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1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
第一章 勾股定理
1. 通过古代数学文化的简述，了解我国古代在勾股定理研究方面的成就.
2. 掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题，培养运算能力和数学的语言表达能力，欣赏数学语言的优美与简洁. (重点)
3.勾股定理的探索与推理.(难点)
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形. 各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧.
你能说说其中的奥秘吗
《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”.
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”.
按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五.
你知道为什么吗？
探究点一： 勾股定理的初步认识
我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
观察右边地面的图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？
A
B
C
A
B
C
问题1 图中正方形 A、B、C 的面积之间有何关系吗？
探究点一： 勾股定理的初步认识
以等腰直角三角形两直角边为边的小正方形的面积的和，等于以斜边为边的正方形的面积.
问题2　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位 1 )：
这两幅图中 A，B 的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
探究点一： 勾股定理的初步认识
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
探究点一： 勾股定理的初步认识
根据前面求出的 C 的面积直接填出下表：
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图
右图
4
13
25
9
16
9
探究点一： 勾股定理的初步认识
问题3 正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
探究点一： 勾股定理的初步认识
几何语言描述：
在Rt△ABC 中，∠C = 90°，
∴ a2 + b2 = c2
a
b
c
公式变形：
（a、b、c 为正数）
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2.
探究点一： 勾股定理的初步认识
如图，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线
杆底部 6 m，那么需要多长的钢索？
解：由勾股定理可得
AB2 = AC2 + BC2 = 62 + 82 = 100，
即 AB = 10.
A
C
B
答：需要 10 m 的钢索.
探究点二： 勾股定理的简单应用
解：(1) 正方形的面积为 325.
(2) x = 8.
例1 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度.
(1)
(2)
探究点二： 勾股定理的简单应用
例2 如图，长 13 m 的梯子 AC 靠在墙上，梯子的底部 C 离墙角 B 的距离 BC 为 5 m (AB⊥BC)，求梯子的顶端 A 离地面 BC 的距离 AB．
A
B
C
5m
13m
解：在Rt△ABC 中，
由勾股定理得，AB2 + BC2 = AC2，
所以 AB2 + 52 = 132，
解得 AB = 12（m）．
答：梯子的顶端 A 离地面 BC 的距离AB 为 12 m.
探究点二： 勾股定理的简单应用
练一练 1.已知∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC = 3，BC = 4.
求 CD 的长.
解：由勾股定理可得
AB2 = AC2 + BC2 = 25，
即 AB = 5.
根据三角形面积公式，
得 AC·BC = AB·CD.
∴ CD = .
A
D
B
C
3
4
探究点二： 勾股定理的简单应用
由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．
【方法总结】
探究点二： 勾股定理的简单应用
1. 在△ABC中，∠B＝90°.若BC＝9，AB＝40，
则AC的长为(　D　)
A. 50 B. 43
C. 42 D. 41
D
2. 如图，已知Rt△ABC的三边分别为a，b，c，
∠C＝90°.
(1)若a＝8，b＝6，则c＝ ；
(2)若c＝13，b＝5，则a＝ .
10　
12　
3. [教材变式]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，
分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分
别记为S1，S2，S3.若S2＝4，S3＝6，则S1＝ .
第3题图
2　
4. 如图，某农户准备建一个蔬菜大棚，棚宽6m，
高8m，长30m，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的
厚度，则阳光透过的最大面积为 m2.
第4题图
300　
5. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，
CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm.
(1)求BC的长；
解：(1)在Rt△BDC中，
BC2＝BD2＋CD2＝32＋42＝25，
∴BC＝5cm.
(2)[方程思想]求AD的长.
解：(2)设AD＝xcm，
则AB＝AC＝(x＋3)cm.
∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°.
在Rt△ACD中，根据勾股定理得x2＋42＝(x＋3)2，
解得x＝ ，
即AD的长为 cm.
解：(2)设AD＝xcm，
则AB＝AC＝(x＋3)cm.
∵CD⊥AB，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得x2＋42＝(x＋3)2，
解得x＝ ，
即AD的长为 cm.
∴∠CDA＝90°.
认识勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2
利用勾股定理进行计算

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