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2025人教A版数学选择性必修第一册
1.1.2　空间向量的数量积运算
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
2.[探究点一]正四面体O-ABC棱长为1,E为BC中点,则=(　　)
A.- B.
C.- D.
3.[探究点二]已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为(　　)
A.30° B.45°
C.135° D.60°
4.[探究点一](多选题)如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是(　　)
A. B.
C. D.
5.[探究点一]正四面体ABCD的棱长为1,E,F分别是AB,AD的中点,则
=　　　　　.
6.[探究点四]已知空间向量a,b,c中每两个的夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=　 .
7.[探究点二][人教B版教材习题]已知a,b都是空间向量,且=,求<2a,-3b>.
8.[探究点三、四][2024重庆九龙坡高二校考期末]如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的菱形,CC1=2,∠C1CB=∠BCD=∠C1CD=60°.
(1)求CA1的长;
(2)求证:CA1⊥B1D1.
B级 关键能力提升练
9.在四面体OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos<>的值是(　　)
A. B.
C.- D.0
10.[2024福建福州高二月考]如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°,则=(　　)
A.-1 B.1
C. D.
11.(多选题)如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是(　　)
A.2
B.2
C.2
D.2
12.已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径,点P在正方体表面上运动,则的最大值为(　　)
A.4 B.12
C.8 D.6
13.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量在向量方向上的投影向量的模是　 .
14.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=60°,设=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示,并求||;
(2)求.
C级 学科素养创新练
15.如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则(i=1,2,…,8)的不同值的个数为(　　)
A.8 B.4
C.2 D.1
答案：
1.A　由条件知p·q=0,p2=q2=1,
所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2-2q2+p·q=1.
2.B　∵正四面体O-ABC棱长为1,E为BC中点,
∴)·()
=)
=×(1-1×1×cos 60°+1×1×cos 60°-1×1×cos 60°)=×(1-)=,故选B.
3.B　∵a-b与a垂直,∴(a-b)·a=0,
∴a·a-a·b=|a|2-|a||b|cos=1-1××cos=0,∴cos=.
∵0°≤≤180°,∴=45°.
4.BCD　因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,故=0;因为AD⊥AB,AD⊥PA,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,故AD⊥PB,则=0;同理可得=0;而PC与AD所成角为∠PCB,显然不垂直.
5.-　如图所示,正四面体ABCD的棱长为1,E,F分别是AB,AD的中点,
所以,故|||cos 120°=-=-.
6.10　∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,且===,
∴|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c
=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos+2|a||c|cos+2|b||c|cos
=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,∴|a+b+c|=10.
7.解 ∵2a·(-3b)=-6a·b=-6|a||b|cos=-6|a||b|cos=-3|a||b|,
∴cos<2a,-3b>==-,
∴<2a,-3b>=.
8.(1)解 设=a,=b,=c,
则|a|=|b|=1,|c|=2.
∵∠C1CB=∠BCD=∠C1CD=60°,
则a·c=b·c=1×2×cos 60°=1,a·b=1×1×cos 60°=.
∵=a+b+c,
∴||=|a+b+c|=
,
故CA1的长为.
(2)证明 由题得=a-b,
∴=(a+b+c)·(a-b)=a2-b2-b·c+a·c=1-1-=0,
∴.
故CA1⊥B1D1.
9.D　因为OB=OC,
所以·()=
=||||cos-||||cos|(||-||)=0,
所以cos<>==0.故选D.
10.B　由题意得,
则=()·()
=
=1-1+1×1×cos 60°+1×1×cos 60°=1.故选B.
11.BC　2=2a2cos 120°=-a2,
2=2=2a2cos 60°=a2,
2=a2,
2=-=-a2.
12.C　设正方体内切球的球心为G,则GM=GN=2,
=()·()=·()+.
因为MN是正方体内切球的一条直径,
所以=0,=-4,
所以-4,
又点P在正方体表面上运动,所以当P为正方体顶点时,||最大,且最大值为2,
所以-4≤8,所以最大值为8.故选C.
13.　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量与向量夹角为45°,
所以=||cos<>=1×cos 45°=.
向量在向量方向上的投影向量是,
向量在向量方向上的投影向量的模是.
14.解 (1)∵=a,=b,=c,
∴=a+b+c.
∵底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=60°,
∴||=
=
=.
(2)·()==2×1×-2×1×=0.
15.D　·()=,
∵AB⊥平面BP2P8P6,∴,
∴=0,∴=||2=1,
则(i=1,2,…,8)的不同值的个数为1.
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