资源简介

(共32张PPT)
问题解决策略：反思
第一章 勾股定理
1. 理解将立体图形展开为平面图形的原理，根据立体图形的特征，合理选择展开方式，构建正确的平面图形模型.(重、难点)
2. 掌握将立体图形展开成平面图形，利用“两点之间，线段最短”原理求解最短路径问题；(重点)
3. 经历从特殊到一般的探究过程，学会运用数学建模思想解决问题.
问题情境： 有一只蚂蚁要正方体形状的从桌子脚的 P 点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到 C 点，怎样爬行路线最短？
例1 如图，有一个正方体形状的桌子，正方形 ABCD 是它朝上的桌面，点 A，B，C，D 是正方形的四个顶点，桌高是 h cm.
(1) 一只蚂蚁要从正方形桌面 ABCD 的 A 点爬行到 C 点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由： ；
探究点一：正方体中的最短路径问题
A
B
C
D
图①
两点之间线段最短
探究点一：正方体中的最短路径问题
(2) 另有一只蚂蚁要从桌子脚的 P 点(图中正方体的一个顶点)沿正方体桌子的外表面爬行到 C 点，怎样爬行路线最短？请画出最短路线示意图.(画出一种即可)
(2) 如图，PC 即为所求最短路线.
( 答案不唯一)
A
B
C
P
归纳总结： 对于正方体的最短路径问题，先将正方体展开，找到两点在展开图中的位置，再利自用勾股定理计算两点间的线段长度.
B
牛奶盒
A
问题：看到小蚂蚁终于找到食物的兴奋劲儿，小明灵光乍现，又拿出了长方体形状的牛奶盒，把小蚂蚁放在了点 A 处，并在点 B 处滴了一滴蜂蜜，你能帮小明求出蚂蚁找到蜂蜜的最短路线么？
6 cm
8 cm
10 cm
探究点二：长方体的最短路径问题
B
B1
8
A
B2
6
10
B3
AB12 = 102 + (6 + 8)2 = 296，
AB22 = 82 + (10 + 6)2 = 320，
AB32 = 62 + (10 + 8)2 = 360，
解：由题意知有三种展开方法，
如图.
∴ AB1＜AB2＜AB3.
∴ 小蚂蚁找到蜂蜜的最短路线为 AB1.
8
6
6
10
8
由勾股定理得
探究点二：长方体的最短路径问题
探究点二：长方体的最短路径问题
例2 如图，正方体的梭长为 3 cm，已知点 B 与点 C 间的距离为 1 cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点 A 爬到点 C，需要爬行的最短距离为 .
解析：如图①，AC = (3 + 1) + 3 = 5 (cm).
如图②，AC = (3 + 3) + 1 = 37 (cm).
∵ 5 ＜37 ，∴需要爬行的最短距离为 5 cm.
A
B
C
图①
A
B
C
图②
5 cm
归纳总结： 长方体最短路径问题的解题关键：要全面考虑长方体的不同展开方式，通过计算比较得出最短路径.
（1）在这个问题中，已知条件有哪些？
你认为已知条件足够解决这个问题吗？
问题 如图，一个圆柱的高为 12 cm，底面圆的周长为 18 cm. 在圆柱下底面的点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点 A 相对的点 B 处的食物，
那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少
理解问题
已知圆柱高 12 cm、底面圆周长 18 cm及 A、B 点位置.
条件够，可确定展开图长和宽求最短路程.
A
B
探究点三：圆柱体中的最短路径问题
（2）沿侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短？请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下.
A
B
路线有无数条，如螺旋上升.
将侧面展开，根据 “两点之间线段最短” ，连接展开图 A、B 的线段最短.
探究点三：圆柱体中的最短路径问题
请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下.
探究点三：圆柱体中的最短路径问题
拟定计划
（1）以前研究过最短路线问题吗？这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同？
以前研究平面最短路线，依据 “两点之间线段最短”.
而本题是在研究圆柱曲面.
（2）如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题？各个点的位置如何确定？
需将圆柱曲面展开成平面求解.
探究点三：圆柱体中的最短路径问题
把圆柱侧面沿母线剪开展开成长方形.
A 在一条长边，B 在相对长边，水平距离是底面圆周长一半，垂直距离是圆柱高.
探究点三：圆柱体中的最短路径问题
实施计划
(1) 如图，将圆柱侧面剪开，确定展开图的形状，
以及与圆柱的对应关系.
(2) 在图中标出点 B 的位置.
