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1.2 一定是直角三角形吗
第一章 勾股定理
1. 能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直 角三角形，发展合情推理能力.(重点)
2. 能够灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题，培养学生的综合应用能力，发展数学语言表达能力.
(难点)
3. 理解勾股数的定义，探索常用勾股数的规律.
如果∠A +∠B = 90°，那么△ABC 就是一个直角三角形，∠C 为直角.
即有如下的直角三角形的判定方法：
两个角互余的三角形是直角三角形.
思考：如何判定一个三角形是直角三角形？
除了根据角的关系判定，还能根据其他的关系判定吗？
同学们知道古埃及人没有三角板是怎么画直角的吗？
【活动1】：做一做
类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿操作，看看能否得到和古埃及人相同的结果．
（1）让一根绳子的一端与 0 刻度线重合，分别在
3 cm，7 cm，12 cm 处做标记，得到长度分别为
3 cm，4 cm，5 cm 的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是直角三角形．
答：是直角三角形．
探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形
（2）类似（1）的操作，以 2.5 cm，6 cm，6.5 cm 和 4 cm，7.5 cm，8.5 cm 的三段为边分别围成一个三角形，量量看是不是直角三角形．
答：是直角三角形．
探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形
【活动2】：画一画
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a，b，c：
① 5，12，13； ② 7，24，25；
③ 8，15，17； ④ 5，6，7．
问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是
直角三角形吗？
①②③是
④不是
探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形
5
6
7
① 5，12，13； ② 7，24，25；
③ 8，15，17； ④ 5，6，7．
问题2 哪几组数在数量关系上有什么相同点？
① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252，
③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172.
a2 + b2 = c2
探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足
a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判定此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角.
特别说明：
探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形
勾股数
如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.
探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形
常见勾股数：
3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都乘相同倍数 k (k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如将 3，4，5 都乘 2 和 3，得到的 6，8，10 和 9，12，15 也是勾股数.
探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形
例1 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角. 工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形
在△BCD 中，
BD + BC = 5 + 12 = 169 = 13 = CD ，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD 中，
AB + AD = 3 + 4 = 25 = 5 = BD ，
所以△ABD 是直角三角形，
∠A 是直角.
D
A
B
C
4
3
5
13
12
探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形
例2 判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形.
(1) 在△ABC 中，∠A = 20°，∠B = 70°；
(2) 在△ABC 中，AC = 7，AB = 24，BC = 25；
(3) △ABC 的三边长 a，b，c 满足 (a＋b)(a－b) = c .
解析：(1) 已知两角可以求出另外一个角；
解：(1) 在△ABC 中，∵∠A = 20°，∠B = 70°，
∴∠C = 180°－∠A－∠B = 90°，
即△ABC 是直角三角形.
探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形
(2) 在△ABC 中，AC = 7，AB = 24，BC = 25；
(2) ∵ AC + AB = 7 + 24 = 625，
BC = 25 = 625，
∴ AC + AB = BC .
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形.
解析：(2) 使用勾股定理的逆定理验证.
探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形
(3) △ABC 的三边长 a，b，c 满足 (a＋b)(a－b) = c .
解析：(3) 将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证.
(3) ∵ (a＋b)(a－b) = c ，
∴ a －b = c ，即 a = b ＋c .
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形.
方法总结：在运用勾股定理的逆定理时，要特别注意找到最大边，定理描述的最大边的平方等于另外两边的平方和.
探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形
例3 下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 6，8，10 B. 7，8，9
C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于其他两数的平方和即可.
探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形
1. 以下列长度的三条线段为边，能围成一个直角三
角形的是(　C　)
A. 4，3，6 B. 5，6，12
C. 6，8，10 D. 7，20，25
C
2. 若某三角形的三边长为a，b，c，且满足(a＋
b)(a－b)＝c2，则下列说法正确的是(　A　)
A. 边a所对的角是直角
B. 边b所对的角是直角
C. 边c所对的角是直角
D. 此三角形不是直角三角形
A
3. [教材变式]如图，在正方形组成的网格图中标有
AB，CD，EF，GH的四条线段，其中能构成一个
直角三角形三边的三条线段是(　B　)
A. CD，EF，GH
B. AB，EF，GH
C. AB，CD，EF
D. GH，AB，CD
B
4. 给出下列几组数据：①3，4，5；②1，3，4；③
4，4，6；④6，8，10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；
⑦7，25，24.以每组数据为三边长，可构成三角形
的有 ，可构成直角三角形的有
.(填写序号)
①③④⑥⑦　
①
④⑥⑦　
5. 如图，已知△ABC的三条边AC＝20cm，
BC＝15cm，AB＝25cm，过点C作CD⊥AB，
则CD＝ cm.
12　
解：在△ABC中，
∵AB⊥BC，
∴根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.
在△ACD中，
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是以AD为斜边的直角三角形，∠ACD＝90°.
∴AC⊥CD.
∵AC2＋CD2＝5＋4＝9，AD2＝9，
6. 如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，
CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC. 试说明：AC⊥CD.
一定是直角三角形吗
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形
勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c

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