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2025人教A版数学选择性必修第一册
1.2　空间向量基本定理
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]已知{a,b,c}是空间的一个基底,下面向量中与向量a+c,a-c一起能构成空间的另外一个基底的是(　　)
A.a B.b+c
C.2a+c D.2a-c
2.[探究点二][2024福建南平期末]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1,B1D1的交点.若=a,=b,=c,则=(　　)
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.a-b+c
3.[探究点二][北师大版教材习题]在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,已知BA,BC,BB'为三条不共面的线段,若=x+2y+3z,则x+y+z的值为(　　)
A.1 B.
C. D.
4.[探究点三]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠DAB =60°,则体对角线BD1的长为　　　.
5.[探究点二][人教B版教材习题]任作一个平行六面体ABCD-A'B'C'D',设=a,=b,=c,分别作出向量,使它等于如下向量:
(1)a+b;(2)a+b+c;(3)a+b+c.
6.[探究点二]已知三棱柱ABC -A1B1C1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°.求证:AB⊥AC1.
7.[探究点三][2024浙江杭州高二校考期末]如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,CB⊥BD,∠C1CD=45°,∠CC1B=60°,CC1=CB=BD=1.
(1)求体对角线CA1的长度;
(2)求异面直线CA1与DA所成角的余弦值.
B级 关键能力提升练
8.[2024陕西鄠邑期末]已知{a,b,c}是空间的一个基底,则下列说法错误的是(　　)
A.若xa+yb+zc=0,则x=y=z=0
B.向量a,b,c两两共面,但a,b,c不共面
C.一定存在x,y,使得a=xb+yc
D.a+b,b-c,c+2a一定能构成空间的一个基底
9.[北师大版教材习题]已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外任意一点O,有,则A,B,C,M四点　　　　　.(填“共面”或“不共面”)
10.在棱长为a的正四面体ABCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,则异面直线EF与AB所成角的大小是　　　　,线段EF的长度为　　　　.
C级 学科素养创新练
11.[2024安徽合肥高二校考开学考试]如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,=a,=b, =c,CA=CB=CC1=1,==,=,N是AB中点.
(1)用a,b,c表示向量;
(2)在线段C1B1上是否存在点M,使AM⊥A1N 若存在,求出M的位置;若不存在,说明理由.
答案：
1.B　∵(a+c)+(a-c)=2a,∴a+c,a-c,a共面,∴不能构成基底,∴A错误;
∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a+c,a-c,b+c不共面,∴能构成基底,∴B正确;
∵(a+c)+(a-c)=2a+c,∴a+c,a-c,2a-c共面,∴不能构成基底,∴C错误;
∵(a+c)+(a-c)=2a-c,∴a+c,a-c,2a-c共面,∴不能构成基底,∴D错误.故选B.
2.A　∵在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1,B1D1的交点,=a,=b,=c,
∴)=)=-a+b+c.故选A.
3.B　因为=x+2y+3z,所以x=1,2y=1,3z=-1.
所以x=1,y=,z=-,所以x+y+z=.
4.　如图,,
∴=()2
=+2||||cos 60°+2||·||cos 120°+2||||cos 120
=1+1+1+1-1-1=2,
∴体对角线BD1的长为.
5.解 如图,设M1是棱BC的中点,M2是体对角线AC'的中点,M3是上底面A'C'的中心,则
(1)=a+b.
(2)∵=a+b+c,
∴a+b+c.
(3)=c+=c+(a+b)=a+b+c.
6.证明 设=a,=b,=c,则=b+c.
所以=a·(b+c)=a·b+a·c.
因为AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,
所以a·b=0,a·c=0,
得=0,故AB⊥AC1.
7.解 (1)因为CB=BD=1,CB⊥BD,
所以△BCD为等腰直角三角形,
所以∠BCD=45°,CD=.
因为CC1=CB=1,∠CC1B=60°,
所以△CC1B为边长为1的等边三角形.
以{}为空间的一个基底,
则.
||2=()2=+2+2+2
=1+2+1+2×1×+2×1×1×+2×1×=9,所以||=3,即CA1=3,
所以体对角线CA1的长度为3.
(2)因为,||=3,,||=||=1,
所以=()·
=1+×1×+1×1×,
所以cos<>=,
即异面直线CA1与DA所成角的余弦值为.
8.C　对于A,若x,y,z不全为0,则向量a,b,c共面,与题意矛盾,故A正确;对于B,向量a,b,c两两共面,但向量a,b,c不共面,故B正确;对于C,向量a,b,c不共面,则不存在实数x,y,使得a=xb+yc,故C错误;对于D,若向量a+b,b-c,c+2a共面,
则a+b=k(b-c)+λ(c+2a)=2λa+kb+(λ-k)c,则此方程组无解,
故向量a+b,b-c,c+2a不共面,故D正确.故选C.
9.共面　因为,
所以3,
所以,
即,所以共面.
所以A,B,C,M四点共面.
10.a　设=a,=b,=c,则{a,b,c}是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a,a·b=a·c=b·c=a2.
∴(a+b)-c,
∴a2+a·b-a·c=a2,||=a.
∴cos<>=,
∴异面直线EF与AB所成的角为.
11.解 (1)因为N是AB中点,所以,
所以=-)=-a+b-c.
(2)存在.假设存在点M,使AM⊥A1N,设=λ,λ∈[0,1],
则λ=λb,故=c-a+λb.
因为AM⊥A1N,所以=0,
即(c-a+λb)·=0,
所以-c·a+c·b-c2+a2-a·b+c·a-λa·b+λb2-λb·c
=c·a+b·c-c2+a2-a·b+λb2=0.
因为CA=CB=CC1=1,==,=,
所以c·a-c2+a2-a·b+λb2=0,
即×1×1×-12+×12-×1×1×λ·12=0,
解得λ=,所以当C1M=C1B1时,AM⊥A1N.
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