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2024-2025 学年天津市滨海新区塘沽第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
1.已知复数 满足 1 2i = 2 + i，则| | =( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 5
2.设向量 = (2,0), = (1,1)则( )
→ → →
A. | = | B. ( )/\ !/
C. ⊥ D. 与 π的夹角为3
3.某省为全运会选拔跳水运动员，对某运动员进行测试，在运动员跳完一个动作之后由 7 名裁判打分，统
计结果为平均分 9.5 分，方差为 ，为体现公平，裁判委员会决定去掉一个最高分 10 分，一个最低分 9 分，
则( )
A.平均分变大，方差变大 B.平均分变小，方差变小
C.平均分不变，方差变大 D.平均分不变，方差变小
4.已知水平放置的 的平面直观图 ′ ′ ′是边长为 1 的正三角形，那么 的面积为( )
A. 6 B. 6 C. 32 2 D. 3
5.设 , 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是( )
A.若 ⊥ , /\ !/ , /\ !/ ，则 ⊥ B.若 , , /\ !/ ，则 /\ !/
C.若 ⊥ , ⊥ , /\ !/ ，则 ⊥ D.若 ∩ = , /\ !/ , /\ !/ ，则 //
6.袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人
类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．在杂交水稻试验田中随机抽取了 100 株水稻，
统计每株水稻的稻穗数(单位：颗)得到如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值代
表)，则下列说法错误的是( )
A. = 0.01 B.这 100 株水稻的稻穗数的众数约为 250
C.这 100 株水稻的稻穗数的平均数约为 256 D.这 100 株水稻的稻穗数的中位数约为 252
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7.如图，在 中，∠ = 3， = 2 ， 为 上一点，且满足 = 3 ，若 = 4， = 6，则
的值为( )
A. 8 B. 8 3 C. 4 D. 4 3
8.在 中， = 9， = 12，∠ = 90°，点 在边 上靠近 点的三等分点处，则 sin∠ =( )
A. 513 B.
12 2 13 3 13
13 C. 13 D. 13
9.已知正三棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 21，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. 49π B. 49π3 C. 48π D. 36π
10.山西应县木塔，始建于 1056 年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、
巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算水塔的高度 ，他在塔的附近找到一座建筑物 ，
高为 10 ，在地面上点 处( ， ， 在同一水平面上且三点共线)测得木塔顶部 ，建筑物顶部 的仰角分
别为 60°和 15°，在 处测得木塔顶部 的仰角为 30°，则可估算木塔的高度为( ) ．
A. 10 + 30 2 B. 30 + 10 2 C. 10 + 30 3 D. 30 + 10 3
11.在 中， 0满足 0 =
1
3 ，若对于 边上任一点 ，恒有
≥ 0 0 ，则 为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
12.如图，在三棱柱 1 1 1中，侧棱 1 ⊥底面 ， 1 = 2， = = 2，三棱柱外接球的球心
为 ，点 是侧棱 1上的一动点．下列说法正确的个数是( )
①直线 与直线 1 是异面直线；
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②若∠ = 90°，则 1 与 1一定不垂直；
③若∠ = 60° 2 3，则三棱锥 1 的体积为 9 ；
④三棱柱 1 1 1外接球的表面积的最大值为 24π．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
13 +3 .若复数1 2 ( ∈ , 为虚数单位)是纯虚数，则实数 = ．

14.已知 = ( , 1), = ( 1,2)，且 + 2 = 2 ，则 = ．
15.某校学生高一年级有 880 人，高二年级有 800 人，高三年级有 720 人，现用分层随机抽样方法共选取
名学生进行竞赛答题，已知高三年级选出 9 名选手，则 = ；选出的高三年级 9 名选手分别答对题目
数量为：2，3，7，5，1，6，8，3，8，则这组数据的第 60 百分位数为 ．
16.已知一个圆锥的轴截面为等边三角形，底面积为 1，体积为 1，一个圆柱下底面积为 2，体积为 2，若
9
圆锥和圆柱的侧面积相等，且 1 = 4，则
1
的值是 ．2 2
17.已知菱形 的边长为 2，∠ = 2 ′3，沿 将 折起得到二面角 .当二面角
′
3
为直二面角时， ′ 的长为 ；当三棱锥 ′ 的体积为 2 时，二面角
′ 的度数为 ．
18.在 中，点 是线段 上任意一点(不包含端点)，点 为线段 的中点， = 2 ，若 = +
4 3，则 + 的最小值为 ．
19.如图，透明塑料制成的长方体容器 1 1 1 1内灌进一些水，固定容器一边 于地面上，再将容
器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
(1)盛水的部分始终呈棱柱形．
(2)水面 所在四边形的面积为定值．
(3)当容器倾斜如图②所示时， + 为定值．
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(4)当容器倾斜如图③所示时， 为定值．
(5)当容器倾斜如图③所示时，当 = 时， 取最小值．
其中所有正确命题的序号是 ．
20.已知菱形 的边长为 2，∠ = 120 ，点 、 分别在边 、 上， = 3 ， = ，若 =
1，则 的值为 ；若 为线段 上的动点，则 的最大值为 ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.正方体 1 1 1 1中， ， 分别是 1， 1的中点．
(1)求异面直线 1与 1所成角；
(2)求证： //平面
22.在 中，角 ， cos 1， 的对边分别为 ， ， ，且2 = 2 ．
(1)求角 ；
(2)若 7 = 2 ．
(ⅰ)求 cos 的值；
(ⅱ)若 + = 5 2，求 的面积．
23.如图， 是⊙ 的直径， = 2，点 是⊙ 上的动点， ⊥平面 ，过点 作 ⊥ ，过点 作 ⊥ ，
