资源简介

(共20张PPT)
小结与复习
第一章 勾股定理
勾股定理
勾股定理
的逆定理
直角三角形
验证方法
已知两边
求第三边
判定直角三角形
判定勾股数
判定垂直
一、勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c，
那么
a2 + b2 = c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
在直角三角形中才可以运用！
已知 Rt△ABC 的两直角边长分别是 3 和 4，则它的斜边长是 .
5
勾股定理的应用条件：
二、勾股定理的逆定理与勾股数
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 +b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c，称为勾股数.
勾股数
三、勾股定理与勾股定理的逆定理的比较
以“一个三角形是直角三角形”为条件，得出三角形三边有 a2 + b2 = c2 关系式成立.
以一个三角形的三边 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2 为条件，得出这个三角形是直角三角形的结论
都与三角形三边有关；
都与直角三角形有关
勾股定理
勾股定理的逆定理
区
别
联
系
考点一 勾股定理
例1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°.
① 若 a = 5，b = 12，则 c =______；
② 若 a = 15，c = 25，则 b =______.
13
20
1. 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4 ，则第三边长的平方是（　　）
A. 25 B. 14 C. 7 D. 7 或 25
D
2. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为______.
考点一 勾股定理
【针对训练】
3. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B =∠D = 90°，分别以 AB，BC，CD，DA 为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用 S甲，S乙，S丙，S丁 来表示它们的面积，那么下列结论正确的是 ( )
A. S甲 = S丁
B. S乙 = S丙
C. S甲 - S乙 = S丁 - S丙
D. S甲 + S乙 = S丙 + S丁
D
【针对训练】
考点一 勾股定理
考点二 勾股定理的应用
例2 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、 “海天”号轮船同时从港口 P 出发， “远航”号以每小时 24 nmile 的速度沿北偏东 35° 向航行，“海天”号以每小时 10 nmile 的速度沿北偏西 55° 方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于 Q，R 处，则此时“远航”号与
“海天”号的距离 RQ 为 nmile.
102 + 242 = 262
26
4. B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 60° 方向以每小时 8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 n mile 的速度前进，2 h 后，甲船
到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 n mile，
你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
北
东
B
M
P
60°
【针对训练】
考点二 勾股定理的应用
解：甲船航行的距离为 BM = 16 n mile，
乙船航行的距离为 BP = 30 n mile.
因为 162+302 = 1156，342 = 1156，
所以 BM2 + BP2 = MP2.
所以△MBP 为直角三角形.
所以∠MBP = 90°.
所以 乙船是沿着南偏东 30° 方向航行的.
北
东
B
M
P
60°
考点二 勾股定理的应用
5. 如图，某人欲横渡一条河， 由于水流的影响，实际上岸地点 A 处偏离欲到达地点 B 处 40 m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多 10 m 求该河的宽度 BC 的长.
解：设 BC 为 x m，则 AC 为 (x + 10) m.
在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，由勾股定理得
AC2 + AB2 = BC2，即 (x + 10)2 = 402 + x2.
解得 x = 75，即 BC = 75 m.
答：该河的宽度 BC 为 75 m.
【针对训练】
考点二 勾股定理的应用
6. 小明家住在 18 层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿.
糟糕，太长了，放不进去
如果电梯的长、宽、高分别是 1.5 米、1.5 米、2.2 米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？
【针对训练】
考点二 勾股定理的应用
1.5 米
1.5 米
2.2 米
1.5 米
1.5米
x
x
2.2米
A
B
C
x2 = 1.52 + 1.52 = 4.5
AB2 = 2.22 + x2 = 9.34
AB ≈ 3.1 米
能放入电梯内的竹竿的最大长度大约 3.1 米，因为竹竿放不进去，所以小明买的竹竿至少是 3.1 米.
考点二 勾股定理的应用
考点三 勾股数（树）
例3 如图1，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形. 图 2 由图 1 的两个小正方形向外分别作直角边之比为 4 : 3 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图 6 中
所有正方形的面积和为 ( )
A.200 B.175
C.150 D.125
50
75
32
42
52
32
42
32
42
100
B
7. 观察下列等式.
第 1 个等式：(22 - 1)2 + 42 = 52；
第 2 个等式：(32 - 1)2 + 62 = 102；
第 3 个等式：(42 - 1)2 + 82 = 172；
第 4 个等式：(52 - 1)2 + 102 = 262.
(1) 请用含 n ( n 为正整数，且 n > 1) 的等式表示上面的规律，并证明其正确性.
解：(n2 - 1)2 + (2n)2 = (n2 + 1)2
(n2 - 1)2 + (2n)2 = n4 - 2n2 + 1 + 4n2 = n4 + 2n2 + 1 = (n2 + 1)2.
【针对训练】
考点三 勾股数（树）
(2) 若三个整数能构成直角三角形的三边长，则称这
三个数为勾股数 (例如，3，4，5). 现有一个直角边为 35 的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用 (1) 中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由.
(2) 它的三边长能为勾股数. 理由如下：
35 = 36 - 1 = 62 - 1，
把 n = 6 代入，得 (62 - 1) + (2×6)2 = (6+1)2，
即 352 + 122 = 372，
它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37.
考点三 勾股数（树）
考点四 勾股定理的逆定理
例4 下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是直角三角形的是（　　）
A. a = 1.5，b = 2，c = 3 B. a = 7，b = 24，c = 25
C. a = 6，b = 8，c = 10 D. a = 3，b = 4，c = 5
A
8. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想. 下列选项中的图形， 不能证明勾股定理得是 ( )
C
【针对训练】
考点四 勾股定理的逆定理
勾股定理　
直角三角形边
长的数量关系　　
勾股定理
的逆定理　　
直角三角
形的判定　　
互逆定理

展开更多......

收起↑