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(共29张PPT)
1.3 勾股定理的应用
第一章 勾股定理
1. 能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，发展抽象能力，培养用数学眼光观察世界的习惯.
2. 灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题，培养学生的数学语言表达能力、提高学生分析问题和解决问题能力.(重点)
3. 能熟练运用勾股定理解决最短路径问题.(难点)
回顾前面学过的内容，回答问题：
1.勾股定理的内容是什么？
直角三角形 → a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2 → 直角三角形
2.勾股定理的逆定理是什么？
A
C
B
a
b
c
装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB.
（1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？
A
B
C
D
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
用卷尺分别测量 AD，DB，AB 的长，
若 AD2 + AB2＝DB2，
则 ∠A＝90°，即AD⊥AB.
（2）李叔叔测得边 AD 长 30 cm，边 AB 长 40 cm，点 B，D 之间的距离是 50 cm. 边 AD 垂直于边 AB 吗
A
B
C
D
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
∵ AD2 + AB2＝302 + 402＝2500，
DB2＝502＝2500，
∴∠A＝90°，即AD⊥AB.
所以边 AD 垂直于边 AB
A
B
C
D
能检验.
在 AD 上从 A 点量取 12 cm 得点 E，在 AB 上从 A 点量取 16 cm 得点 F.
因为 12 + 16 = 20 ，
用刻度尺测 EF 长度，若 EF = 20 cm，
根据勾股定理逆定理，AD⊥AB；
若 EF≠20 cm，则 AD 不垂直 AB.
(3) 如果李叔叔随身只带了一个长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗
E
F
【活动1】：动手折一折
用一张直角三角形纸片折叠，你能发现折叠前后两部分图形有什么关系吗？说明理由.
如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC = 5 cm，BC = 10 cm，将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，你能求出 CD 的长吗？
A
C
B
E
D
分析：(1) 本题已知什么？
求的是什么？
5
10
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
A
C
B
E
D
（3）观察 CD 在哪一个三角形中？你能表示出这个三角形的每一条边吗？
（2）本题将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，可得到什么？依据是什么？
AD = BD；依据：折叠的性质.
5
CD 在Rt△ACD 中；
x
10-x
10-x
可设 CD = x，
则 AD = 10 - x.
10
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
A
C
B
E
D
5
x
10-x
10-x
10
解：设 CD = x cm，则 DB = (10 - x) cm，
由题意，根据折叠的性质，
可得 AD = BD = 10 - x， 且 AC = 5.
在Rt△ACD 中，
由勾股定理得，AD = AC + CD ，
如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC = 5 cm，
BC = 10 cm，将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，你能求出 CD 的长吗？
(10 - x) = 5 + x ，
解得 x = .
则 CD = .
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
设 DF = x cm，
则 CF = EF = (8 - x) cm，
在Rt△DEF 中，DE2 + DF2 = EF2，
则 42 + x2 = (8 - x)2，解得 x = 3.
∴DF 的长为 3 cm.
如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F. 你能求出 DF 的长吗
解：∵点 E 是边 AD 的中点，∴ DE = AD = 4 cm.
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
问题2：试一试，你能利用以下折叠图形，借助勾股定理，设计一个有关折叠的计算问题么？
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
【练一练】1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为（ ）
A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm
B
要点归纳：
利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤：
①标已知，设未知；
②利用折叠，找相等；
③利用勾股定理，列方程；
④解方程，得解.
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
【活动2】：小组合作，设计方案，测量学校旗杆的高度．借助勾股定理，请你利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算旗杆的高度. 以下是小丽设计的测量方案：
项目背景
项目方案
测量实物图：
如图，小丽制订了如下测量方案，并进行实地测量.
测量示意图：
测量过程：
步骤一：如图2，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N. 将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE．用皮尺测出NE的长度．
0.5m
7m
1.5m
项目方案
测量示意图：
步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离.
各项数据
测量项目
绳子垂到地面多出部分的长度
小丽直立位置距旗杆底端的水平距离
小丽身高
数据
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
请根据表格所给信息，完成下列问题．
问题：（1）直接写出线段 MN 与 AM 之间的数量关系.
M
N
E
M
N
C
A
B
图2
图3
AM = MN + 0.5
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
(2) 根据小丽的测量方案和数据，求出学校旗杆 MN 的高.
解：过 A 作 AC⊥MN 于 C，
则 AB = CN，AC = BN，
根据题意得，AB = CN = 1.5 m.
AC = BN = 7 m，AM = MN + 0.5，
∴ CM = MN - CN = MN - 1.5，
∵ AM 2 = AC 2 + CM 2，
∴ (MN + 0.5)2 = 72 + (MN - 1.5)2，
解得 MN = 12.75，
答：学校旗杆 MN 的高 12.75 米.
M
N
C
A
B
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
数学思想：
实际问题
数学问题
转化
建模
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐. 问水深、葭长各几何？(选自《九章算术》)
题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边
长为1丈的正方形. 在水池正中央有一根新生的芦苇，
它高出水面1尺.
如果把这根芦苇垂直拉向岸边，
那么它的顶端恰好到达岸边的水面.
这个水池的深度和这根芦苇的
长度各是多少
B
O
C
A
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
解：设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺.
由于芦苇位于水池中央，所以 AC为 5 尺.
在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得
AC2 + OA2 = OC2，
即 52 + x2 = (x + 1)2.
解得 x = 12.
12 + 1 = 13.
因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺.
B
O
C
A
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
例2 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 出发，沿北偏东 53° 方向走了 400 m 到达点 B，然后再沿北偏西 37° 方向走了 300 m 到达目的地 C. 求 A，C 两点之间的距离.
解析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解.
北
C
B
E
A
D
东
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
解：如图，过点 B 作 BE∥AD.
∴∠DAB = ∠ABE = 53°.
∵ 37° + ∠CBA + ∠ABE = 180°，
∴∠CBA = 90°.
∴AC = BC + AB = 300 + 400 = 500 .
∴AC = 500 m，
即 A、C 两点间的距离为 500 m.
方法总结：此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型（直角三角形）中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题.
北
C
B
E
A
D
东
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
1. 强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒
下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的
高度是(　D　)
A. 12m B. 13m
C. 17m D. 18m
D
第1题图
2. 如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒
斜放入一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻
璃棒被水淹没部分长10cm，则这只烧杯的底面直径
是(　D　)
A. 9cm B. 8cm
C. 7cm D. 6cm
第2题图
D
3. 如图，阴影部分是一个正方形，它的面积是
cm2.
64　
4. 如图，要在两幢楼房的房顶A，B间拉一根光缆
线(按线段计算)，
则至少需要光缆线 m.
10　
5. 如图，这是可近似看作一个等腰三角形ABC的衣
架，其中腰长为26cm，底边上的高为10cm，则底
边BC的长为 cm.
48　
6. [方程思想]图①中有一首古算诗，根据诗中的描
述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图
如图②所示，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，
BC＝0.5尺，B'C＝2尺.求AC的长.
解：设AC的长为x尺，
则AB'＝AB＝(x＋0.5)尺.
在Rt△AB'C中，由勾股定理得AC2＋B'C2＝AB'2，
即x2＋22＝(x＋0.5)2，解得x＝3.75.
故AC的长为3.75尺.
勾股定理的应用
立体图形中两点之间的最短路程问题
勾股定理的实际应用问题

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