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2024-2025 学年天津市崇化中学高一下学期 5 月期中阶段测试
数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.在复平面内，复数 对应的点在第二象限，则复数 i2025对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量 = (4, )， = (1, 1)，若 与 共线，则实数 =( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3.已知两个不同的平面 , 和两条不同的直线 , 满足 , ，则“ , 平行”是“ , 不相交”的
( )
A.充要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为 1，则圆锥的体积为( )
A. 3π8 B.
3π
4 C.
9π D. 9π8 4
5.如图， ′ ′ ′为水平放置的 的直观图，其中 ′ ′ = 2， ′ ′ = ′ ′ = 5，则在原平面图
形 中 的长为( )
A. 5 B. 3 C. 2 3 D. 332
6.如图，在 中， = 1 2
, 是 的中点，若 = + ，则 + =( )
A. 12 B. 1 C.
3
2 D.
3
4
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7 1 = 1.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 ， ， 分别为 1， 1的中点， 在 1 1上，且 1 2 1，
平面 与棱 1 所在直线交于点 ，则 =( )
A. 25 B.
1
3 C.
1
4 D.
1
6
8.若 , 是夹角为60°的两个单位向量， + 与 3 + 2 垂直，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 78 4 8 D.
7
4
9.已知 与 均为单位向量，其夹角为 ，若 + > 1, > 1，则 的取值范围是( )
A. 0, π B. π , π2 3 2 C.
π
2 ,
2π
3 D.
π
3 ,
2π
3
10.中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图 1 角楼的顶部即为十字歇山顶．其
上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体(图 2)，这两个三棱柱有一个公共侧面 ，且四边
形 为正方形．在底面 中，若 = = 2，∠ = 60 ，则该几何体的体积为( )
A. 10 3 B. 10 33 C. 8 3 D.
8 3
3
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.若 2 = 7 24i，则复数 的虚部为
12.已知 = 3, 在 1上的投影向量为 2
，则 的值为 ．
13.一圆台的母线长为 10，两底面的面积分别为 4π和 16π，则此圆台的体积为 ．
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14.如图，直三棱柱 1 1 1的六个顶点都在半径为 1 的半球面上， = ，侧面 1 1是半球底
面圆的内接正方形，则直三棱柱 1 1 1的体积为 ．
15.如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，点 为线段 上的一动点，若 = + ( > 0, >
2 3
0)，则4 2+1的最大值为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 15 分)
已知复数 = i( ∈ )，且 1 + 3i 为纯虚数( 是 的共轭复数)．
(1)求实数 的值；
(2) = +4i设复数 1 1+i ，求 1 ；
(3) +i
2025
复数 2 = 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知 = 4， = 8， 与 的夹角是 120°．
(1)计算 2 ；
(2)当 为何值时， + 2 ⊥ ？
18.(本小题 15 分)
在 ，角 , , 所对的边分别为 , , ，已知 sin : sin : sin = 2: 1: 2， = 2．
( )求 的值；
( )求 cos 的值；
( ) 求 sin 2 6 的值．
19.(本小题 15 分)
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如图：在正方体 1 1 1 1中 = 2， 为 1的中点．
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求证： 1//平面 ；
(3)若 为 1的中点，求证：平面 //平面 1．
20.(本小题 15 分)
在 中，内角 π， ， 所对的边分别为 ， ， ，且有 sin( 3 ) sin cos sin cos = 0．
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 4 3， = 4 3，求 的周长．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.±4
12.92
13.112 63 π
14. 22
15.12
16.解：(1)因为 = i( ∈ )，则 = + i，
所以 1 + 3i = + i 1 + 3i = ( 3) + (3 + 1)i，又 1 + 3i 为纯虚数，
3 = 0
所以 3 + 1 ≠ 0，解得 = 3；
(2) = +4i = 3+4i1 1+i 1+i =
3+4i 1 i 3 3i+4i+4 7+i 1 7
1+i 1 i = 2 = 2 = 2 + 2 i，
1 49 5 2
所以 1 = 4+ 4 = 2 ；
(3)因为i2025 = i506×4+1 = i，
2025
= +i = +i = +i 3+i = 3 + i+3i 1 = 3 1 +3所以 2 3 i 3 i 3+i 10 10 + 10 i，
3 1
+i2025 > 0
因为复数 = 102 在复平面内对应的点在第一象限，则 +3 ,
10 > 0
解得 > 1 13，所以实数 的取值范围为 3 , + ∞ ．
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17.解：(1) = 4， = 8， 与 的夹角是 120°，
则 = 4 × 8 × cos120° = 16，
2 2
即有 2 = 2 = 2 4 + 4 = 16 + 4 × 16 + 4 × 64 = 4 21；
(2)由 + 2 ⊥
2
可得 + 2 = 0，即 2 + (2 1) 2 = 0，
即 16 16(2 1) 128 = 0，解得 = 7.则当 为 7 时， + 2 ⊥ ；、
综上，(1) 2 = 4 21，(2) = 7．
18.解：( )因为 sin : sin : sin = 2: 1: 2，由正弦定理可得 : : = 2: 1: 2，
∵ = 2，∴ = 2 2, = 2；
2 2 2
( ) + 8+2 4 3由余弦定理可得 cos = 2 = 2×2 2× 2 = 4；
( ) ∵ cos = 3 24，∴ sin = 1 cos =
7
4 ，
∴ sin2 = 2sin cos = 2 × 7 × 3 3 74 4 = 8 ，cos2 = 2cos
2 1 = 2 × 9 1 = 116 8，
sin 2 = sin2 cos cos2 sin = 3 7 × 3 1所以 6 6 6 8 2 8 ×
1 = 3 21 12 16 ．
19.解：(1)显然 ⊥平面 1 1 1 2，于是 = 3 × × = 3 × 1 × 2 × 2 × 2 = 3．
(2)
设 ∩ = ，连接 ，
∵在正方体 1 1 1 1中，四边形 是正方形，∴ 是 中点，
∵ 是 1的中点，∴ /\ !/ 1，
∵ 1 平面 , 平面 ,
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∴ 1/\ !/平面 ；
(3) ∵ 为 1的中点， 为 1的中点，
∴ /\ !/ 1 , ∴ = 1 ，
∴四边形 1 为平行四边形，∴ 1 /\ !/ ，
又∵ 平面 , ∵ 1 平面 , ∴ 1 /\ !/平面 ，
由(2)知 1/\ !/平面 , ∵ 1 ∩ 1 = 1, 1 平面 1, 1 平面 1，
∴平面 /\ !/平面 1．
20.解：(1)在 sin( π中，由 3 ) sin cos sin cos = 0 及由正弦定理，
得 sin sin( π3 ) = sin (sin cos + cos sin )，即 sin sin(
π
3 ) = sin sin( + )，
整理得 sin sin( π3 ) = sin sin ，而 sin > 0
π
，则 sin( 3 ) = sin ，
0 < < π π = π = 2π又 ，则 3 ，所以 3．
(2) 2π由余弦定理，得 48 = 2 + 2 2 cos = ( + )23 ，
1 2π
又 = 2 sin 3 = 4 3，则 = 16，( + )
2 = 64，解得 + = 8，
所以 的周长为 8 + 4 3．
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