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2025人教A版数学选择性必修第三册
培优课——离散型随机变量的均值与方差的综合应用
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0A.E(ξ1)B.E(ξ1)D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
2.[探究点二·2024江苏高二期末]设随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P
若Y=2X+2,则D(Y)等于(　　)
A.- B. C. D.
3.[探究点三]甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件,X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数,经过一段时间的考察,X,Y的分布列分别为
X 0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1
Y 0 1 2
P 0.5 0.3 0.2
据此判定(　　)
A.甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好
B.乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好
C.甲生产的零件质量与乙生产的零件质量一样
D.无法判定
4.[探究点二]某日A,B两个沿海城市受台风袭击的概率相同,已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36,若用X表示这一天受台风袭击的城市个数,则E(X)=(　　)
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
5.[探究点一]学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会,其中某班有4名候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选到,若X表示选到该班的候选人的人数,则E(X)=(　　)
A. B. C. D.
6.[探究点二]小芳用肢体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜不对得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X(单位:分)的均值为(　　)
A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1
7.[探究点一]同时抛掷两枚质地均匀的骰子,至少有一个3点或6点出现时,就说这次试验成功,则在9次试验中,成功次数X的均值是　　　　　.
8.[探究点二·2024浙江高二阶段练习]一个盒子中有黑、白颜色的小球各3个,红色小球1个,每次从中取出一个,取出后不放回,当取出第二种颜色时即停止.设停止取球时,取球的次数为ξ,则P(ξ=2)=　　　,E(ξ)=　　　.
9.[探究点二]为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设X为成活沙柳的株数,均值E(X)为3,标准差.
(1)求n和p的值,并写出X的分布列;
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.
B级 必备知识基础练
10.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且此人是否游览哪个景点互不影响,设X表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值,则E(X)等于(　　)
A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.1
11.[2024江西吉安高二期末]将字母a,a,b,b,c,c放入3×2的表格中,每个格子各放一个字母,若共有k行字母相同,则得k分,则所得分数ξ的均值为 (　　)
A. B. C. D.
12.已知离散型随机变量ξ的可能值为-1,0,1,且E(ξ)=0.1,D(ξ)=0.89,则对应的概率p1,p2,p3分别为　　　　　,　　　　　,　　　　　.
13.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为1(不计其他得分情况),则ab的最大值为　　　　　.
14.举重比赛的规则是:挑战某一个重量,每位选手可以试举三次,若三次均未成功,则挑战失败;若有一次举起该重量,则无需再举,视为挑战成功.已知甲选手每次能举起该重量的概率是,且每次试举相互独立,互不影响,设试举的次数为随机变量X,则X的数学期望E(X)=　　　　;已知甲选手挑战成功,则甲是第二次举起该重量的概率是　　　　.
15. 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示.
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;
(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与均值.
16.某购物网站组织了一次促销活动,在网页的界面上打出广告:高级口香糖,10元钱三瓶,有8种口味供您选择(其中有1种为草莓口味).小王点击进入网页一看,只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起,看不见具体口味,由购买者随机点击进行选择(各种口味的高级口香糖均超过三瓶,且各种口味的瓶数相同,每点击选择一瓶后,网页自动补充相应的口香糖).
(1)小王花10元钱买三瓶,请问小王收到货的组合方式共有多少种
(2)小王花10元钱买三瓶,由小王随机点击三瓶,请列出有小王喜欢的草莓味口香糖的瓶数ξ的分布列,并计算其数学期望和方差.
C级 学科素养创新练
17.一个袋子中装有形状、大小完全相同的4个小球,其中2个黑球,2个白球.第一步:从袋子里随机取出2个球,将取出的白球涂黑后放回袋中,取出的黑球直接放回袋中;第二步:再从袋子里随机取出2个球,记第二步取出的2个球中白球的个数为X,则E(X)=(　　)
A. B. C. D.
18.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,均值E(X)及方差D(X).
参考答案
培优课——离散型随机变量的
均值与方差的综合应用
1.A　由题意可知ξi(i=1,2)服从两点分布,
∴E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2,D(ξ1)=p1(1-p1),D(ξ2)=p2(1-p2),又0∴E(ξ1)故由题意可知,D(ξ1)2.D　由题意知,E(X)=-1+0+1=-,
故D(X)=,
所以D(Y)=D(2X+2)=4D(X)=4
故选D.
3.A　E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,E(Y)=0×0.5+1×0.3+2×0.2=0.7.
显然E(X)4.D　设A,B两市受台风袭击的概率均为p,
则A市或B市都不受台风袭击的概率为
(1-p)2=1-0.36,解得p=0.2或p=1.8(舍去).
P(X=0)=1-0.36=0.64,P(X=1)=2×0.8×0.2=0.32,
P(X=2)=0.2×0.2=0.04,
E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.故选D.
5.D　X的可能取值有0,1,2,且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,
X的分布列如下:
X 0 1 2
P
E(X)=0+1+2
6.A　由题意得X=0,1,2,则P(X=0)=0.6×0.5=0.3,P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2,故E(X)=1×0.5+2×0.2=0.9.
