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2025人教A版数学选择性必修第一册
1.1　空间向量及其运算
1.1.1　空间向量及其线性运算
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]给出下列命题:
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点构成一个圆;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;④空间中任意两个单位向量必相等;⑤零向量没有方向.其中假命题的个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
2.[探究点一][2024天津北辰校级期末]下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若a=b,b=c,则a=c;
③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;
④若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.
其中,真命题的个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
3.[探究点二]如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,=(　　)
A. B.
C. D.
4.[探究点二][2024湖南湘潭高二校联考期末]已知在空间四边形ABCD中,,则+2=(　　)
A.2 B.2
C.2 D.
5.[探究点二]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若=a,=b,=c,则可表示为(　　)
A.-a+b+c
B.a+b+c
C.-a-b+c
D.a-b+c
6.[探究点三][2024江苏镇江高二校考阶段练习]设a,b是空间中两个不共线的向量,已知=9a+mb,=-2a-b,=a-2b,且A,B,D三点共线,则实数m=　　　　　.
7.[探究点四]已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,若向量+λ,且点P与A,B,C共面,则实数λ=　　　　　.
8.[探究点四]如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.证明A,E,C1,F四点共面.
B级 关键能力提升练
9.[2024江苏淮安涟水校级月考]已知四面体OABC,空间的一点M满足+λ,若点M,A,B,C共面,则λ=(　　)
A. B.
C. D.
10.已知空间向量a,b,c,给出下列命题:
①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;
②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;
③若存在不全为0的实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则向量a,b,c共面.
其中,真命题的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,M为空间任意两点,如果有+7+6-4,那么点M必(　　)
A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内
C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内
12.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作,其中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥”.如图,在“阳马”A-OBCD中,E为△ACD的重心,若=a,=b,=c,则=(　　)
A.-a+b+c
B.-a+b+c
C.a+b+c
D.-a+b-c
13.已知O为空间中一点,A,B,C,D四点共面且任意三点不共线,若2=x,则x的值为　　　　　.
14.如图,四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,向量是否共线
15.在长方体ABCD -A1B1C1D1中,M为DD1的中点,点N在AC上,且AN∶NC=2∶1,求证: 共面.
16.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且=2,F在体对角线A1C上,且.若=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示;
(2)求证:E,F,B三点共线.
C级 学科素养创新练
17.如图,已知M为四面体ABCD的面BCD的重心,连接BM并延长交CD于点E,G为AM的中点,N在AE上,且=λ,且B,G,N三点共线.试求λ的值.
(提示:若a,b,c不共面,且x1a+y1b+z1c=x2a+y2b+z2c,则x1=x2,y1=y2,z1=z2)
答案：
1.D　①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点将构成一个球面,而不是一个圆.
②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同.
③真命题.向量的相等具有传递性.
④假命题.空间中任意两个单位向量的模均为1,但空间中任意两个单位向量的方向不一定相同,所以不一定相等.
⑤假命题.零向量的方向是任意的.
2.B　对于①,因为|a|=|b|,但向量a,b的方向不确定,则向量a,b不一定相等,故①错误;
对于②,若a=b,b=c,则a=c,故②正确;
对于③,由|a|=|b|且a∥b,得a=b或a=-b,所以“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的必要不充分条件,故③错误;
对于④,若A,B,C,D是不共线的四点,当时,则AB∥CD且||=||,故四边形ABCD为平行四边形,
当四边形ABCD为平行四边形时,由相等向量的定义可知,所以若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件,故④正确.
故选B.
3.D　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
=()+.
4.A　因为,故G为CD的中点,如图.
由平行四边形法则,可得=2,
所以2+()=2()=2.
故选A.
5.A　由题得,=c-a+b.
6.-3　∵=-2a-b,=a-2b,
∴=(-2a-b)-(a-2b)=-3a+b.
∵A,B,D三点共线,
∴存在实数λ,使得=λ,即9a+mb=λ(-3a+b),
∴解得m=λ=-3.
7.　∵向量+λ,且点P与A,B,C共面,∴λ+=1,∴λ=.
8.证明 由题得,,
,
,
∴,
∴,故A,E,C1,F四点共面.
9.A　因为+λ,且点M,A,B,C共面,则+λ=1,解得λ=.故选A.
10.B　因为向量a,b共线,则a与b所在的直线可能平行,也可能重合,故①错误;
任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量,即空间任意两向量a,b都共面,故②错误;
因为实数x,y,z不全为0,不妨设x≠0,则a=b+c,故向量a,b,c共面,故③正确.
11.C　由于+7+6-4+6-4+6-4+6()-4()=11-6-4,
因此M,B,A1,D1四点共面,即点M必在平面BA1D1内.
12.B　∵E为△ACD的重心,
∴)=(b+c),
则(b+c)-a=-a+b+c.
13.-2　∵O为空间任意一点,2=x,
∴2()=x,
∴.
∵A,B,C,D满足四点共面且任意三点不共线,
∴=1,解得x=-2.
14.解 因为M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形,
所以.
又=-,
所以=-.
所以+2=2()=2,
即=2,故向量共线.
15.证明 ∵,
,
),
∴)-
)+)=,
∴共面.
16.(1)解
==a-c-b.
(2)证明 ∵=2,
∴,
∴b,)=)=a+b-c,
∴a-b-c=(a-b-c).
又由(1)知=a-b-c,
∴,且有公共点E,
∴E,F,B三点共线.
17.解 ∵M为四面体ABCD的面BCD的重心,连接BM并延长交CD于点E,
∴E为CD的中点,
)
=)=,
∴=-+λ=-.
∵G为AM的中点,
∴=-.
∵B,G,N三点共线,
∴=x,即
∴∴λ=.
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