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2025人教A版数学选择性必修第一册
1.3　空间向量及其运算的坐标表示
A级 必备知识基础练
1.[探究点二]已知向量a=(3,5,-1),b=(2,2,3),则向量2a-3b的坐标为(　　)
A.(0,4,-11) B.(12,16,7)
C.(0,16,-7) D.(12,16,-7)
2.[探究点一、二](多选题)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),那么以下说法中正确的是(　　)
A.=(-2,3,-3)
B.=(-4,6,-6)
C.线段AC的中点坐标为(-2,0,-1)
D.四边形ABCD是一个梯形
3.[探究点四]已知点A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量的夹角为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.[探究点三][2024浙江台州期末]若向量a=(1,1,2),b=(2,x,y),且a∥b,则|b|=(　　)
A.2 B.2
C. D.2
5.[探究点三][2024四川威远校级期末]已知向量a=(-1,1,0),b=(1,0,2),且ka+b与a-2b互相垂直,则k=(　　)
A.- B.
C. D.
6.[探究点三]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是(　　)
A.MN与CC1垂直
B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行
D.MN与A1B1平行
7.[探究点一][2024安徽高二课时练习]已知{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,向量b=
-5i+2k用坐标形式可表示为　　　　　.
8.[探究点二]已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,则实数x=　　　　.
9.[探究点三][2024黑龙江建华校级期末]已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.
(1)若|c|=3,c∥,求c;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k.
10.[探究点四]已知空间向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1).
(1)若a∥c,求|c|;
(2)若b⊥c,求cos的值.
B级 关键能力提升练
11.已知空间向量=(x,y,8),=(z,3,4),,且||=5,则实数z的值为(　　)
A.5 B.-5
C.5或-5 D.-10或10
12.[2024北京丰台高二期末]在空间直角坐标系中,已知三点O(0,0,0),A(1,2,1),B(1,-1,0),若点C在平面OAB内,则点C的坐标可能是(　　)
A.(-1,-1,3) B.(3,0,1)
C.(1,1,2) D.(1,-1,2)
13.[2024江苏高二校联考]若向量a=(1,λ,1),b=(2,-1,-2),且向量a与b夹角的余弦值为,则λ=(　　)
A.- B.
C.- D.2
14.已知动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线BD1(不含端点)上.设=λ,若
∠APC为钝角,则实数λ的取值范围为(　　)
A.(0,) B.(0,)
C.(,1) D.(,1)
15.[2024江苏徐州高二统考期末]已知A(1,1,0),B(0,3,0),C(2,2,2),则向量上的投影向量的坐标是　　　　　.
16.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,||=　　　　　.
17.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积;
(2)若|a|=,且a分别与垂直,求向量a的坐标.
18.[北师大版教材习题]已知A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.
(1)设|c|=3,c∥,求c的坐标;
(2)求a与 b的夹角;
(3)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.
C级 学科素养创新练
19.在通用技术课上,老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD,并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案:第一步,过点A作一个平面分别交PB,PC,PD于点E,F,G,得到四棱锥P-AEFG;第二步,将剩下的几何体沿平面ACF切开,得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中,为方便切割,需先在模型表面画出截面四边形AEFG,若,则的值为　　　　　.
答案：
1.A　∵a=(3,5,-1),b=(2,2,3),
∴2a-3b=(6,10,-2)-(6,6,9)=(0,4,-11).故选A.
2.AD　∵A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),
∴=(-2,3,-3),=(4,-6,6),故A正确,B错误;
线段AC的中点坐标为(1,0,-),故C错误;
=-2,故共线,即AB∥CD,
=(0,-4,1),=(-2,-1,-2),不共线,即AD与BC不平行,故四边形ABCD为梯形.故选AD.
3.C　由已知得=(0,3,3),=(-1,1,0),
因此cos<>=,
所以向量的夹角为60°.
4.D　因为a=(1,1,2),b=(2,x,y),且a∥b,
则,解得x=2,y=4,故b=(2,2,4),
所以|b|==2.故选D.
5.D　由题可得,ka+b=(-k+1,k,2),a-2b=(-3,1,-4).
∵ka+b与a-2b垂直,∴(ka+b)·(a-2b)=-3(-k+1)+k-8=0,解得k=.故选D.
6.D　设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),M(,1,),N(0,),
∴=(-,-,0),=(0,0,1),
=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(0,1,0).=0,
∴MN⊥CC1,故A正确;=0,∴MN⊥AC,故B正确;
易知=2,且M,N BD,∴MN∥BD,故C正确;
设=λ,得无解,∴MN与A1B1不平行,故D错误.