7.5　由已知,同时抛掷两枚骰子一次,至少有一个3点或6点出现时的概率为,9次试验相当于9次独立重复试验,则成功次数X服从二项分布,即X~B
故E(X)=9=5.
8　依题意,若第一次取出的是红色小球,则第二次取出的小球一定是另一种颜色,即取两次球即停止,此时ξ=2.
若第一次取出的是黑色或白色小球,当取出第二种颜色时即停止,取球次数可能为2,3,4.
故ξ的所有可能取值为2,3,4.
P(ξ=2)=2=,
P(ξ=3)=2=,
P(ξ=4)=2=,
所以E(ξ)=2+3+4
9.解由题意知,X~B(n,p),P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,…,n.
(1)由E(X)=np=3,D(X)=np(1-p)=,得n=6,p=
X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
(2)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(X≤3)=
所以需要补种沙柳的概率为
10.A　分别记“该客人游览甲景点”“该客人游览乙景点”“该客人游览丙景点”为事件A1,A2,A3,
∵客人游览景点数的可能取值为0,1,2,3,
∴X的可能取值为1,3.
P(X=3)=P(A1A2A3)+P()=P(A1)P(A2)P(A3)+P()P()P()=2×0.4×0.5×0.6=0.24,P(X=1)=1-0.24=0.76.
因此X的分布列为
X 1 3
P 0.76 0.24
E(X)=1×0.76+3×0.24=1.48.
11.B　字母a,a,b,b,c,c放入3×2的表格中的不同结果有=90种,
随机变量ξ的可能取值为0,1,3,
可得P(ξ=1)=,P(ξ=3)=,
则P(ξ=0)=1-P(ξ=1)-P(ξ=3)=1-,
所以随机变量ξ的均值为E(ξ)=0+1+3
故选B.
12.0.4　0.1　0.5　ξ的分布列为
ξ -1 0 1
P p1 p2 p3
E(ξ)=-p1+p3=0.1,D(ξ)=(-1-0.1)2p1+(0-0.1)2p2+(1-0.1)2p3=0.89.
即1.21p1+0.01p2+0.81p3=0.89,
即121p1+p2+81p3=89.
又p1+p2+p3=1,
解得
13　由已知可得3a+2b+0×c=1,即3a+2b=1,
故ab=3a·2b
当且仅当3a=2b=时,等号成立,即ab的最大值为
14　依题意随机变量X的可能取值为1,2,3,则P(X=1)=,P(X=2)=1-,
P(X=3)=
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
所以随机变量X的数学期望为E(X)=1+2+3
记“第i次举起该重量”分别为事件Ai,i=1,2,3,“甲选手挑战成功”为事件B,
则P(B)=1-P()=1-,
P(A2B)=P(A2)=P()P(A2)=1-,所以P(A2|B)=,
所以甲选手挑战成功,则甲是第二次举起该重量的概率为
15.解(1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为
(2)先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量Y的分布列.
因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4),
所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k=1,2,3,4),则n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.
由P(X=k)=得P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
P(X=4)=
故所求的分布列为
Y 51 48 45 42
P
E(Y)=51+48+45+42=46.
16.解(1)若三瓶口味均不一样,有=56(种)组合方式;
若其中两瓶口味一样,有=56(种)组合方式;
若三瓶口味一样,有8种组合方式.
故小王收到货的组合方式共有56+56+8=120(种).
(2)ξ所有可能的取值为0,1,2,3.
因为各种口味的高级口香糖均超过3瓶,且各种口味的瓶数相同,有8种不同口味,所以小王随机点击一次是草莓味口香糖的概率为,即随机变量ξ服从二项分布,即ξ~B3,.
所以P(ξ=0)=0×1-3=,
P(ξ=1)=1×1-2=,
P(ξ=2)=2×1-1=,
P(ξ=3)=3×1-0=
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
数学期望E(ξ)=3,方差D(ξ)=3
17.D　①记第一步取出2个白球为事件A,即第二步袋子里有4个黑球,则P(A)=,P(X=0|A)=1,P(X=1|A)=P(X=2|A)=0.
②记第一步取出的2个球为1黑1白为事件B,即第二步袋子里有3个黑球1个白球,则P(B)=,P(X=0|B)=,P(X=1|B)=,P(X=2|B)=0.
③记第一步取出2个黑球为事件C,即第二步袋子里有2个黑球2个白球,则P(C)=,P(X=0|C)=,P(X=1|C)=,P(X=2|C)=
故由全概率公式得,P(X=0)=P(A)P(X=0|A)+P(B)P(X=0|B)+P(C)P(X=0|C)=1+,
同理P(X=1)=,P(X=2)=
故E(X)=0+1+2
故选D.
18.解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”.
则P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=(1-0.6)3=0.064,
P(X=1)=0.6×(1-0.6)2=0.288,
P(X=2)=0.62×(1-0.6)=0.432,
P(X=3)=0.63=0.216,
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X~B(3,0.6),所以均值E(X)=3×0.6=1.8,
方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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