连接 ．
(1)求证： ⊥ ；
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(2)求证：平面 ⊥平面 ；
(3)当 为弧 的中点时，直线 与平面 所成角为45 ，求四棱锥 的体积．
24.在 中，角 , , 的对边分别为 , , , 2sin sin sin = 3 sin2 cos2 + cos2
(1)求 ；
(2)若 = 2， = 19，且 ， 边上的两条中线 ， 相交于点 ，求∠ 的余弦值；
(3)若 为锐角三角形， = 2，且外接圆圆心为 ，求 和 面积之差的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.6
14.2
15.30
；6
16. 32
17. 6； ；
；60°或 120°
18.8
19.(1)(3)(4)(5)
20.2 8； 3
21.解：(1)连接 1 ， 1 1，
因为 1 1 = 且 1 1// ，所以四边形 1 1 为平行四边形，
所以 1// 1 ，则∠ 1 1或其补角为异面直线 1与 1所成的角，
在正方体中，可得 1 1 = 1 = 1，即 1 1 为等边三角形，
所以∠ 1 1 = 60°，所以异面直线 1与 1所成角为 60°；
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(2)取 1的中点 ，连接 ， ，
因为 ， 分别是 1， 1的中点，
所以 // ， // 1 1，
而 1 1// ，所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
所以 //平面 ， //平面 ，
又 ∩ = ， , 平面 ，
所以平面 //平面 ，
因为 平面 ，
所以 //平面 ．
22. (1) cos 1解： 由2 = 2 ，去分母得 2 cos = 2 ，
利用正弦定理边化角得：2sin cos = 2sin sin ，
由三角形内角和定理得：2sin cos = 2sin( + ) sin ，
用两角和正弦公式得：2sin cos = 2sin cos + 2cos sin sin ，
整理得：2cos sin = sin ，
因为 sin > 0 1，所以 cos = 2，
π
又因为 ∈ 0, π ，所以 = 3
(2)( π 21ⅰ)由 7 = 2 ，结合正弦定理得： 7sin = 2sin = 2sin 3 = 3 sin = 7 ，
= 7由 2 > 1，得 < <
π cos = 1 21 = 2 7，由于在三角形中，所以 2，则 49 7 ，
(ⅱ) 4 7 7又由已知得 2 cos = 2 7 = 2 ，代入 = 2 ，
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可得 2 = 2 2 = 3 ，
3
又因为 + = 5 2，代入可得 2 + = 5 2 = 2 2，
即 = 3 2，
1 1 π
所以三角形面积 = 2 sin = 2 × 3 2 × 2 2 × sin 3 = 3 3．
23.解：(1)由于 为圆 的直径，所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ∩ = , , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ;
(2)由(1)得， ⊥ ， ⊥ ，且 ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又由于 平面 ，那么 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又由于 平面 ，那么平面 ⊥平面 ；
(3)由(2)可知： ⊥平面 ，而直线 与平面 所成角为45°，
那么∠ = 45°，且∠ = ∠ = 90°，
所以∠ = ∠ = ∠ = 45°且 = = 2，
那么 = = 2, = = = 1, = 6,
在 1 1中，2 = 2 ，得 =
2 3
3 ，
所以 = 2 2 = 63 , =
2 2 = 33
1 1 1 3 6 2
那么 = = 3 = 3 × 1 × 2 × 3 × 3 = 18，
1 = 3 × 2 ×
1
2 × 2 × 2 =
2 2 2 5 2
3 ，则 = 3 18 = 18 ．
24.解：(1)由 2sin sin sin = 3 sin2 cos2 + cos2 变形得：
2sin sin sin = 3 sin2 1 + sin2 + 1 sin2 = 3 sin2 + sin2 sin2 ，
再由正弦定理角化边得：2 sin = 3 2 + 2 2 ，
2+ 2 2 sin
再由余弦定理可得 cos = 2 = 3，即 tan = 3，
π
因为 ∈ 0, π ，则 = 3；
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(2) 2 19 3由正弦定理得：sin = sin sin = sinπ sin =3 19
，
π
由于 < ，所以 < = 3，即 cos = 1
3 4
19 = 19，
根据内角和定理可得：sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = 3 × 1 + 419 2 19 ×
3
2 =
5 3
2 19，
2
再由正弦定理可得sin = sin 3 = 5 3 = 5，
19 2 19
2 19 4 39
由余弦定理得： 2 = 2 + 4 2 2 cos = 25 + 4 5 × 19 × 19 = 4，
2 = 2 +
2
2 cos = 4 + 25 2 × 5 × 1 = 214 2 4 2 4，
1 39 39 1 21 21
又由 为三角形的重心，所以有 = 3 × 2 = 6 ， = 3 × 2 = 6 ，
1
又由中位线可知 = 2 = 1，
39 2 21 2 2 2
cos∠ = 6
+ 6 1 3 4 4 91再由余弦定理得：
2× 39× 21
= 91 = 91 = 91 ；
6 6 6
(3) 1设三角形外接圆半径为 ，则有sin = 2 = sin ，
由圆的性质可知∠ = 2 , ∠ = 2 ,
1
由 和 面积之差为 2 = 2 sin2
1 22 sin2
2π 3
sin2 sin 3 2sin cos 2 sin
2 + cos2 1 3 tan2 +1
= 2 = = 2sin 2sin2 2sin2 2sin2 tan 4 tan2
3 1 1 3 3 1 4 1 4 3 3
= 4 2 + tan 4 = 4 2 tan tan 3 tan
+ 3 + 3 4
2
= 3 14 tan
2 3
3 + 12，
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1 2
当tan = 3 tan =
3 3
2 时， 和 面积之差取到最大值12．
3+ 3
此时 tan = tan( + ) = 2 3 = 3 3 > 0，仍满足锐解三角形条件．1 2 × 3
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