故选D.
7.(-5,0,2)　因为{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,则b=-5i+2k=-5i+0j+2k=(-5,0,2).
8.-8　由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),
所以4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.
9.解 (1)由题可得,=(-2,-1,2).
∵|c|=3,且c∥,则c=(-2x,-x,2x),
∴|c|2=4x2+x2+4x2=9x2=9,解得x=±1,
∴c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).
(2)由题可得,a==(1,1,0),b==(-1,0,2),
若ka+b与ka-2b互相垂直,则(ka+b)·(ka-2b)=0,
∴k2a2-ka·b-2b2=0,
即k2·(12+12+02)-k·(-1+0+0)-2·[(-1)2+02+22]=0,化简得2k2+k-10=0,解得k=-或k=2.
10.解 (1)空间向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1),因为a∥c,所以存在实数k,使得c=ka,
所以解得x=1,则|c|=.
(2)因为b⊥c,
则b·c=-x+0-2=0,解得x=-2,
所以c=(-2,2,-1),
故cos=.
11.C　因为,所以存在λ∈R,使得=λ,
又||=5,而=(z-x,3-y,-4),
则
解得故选C.
12.B　由题可得,=(1,2,1),=(1,-1,0),
则向量不共线.
根据向量基本定理,可得=λ+μ=(λ+μ,2λ-μ,λ),
故C点坐标为(λ+μ,2λ-μ,λ),
经验证,B选项符合条件,此时λ=1,μ=2.故选B.
13.A　因为a=(1,λ,1),b=(2,-1,-2),所以a·b=2-λ-2=-λ,|a|=,|b|==3.
又a与b夹角的余弦值为,a·b=|a||b|cos,
所以-λ=×3×,解得λ2=2.
因为-λ>0,即λ<0,所以λ=-.
故选A.
14.C　由题设,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),
∴=(1,1,-1),则=(λ,λ,-λ),
∴=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1),
=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1).
∵∠APC为钝角,则cos∠APC<0,∴<0,
∴(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2=(λ-1)(3λ-1)<0,解得<λ<1,∴λ的取值范围是(,1).故选C.
15.　因为A(1,1,0),B(0,3,0),C(2,2,2),
所以=(-1,2,0),=(1,1,2),
所以||=,
||==(-1)×1+2×1+0×2=1,
所以向量上的投影向量是||·,
所以向量上的投影向量的坐标是.
16.　因为点Q在直线OP上运动,=(1,1,2),所以设Q(t,t,2t),
则=(1-t,2-t,3-2t)·(2-t,1-t,2-2t)=(1-t)(2-t)+(2-t)(1-t)+(3-2t)(2-2t)=6t2-16t+10,
所以当t=时,取得最小值,此时Q,则,所以||=.
17.解 (1)由题中条件可知,=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
所以cos<>=.
于是sin<>=.
故以AB和AC为邻边的平行四边形的面积为
S=||||sin<>=14×=7.
(2)设a=(x,y,z),由题意得
解得
故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).
18.解 (1)=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2),
c=λ(-2,-1,2)=(-2λ,-λ,2λ).
所以|c|==3|λ|=3,所以λ=±1,
所以c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).
(2)a==(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),
b==(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2),
a·b=1×(-1)+1×0+0×2=-1,
|a|=,|b|=,所以cos==-.
因为∈[0,π],所以=π-arccos.
(3)由(ka+b)⊥(ka-2b)得(ka+b)·(ka-2b)=0,
所以k2a2-2ka·b+ka·b-2b2=0,所以2k2-k·(-1)-2×5=0,
所以2k2+k-10=0,所以k=2或k=-.
19.　建立如图所示空间直角坐标系.
设P(0,0,b),A(a,0,0),B(0,a,0),D(0,-a,0),C(-a,0,0)(a,b均不为0),
则=(0,a,-b),=(-a,0,-b),=(0,-a,-b),=(a,0,-b),
所以=(0,,-),=(-,0,-).
由题意A,E,F,G四点共面,则=x+y+z,其中x+y+z=1.
设=λ=(0,-aλ,-bλ),λ∈(0,1),
所以(a,0,-b)=x(0,,-)+y(-,0,-)+z(0,-aλ,-bλ)=(--aλz,--bλz).
由方程组解得λ=.
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