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2025人教A版数学选择性必修第一册
1.4　空间向量的应用
1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示
A级 必备知识基础练
1.[探究点一][2024四川郫都月考]设点M(1,1,1),A(2,1,-1),O(0,0,0).若,则点B的坐标为(　　)
A.(1,0,-2) B.(3,2,0)
C.(1,0,2) D.(3,-2,0)
2.[探究点二][2024江西樟树校级期末]若P(1,0,-2),Q(3,1,1)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　)
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
3.[探究点三][2024福建泉州期末]已知点A(2,-1,2)在平面α内,n=(3,1,2)是平面α的一个法向量,则下列各点在平面α内的是(　　)
A.(1,-1,1) B.
C. D.
4.[探究点一][2024北京怀柔期末]若点A(1,2,3),点B(4,-1,0),且=2,则点C的坐标为(　　)
A.(3,0,1) B.(2,1,2)
C. D.
5.[探究点三][2024江苏高邮阶段检测]已知直线l的方向向量为m=(x,-1,2),平面α的法向量为n=(1,2,-4),若直线l与平面α垂直,则实数x的值为(　　)
A.- B.-10
C. D.10
6.[探究点二][2024甘肃靖远校级期末]已知点M(-1,-1,-2),N(2,2,1)都在直线l上,直线l的一个方向向量可以为　　　　　.
7.[探究点三]若两个向量=(1,2,3),=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量是　　　　.
8.[探究点三][2024广东越秀校级期末]如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.求平面MD1B的一个法向量.
B级 关键能力提升练
9.[2024江苏兴化月考]已知a=(2,0,2),b=(3,0,0)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β交线的方向向量可以是(　　)
A.(1,0,0) B.(0,1,0)
C.(0,0,1) D.(1,1,1)
10.[2024江苏盱眙校级期末]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是(　　)
A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2)
C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)
11.[2024福建思明校级期末]已知n=(1,-2,2)是平面α的一个法向量,点A(1,4,2),B(3,k,-2)在平面α内,则k=　　　　　.
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱DD1的中点,以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求直线AE与B1D1所成角的余弦值;
(2)求平面ABE的法向量,并判断点F(2,4,2)是否在平面ABE内.
C级 学科素养创新练
13.[2024江苏常州月考]已知A(1,2,0),B(0,4,0),C(2,3,3).
(1)求与y轴正方向的夹角的余弦值;
(2)已知点P(-3,m,n)在直线AC上,求m+n的值.
答案：
1.B　设B(x,y,z),则=(x-2,y-1,z+1).
因为=(1,1,1),
所以(1,1,1)=(x-2,y-1,z+1),即
解得即点B为(3,2,0).故选B.
2.C　由题意得,直线l的一个方向向量为=(3,1,1)-(1,0,-2)=(2,1,3).故选C.
3.B　设P(x,y,z),则=(x-2,y+1,z-2).
由题意知,⊥n,则n·=0,
∴3(x-2)+(y+1)+2(z-2)=0,
化简得3x+y+2z=9.
经验证,当x=1,y=3,z=时,满足条件.故选B.
4.A　根据题意,设C(x,y,z),
则=(x-1,y-2,z-3),=(4-x,-1-y,-z).
因为=2,则解得即点C的坐标为(3,0,1).故选A.
5.A　由题意得m=λn,则(x,-1,2)=λ(1,2,-4),即解得x=λ=-.故选A.
6.(3,3,3)(答案不唯一)　根据题意,点M(-1,-1,-2),N(2,2,1)都在直线l上,且=(3,3,3),
故直线l的一个方向向量可以为(3,3,3).
7.(1,-2,1)　设平面ABC的一个法向量是n=(x,y,z).
因为=(1,2,3),=(3,2,1),
则
两式相减得x-z=0,即x=z.
令x=z=1,则y=-2,
所以平面ABC的一个法向量是n=(1,-2,1).
8.解 因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,CM=2MC1,所以M(0,3,2),B(3,3,0),D1(0,0,3),
则=(3,0,-2),=(0,-3,1).
设n=(x,y,z)是平面MD1B的法向量,
则n⊥,n⊥,所以
取z=3,则x=2,y=1,故n=(2,1,3),
于是n=(2,1,3)是平面MBD1的一个法向量.
9.B　由题可得,平面α,β交线的方向向量分别与向量a,b垂直.
只有a·(0,1,0)=(2,0,2)·(0,1,0)=0,b·(0,1,0)=(3,0,0)·(0,1,0)=0,
故a,b都垂直于向量(0,1,0),即平面α,β交线的方向向量可以是(0,1,0),故选B.
10.B　令AB=2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),=(0,2,1),=(-1,0,2).
设平面AEF的法向量n=(x,y,z),
则取z=-2,则x=-4,y=1,得n=(-4,1,-2),故选B.
11.1　由题可得,=(2,k-4,-4).
因为n为平面α的一个法向量,则n⊥,即n·=2-2(k-4)-8=0,解得k=1.
12.解 (1)由题意可得,A(0,0,0),E(0,2,1),B1(2,0,2),D1(0,2,2),
所以=(0,2,1),=(-2,2,0),
所以cos<>=,
所以直线AE与B1D1所成角的余弦值为.
(2)设平面ABE的法向量为m=(x,y,z),
因为=(0,2,1),=(2,0,0),
所以令y=1,得x=0,z=-2,则m=(0,1,-2),
所以平面ABE的一个法向量为m=(0,1,-2).
因为=(2,4,2),m=(0,1,-2),
所以m·=0+4-4=0,所以m⊥.
因为点A在平面ABE内,
所以点F(2,4,2)在平面ABE内.
13.解 (1)由题得,=(-1,2,0),设O为坐标原点,在y轴正半轴取点D(0,1,0),则=(0,1,0),
∴cos<>=,
∴与y轴正方向的夹角的余弦值为.
(2)由题可得,=(1,1,3),=(-4,m-2,n).
∵点P在直线AC上,
∴存在实数λ,使=λ,即(-4,m-2,n)=λ(1,1,3),
∴解得∴m+n=-14.
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