(3) 在图中确定 A，B 两点
之间最短的路线，
并计算它的长度.
12
9
15
18
探究点三：圆柱体中的最短路径问题
探究点三：圆柱体中的最短路径问题
【练一练】一只蚂蚁从 A 点沿圆柱侧面爬到顶面相对的 B点处，如果圆柱高为 7 cm，底面半径为 cm，
那么蚂蚁爬过的最短路径 AB 的长为 .
25 cm
解析：如下图展示，连接 AB，
因为圆柱的底面半径为 cm，
，
在Rt△ACB 中，AB = AC + CB = 576 + 49 = 625，AB = 25cm，即蚂蚁爬行的最短路径长为 25 cm.
A
B
C
归纳总结： 将圆柱侧面展开成长方形，利用勾股定理求展开图中两点间的线段长度.
例3 有一个圆柱形油罐，要从 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)
A
B
A
B
A'
B'
解：油罐的展开图如图，则 AB' 为梯子的最短长度.
BB' ≈ 2×3×2 = 12，
由勾股定理得 AB′2 = BB′2 + AB2 = 122 + 52 = 169，
所以 AB′ = 13，即梯子最短约需 13 m.
探究点三：圆柱体中的最短路径问题
【练一练】1. 当小蚂蚁爬到距离上底 3 cm 的点 E 时，小明同学拿饮料瓶的手一抖，一滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁滑到了距离下底 3 cm 的点 F 处，小蚂蚁到达点 F 处的最短路程是多少？（π取3）
E
F
E
F
探究点三：圆柱体中的最短路径问题
E
F
E
F
解：如图，可知△ECF 为直角三角形，
由勾股定理，得
EF2 = EC2 + CF2 = 82 + (12 - 3 - 3)2 = 100，
∴ EF = 10 (cm).
探究点三：圆柱体中的最短路径问题
（1）先将立体图形的表面展开；（立体→平面）
（2）再作两点之间的连线；（构造直角三角形）
（3）运用勾股定理求出两点之间的距离.
立体图形
平面图形
直角三角形模型
展开
勾股定理
立体图形上的最短路程:
探究点三：圆柱体中的最短路径问题
1.如图，一只蚂蚁沿棱长为 m 的正方体侧面从顶点 C爬到顶点 B，现将正方体侧面沿 AC 剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A
2. 如图，长方体的长、宽、高分别是 12，8，30，在AB 中点 C 处有一滴蜜糖，一只小虫从 E 处爬到 C 处去吃，有无数种走法，则它爬行的最短路程是（ ）
B
A. 15 B. 25 C. 35 D. 45
3. 如图，圆柱的底面周长是 14 cm，圆柱高为 24 cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点 A 爬到与之相对的上底面点 B，那么它爬行的最短路程为（ ）
A.14 cm
B.15 cm
C.24 cm
D.25 cm
D
4. 如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点 A到顶点 B 沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高 AB 为 7 cm，底面边长为 4 cm，则这圈金属丝的长度至少为( )
A
A. 25 cm B. 31 cm C. 24 cm D. 7 cm
5. 如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 24 dm，3 dm，3 dm，点 M 和点 N 是这个台阶上两个相对的端点，M 点有一只蚂蚁，想到 N 点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 N 的最短路程为 dm.
解析：如图所示，因为它的每一级的长、宽、高、分别为 24 dm，3 dm，
3 dm，所以 MN = 24 +(3×6) = 30 (dm).即蚂蚁沿着台阶面爬行到点 N 的最短路程是30 dm.
30
6. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的 U 型池的示意图，该 U 型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 m 的半圆，其边缘 AB = CD = 20 m，点 E 在 CD 上，CE = 5 m，一滑板爱好者从 A 点滑到 E 点，求他滑行的最短距离.
解：如图是其侧面展开图：
AB = CD = 20 (m)，DE = CD－CE = 15 (m)，在Rt△ADE 中，20 + 15 = AE ，
解得 AE = 25（负值舍去），
故他滑行的最短距离约为 25 (m).
A
B
C
B
E
问题解决策略
展开图中的最短路径问题（转化）
常见背景：正方体长方体、圆柱
原理：线段基本事实＋勾股定理
1. 圆柱
2. 棱柱（以长方体为例）
3. 台阶问题
探究点：立体图形上的最短路程

展开更多......

收起↑