的相关性变强,模型拟合效果变好,故残差平方和变小.
2.A　的展开式的通项为Tk+1=)5-kak=ak,令=2,解得k=1,因此x2的系数是a=10,解得a=2.故选A.
3.B　由题意可知X的可能取值为0,1,2,
由题中数据可得P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
所以E(X)=0+1+2=1.
故选B.
4.B　因为香水河和五道峡最多只去一处,
故可分为两种情况讨论.
当香水河和五道峡只去一处且不考虑游玩的顺序时,
不同的选择方案数为;
当香水河和五道峡一处也不去且不考虑游玩的顺序时,
不同的选择方案为
综上,满足题意的不同选择方案数为=30.
故选B.
5.C　(1-x)8=[2-(1+x)]8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,a6=22=112.故选C.
6.D　设罚球命中的次数为X,则1-P(X=2)=,
即1-p2(1-p)0=,得p=故选D.
7.A　记A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片为次品,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=
则由全概率公式,得所求概率为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
==0.08.故选A.
8.B　依题意可知ξ的所有可能取值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则第一轮结束时比赛停止的概率为若第一轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在第一轮中必是各得一分,此时,第一轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=,P(ξ=6)=,故E(ξ)=2+4+6故选B.
9.BCD　对于A,因为|r|=0.986,所以变量x,y具有线性相关关系,故A不正确;
对于B,(9+9.5+10+10.5+11)=10,(11+10+8+6+5)=8,故经验回归直线恒过定点(10,8),故B正确;
对于C,因为经验回归直线恒过定点(10,8),所以8=-3.2×10+,解得=40,故C正确;
对于D,当x=8.5时,=-3.2×8.5+40=12.8,故D正确.
故选BCD.
10.ACD　对于A,∵X~N(0.94,0.012),
∴P(X≤0.9)对于B,∵P(X>1.5)=P(X<0.38),
∴P(X<0.4)>P(X>1.5),故B错误;
对于C,P(X>0.96)=P(X>0.94+0.02)=P(X>μ+2σ)=0.022 75≈0.023,故C正确;
对于D,P(X>μ+3σ)==0.001 35,
则P(X≤μ+3σ)=1-P(X>μ+3σ)=1-0.001 35=0.988 65,
由P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0.998 65100≈1-0.87=0.13,故D正确.
11.ABD　根据题意,X的可能取值为0,1,2,其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所,了解冰壶的人数在30以下的学校有6所,所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以P(X<2)=1-,故A,B正确;
E(X)=,D(X)=0-2+1-2+2-2,故C错误,D正确.
12.36　甲、乙相邻,则有=48(种)排法,甲、乙相邻且甲站在两端有2=12(种)排法,故甲、乙要相邻,且甲不站在两端有48-12=36(种)排法.
13　由超几何分布的概率公式,可得他能及格的概率是P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=
14=21x+9　=3,=72,
xiyi=1×30+2×50+3×70+4×100+5×110=1 290,
=12+22+32+42+52=55,
=21,=72-21×3=9,
∴y关于x的经验回归方程为=21x+9.
15.解(1)已知3x+n的展开式中各项的系数之和为4n=1 024,∴n=5.
则3x+5=(3x)50+(3x)41+(3x)32+(3x)23+(3x)4+(3x)05,
∴各奇数项系数之和为35+33+3=528.
(2)由(1)知3x+n(2x+y)2=3x+5(2x+y)2=3x+5(4x2+4xy+y2),3x+5的展开式的通项为Tk+1=(3x)5-kk=35-kx5-ky-k,3x+5(2x+y)2的展开式中不含y的项有3项,当r=0时,4×35x7=972x7,当r=1时,4×34x5=1 620x5,当r=2时,33x3=270x3,则各项系数之和为972+1 620+270=2 862.
16.解 (1)由表中数据可得=3,=90,
(xi-)2=(-2)2+(-1)2+02+12+22=10,
(xi-)(yi-)=-2×(-13)+(-1)×(-6)+0×3+1×6+2×10=58,
则=5.8,=90-5.8×3=72.6,
所以y关于x的经验回归方程是=5.8x+72.6.
令x=7,得=113.2,
所以估计当年2月21日在该店购物的人数为113.
(2)2×2列联表如下:
单位:人
网上购物情况 年龄 合计
不低于40岁 低于40岁
参与过网上购物 30 120 150
未参与过网上购物 20 30 50
合计 50 150 200
零假设为H0:参加网上购物和年龄无关联.根据数据,计算得到χ2==8>7.879=x0.005,
所以根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,
即认为参加网上购物和年龄有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.
17.解设Ai=“第i次取到白球”,Bi=“第i次取到黑球”.
(1)因为每次都是从6个球中取球,每次取球的结果互不影响,所以P(B2)=
(2)问题相当于“从3个白球、2个黑球中取一次球,求取到黑球的概率”,所以所求的概率P=
(3)若有放回地取3个球,则取到黑球次数X的可能取值为0,1,2,3.三次取球互不影响,由(1)可知每次取出黑球的概率均为
所以P(X=0)=3=;
P(X=1)=2=;
P(X=2)=2;
P(X=3)=3=
X 0 1 2 3
P
X服从二项分布,即X~B3,,所以E(X)=3=1.
18.解 (1)周末运动时间在区间[40,50)内的人数为3 000×0.02×10=600.
周末运动时间在区间[80,90)内的人数为3 000×0.01×10=300.
按照分层随机抽样的方式共抽取9人,则在区间[40,50)内抽取的人数为6,在区间[80,90)内抽取的人数为3.
∴随机变量X服从超几何分布,X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=
计算的具体结果如表所示.
X 0 1 2 3
P
∴E(X)=0+1+2+3=2.
(2)μ==35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.15+75×0.15+85×0.1=58.5,σ≈14.6,
∴P(43.9≤t≤87.7)=P(μ-σ≤t≤μ+2σ)=0.818 6,
∴P(t<μ-σ或t>μ+2σ)≈1-0.818 6=0.181 4.
∴Y~B(12,0.181 4),
∴P(Y=3)=0.181 43×0.818 69≈220×0.006×0.165 1≈0.218.
19.解(1)由散点图可以判断,y=cedx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的经验回归方程模型.
(2)对y=cedx两边取自然对数得ln y=ln c+dx,令z=ln y,a=ln c,b=d,则z=a+bx.
因为0.272,
=3.612-0.272×27.429=-3.849,
所以z关于x的经验回归方程为=0.272x-3.849.
所以y关于x的非线性经验回归方程为=e0.272x-3.849.
(3)①由题意可知f(p)=p2·(1-p)n-2,
所以f'(p)=2p(1-p)n-2-(n-2)p2(1-p)n-3=p(1-p)n-3·[2(1-p)-(n-2)p]=p(1-p)n-3·(2-np).
因为n≥3且n∈N*,所以当00;
当所以函数f(p)在区间0,内单调递增,在区间,1内单调递减.
所以函数f(p)在p=处取得极大值,亦即最大值.所以p0=
②由①可知,当p=时,f(p)取最大值.
又因为n=6,
所以p=
由题意可知X~B6,,
所以E(X)=6=2,D(X)=6
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