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等腰三角形的轴对称性同步练习
1．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 ．
2．等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为 ；若等腰三角形的周长为10，一边长为4，那么另外两边长分别为 ．
3．在△ABC中，AB＝AC．
(1)如果∠B＝70°，那么∠C＝ ，∠A＝
(2)如果∠A＝70°，那么∠B＝ ，∠C＝ ．
(3)如果有一个角等于50°，那么另外两个角分别等于 ．
4．下列能组成等腰三角形的一组线段是( )
A．2 cm，2 cm，4 cm 　　　　　　　　B．3 cm，8 cm，3 cm
C．3 cm，4 cm，6 cm 　　　　　　　　D．5 cm，4 cm，4 cm
5.（1）已知等腰的周长是，且腰长比底边长的2倍少4，求等腰的三边的长；
（2）已知，，是的三个内角，且，，求三个内角的度数.
6.如图，在等边三角形中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
7.如图，．则是的（ ）
A．4倍 B．3倍 C．2倍 D．1倍
8.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（　　）A．15° B．20° C．25° D．30°
9.如图，等腰中，分别为上的点，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
已知：如图所示，点在的延长线上，，则
的形状为
11.如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F．
（1）求证：；
（2）若，求的周长
12.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
13.如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，．（1）求证： ．
（2）若，猜想的形状并证明．
14.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边上的中点．求证：△DEM是等腰三角形．
15.如图，△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BE=DC，BD=FC．
(1) 求证：DE=DF；
当∠A的度数为多少时，△DEF是等边三角形，并说明理由．
16.如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
17.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形底角的度数为（　　）
A． B．或 C． D．或
18.已知：在 △ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC．求证：△AED是等边三角形．
19.如图，在中，，，，有一动点自向以的速度运动，动点自向以的速度运动，若，同时分别从，出发．
（1）经过___________秒，为等边三角形；
（2）经过___________秒，为直角三角形．
20.如图，在中，，，平分交于点D，点E是上一个动点．若是直角三角形，则的度数可以是_____．
参考答案
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 ．
解：1条
等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为 ；若等腰三角形的周长为10，一边长为4，那么另外两边长分别为 ．
解：15 4和2 或3和3
3．在△ABC中，AB＝AC．
(1)如果∠B＝70°，那么∠C＝ ，∠A＝
(2)如果∠A＝70°，那么∠B＝ ，∠C＝ ．
(3)如果有一个角等于50°，那么另外两个角分别等于 ．
解：（1）70° 40° （2）55° 55° （3）50°和80° 或 65°和65°
4．下列能组成等腰三角形的一组线段是( )
A．2 cm，2 cm，4 cm 　　　　　　　　B．3 cm，8 cm，3 cm
C．3 cm，4 cm，6 cm 　　　　　　　　D．5 cm，4 cm，4 cm
解：D
5.（1）已知等腰的周长是，且腰长比底边长的2倍少4，求等腰的三边的长；
（2）已知，，是的三个内角，且，，求三个内角的度数.
解：（1）设等腰的腰长为x，底边长为y，根据题意得，解得，
∴等腰的三边的长为；解：（2）∵，，∴，，∵，∴，解得，∴，，∴的三个内角的度数为，，
6.如图，在等边三角形中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
【详解】解：是等边三角，
，，，，，
平分交于点，，，
7.如图，．则是的（ ）
A．4倍 B．3倍 C．2倍 D．1倍
【详解】解：，是等边三角形，和是等腰三角形，，
，是的4倍，
8.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（　　）A．15° B．20° C．25° D．30°
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠ACB＝∠CGD＋∠CDG，
∴∠CGD＋∠CDG＝60°，∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°，∵∠CDG＝∠DFE＋∠E，
∴∠DFE＋∠E＝30°，∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°，
9．如图，等腰中，分别为上的点，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，在上取点D，使，连接．设，则．
，
．
又，，
，，，为等边三角形，
，，，，
．
10.已知：如图所示，点在的延长线上，，则的形状为
解：∵点在的延长线上，，
∴，∵，
∴△ABC的形状为等边三角形．
11.如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F．
（1）求证：；
（2）若，求的周长．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，∴，∵，∴，∴．∵∴；
（2）解：∵，由（1）知，∴．
∵为等边三角形，是中线，∴，∴的周长
12.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
13.如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，．
（1）求证： ．
（2）若，猜想的形状并证明．
【详解】（1）∵，∴，
∵，∴，∵，，
∴，
∴．
（2）∵，∴，∴，∴，
∴是等边三角形．
14.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边上的中点．求证：△DEM是等腰三角形．
证明：连接BM，∠B＝90°，AB＝BC，M是AC边上的中点，
BM是等腰直角ABC斜边上中线，即AM=BM,∠A=∠ABM,∠C=∠CBM=45°,BD＝CEAB-BD=BC-CE即AD=BEAMDBME(SAS)
MD=ME△DEM是等腰三角形
15.如图，△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BE=DC，BD=FC．
(1) 求证：DE=DF；
证明：（1）AB=AC∠B=∠CBE=DC，BD=FC
△EBD△DCFDE=DF
当∠A的度数为多少时，△DEF是等边三角形，并说明理由．
（2）解：当∠A=60°时，△DEF是等边三角形AB=AC，△ABC为
等边三角形，由（1）问△EBD△DCF，∠BDE=∠CFD,∠BED=∠CDF即
∠CDF+∠BDE=180°-∠B=120°而∠EDF+∠CDF+∠BDE=180°,∠EDF=60°，
DE=DF△DEF是等边三角形；
16.如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示：
在中，，
∴，
∵
＝，
∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，此时，，∴是等边三角形，∴，
在中，，∴，∴，∴，
∴，∴，∴的最小值为12，
17.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形底角的度数为（　　）
A． B．或 C． D．或
【详解】解：在等腰中，为腰上的高，，
当在内部时，如图1，
∵为高，
∴，
∴，
∵，
∴；
当在外部时，如图2，
∵为高，∴，∴，∵，∴，
而，∴，综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或．
18.已知：在 △ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC．求证：△AED是等边三角形．
证明：∠BAC=120°，AD⊥AB，AE⊥AC，∠EAC=∠BAD=90°，
∠BAE=∠DAC=30°，AB=AC∠B=∠C△ABE△ACD(ASA)
AE=AD即△AED是等腰三角形∠BAE+∠EAD=90°，
∠EAD=60°△AED是等边三角形；
19.如图，在中，，，，有一动点自向以的速度运动，动点自向以的速度运动，若，同时分别从，出发．
（1）经过___________秒，为等边三角形；
（2）经过___________秒，为直角三角形．
详解】解：点自运动至所需时间为，点自运动至所需时间为，（1）设经过秒，为等边三角形，由题意得：，
，，要使为等边三角形，则，
，解得，符合题意，故答案为：10．
（2）设经过秒，为直角三角形，由题意得：，
，①当时，为直角三角形，
，，即，解得，符合题意；②当时，为直角三角形，，，即，
解得，符合题意；
20.如图，在中，，，平分交于点D，点E是上一个动点．若是直角三角形，则的度数可以是_____．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，∴，当时，
，则：；当时，．故的度数是或．故答案为：或．

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