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2024-2025 学年四川省射洪中学校高一下学期 5 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 3 i，则 的共轭复数为( )
A. 3 + i B. 3 i C. 3 i D. 3 + i
2.一个球的表面积是 16π，则它的体积是( )
A. 64π B. 64π3 C. 32π D.
32π
3
3.设 , 为两个非零向量，则“ = 2025 ”是“ // ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4 1 i.已知复数 = 1+i，则复数 的虚部为( )
A. 1 B. 2 C. 0 D. 1
5.已知 为单位向量， = 6 3π，向量 ， 的夹角为 4，则 在 上的投影向量是( )
A. 2 3 B. 0 C. 3 2 D. 2 3
6.把函数 ( ) 1 π图象上所有点的横坐标缩短为原来的2，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得
π
到函数 = sin 4 的图象，则 ( ) =( )
A. sin 7π π2 12 B. sin 2+ 12 C. cos 2
7π
12 D. cos 2
5π
12
7.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的体积为( )
A. 2 3π B. 3 3π C. 6 3π D. 9 3π
8 π π 1.已知 ∈ 0, 2 ， ∈ 2 , 0 ，且满足 cos( + ) = 2，则 cos2 cos2 的最大值为( )
A. 1 B. 1 C. 18 4 2 D.
2
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在 中， = 3, = 2, = π4，则角 的可能取值是( )
A. π6 B.
π 2π 5π
3 C. 3 D. 6
10 π.函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
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A. ( ) = 2sin(2 π6 )
B. ( )的图象关于直线 = π3对称
C. ( ) 5π关于点( 12 , 0)中心对称
D.函数 ( ) 25π在区间[0, 12 )上有 5 个零点
11.在边长为 2 的正方形 中， ， 在正方形(含边)内，满足 = + ，则下列结论正确的是( )
A.若点 在 上时，则 + = 1
B. + 的取值范围为[1,2]
C.若点 在 上时， = 4
D.若 ， 在线段 上，且| | = 2，则 的最小值为 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如图所示为一个水平放置的矩形 ，在直角坐标系 中，点 的坐标为(4,2)，则用斜二测画法画出
的该矩形的直观图中，顶点 ′到 ′轴的距离为 ．
13.2cos215° e0 1+ 22 2 i = ．
14.在锐角 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 = 3, = 6，点 在 上， 是∠ 的平分
线，则 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图所示，长方体 1 1 1 1的底面 是边长为 2 的正方形，其体积为 16．
(1)求三棱锥 1 的体积；
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(2)求三棱锥 1 的表面积．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = ( 1,2)， = 2 5．
(1)若 // ，求 的坐标；
(2)若(5 + ) ⊥ ( )，求 与 夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin cos 32 cos2 ．
(1)求 ( )的单调增区间；
(2)当 ∈ 0, π2 时，求 ( )的值域．
18.(本小题 17 分)
在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如果选择多个条件
分别作答，则按第一个解答计分)
①sin2 = sin2 + sin2 sin sin ，② cos + sin 2 = ，③2 sin = (2 )sin + (2 )sin
(1)求 的大小；
(2)若 + = 6，且 = 2 3，求 ；
(3) 2 + 若 为锐角三角形，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
定义非零向量 = ( , )的“相伴函数”为 ( ) = sin + cos ( ∈ )，向量 = ( , )称为函数
( ) = sin + cos ( ∈ )的“相伴向量”(其中 为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的
集合为 ．
(1)设 ( ) = 3cos + π6 + 3cos
π
3 ( ∈ )，试求函数 ( )的相伴向量
；
(2)记向量 = 1, 3 8 π π的相伴函数为 ( )，求当 ( ) = 5且 ∈ 3 , 6 时，sin 的值；
(3) 已知点 ( , )满足： ∈ 0, 3 ，向量
的“相伴函数” ( )在 = 0处取得最大值，求 tan2 0的取值
范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 22
13.0
14. 2 2, 2 3
15.【详解】(1) ∵ = 22 × 1 = 16，∴ 1 = 4，
∴ 1 1 2 1 = 3 × 2 × 2 × =
1 1 8
1 3 × 2 × 4 × 4 = 3；
(2)记三棱锥 1 的表面积为 ，则 = 1 + 1 + + 1 ，
∵几何体 1 1 1 1为长方体，
∴△ 1 , △ 1 , △ 均为直角三角形， 1 为等腰三角形，
∵ = = 2, 1 = 4，
∴ 1 = 1 = 2 5, = 2 2，
∴ = = 1 × 2 × 4 = 4, = 1 1 1 2 2 × 2 × 2 = 2，
1 1 = 2 × 2 2 × (2 5)
2 ( 2)2 = 12 × 2 2 × 3 2 = 6，
∴ = 1 + 1 + + 1 = 4 + 4 + 2 + 6 = 16．
16.【详解】(1)由 // ，设 = = ( , 2 )， = 2 5，∴ 2 + (2 )2 = 2 5，
∴ =± 2，∴ = ( 2,4)或 = (2, 4)．
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(2) = 5， = 2 5，
∵ (5 + ) ⊥ ( )，∴ (5 + ) ( ) = 0，
∴ 5 2
2
4 = 0，∴ = 54．
5
设 与 1的夹角为 ，则 cos = = 4 = ．
| || | 5×2 5 8
∴ 与 的夹角 1的余弦值为8．
17.【详解】(1)因为 ( ) = sin cos 32 cos2 =
1
2 sin2
3
2 cos2 = sin 2
π
3 ，
所以 2 π π2 ≤ 2
π
3 ≤ 2 π +
π
2 , ∈ ，
解得： π π 5π12 ≤ ≤ π + 12 , ∈ ，
∴ ( ) π的单调增区间为 π 12 , π +
5π
12 , ∈ ；
(2) ∵ ∈ 0, π , ∴ π ≤ 2 π 2π2 3 3 ≤ 3 ，
∴ 3 2 ≤ sin 2 3 ≤ 1，
3
即其值域为 2 , 1 ．
18.【详解】(1)选①：即 2 = 2 + 2 ，
2+ 2cos =
2
= 1由余弦定理得 2 2，又 0 < < π，
π
所以 = 3；
选②：在 中，由 cos + sin 2 = 及正弦定理得，

sin cos + sin sin 2 = sin = sin( + ) = sin cos + cos sin
则 sin sin 2 = cos sin

，又 ∈ 0, π , sin ≠ 0，于是 sin 2 = cos = 1 2sin
2
2，
sin 而 2 > 0 sin
1
，解得 2 = 2，又 ∈ 0, π ,
π π
2 ∈ 0, 2 ，则2 = 6，
π
所以 = 3；
选③：在 中，由 2 sin = (2 )sin + (2 )sin 及正弦定理得，
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得 2 2 = (2 ) + (2 ) ，即 2 = 2 + 2 ，
2+ 2 2 1
由余弦定理得 cos = 2 = 2，又 0 < < π，
所以 = π3；
(2) ∵ 1 = 2 sin = 2 3, ∴ = 8，
∵ 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 = ( + )2 3 = 12，
∴ = 2 3．
(3)在 中，由正弦定理得：
2π 3 1
sin sin 3 2 cos +2sin = = = = 3 × 1 + 1 sin sin sin 2 tan 2，
由(1) 2π 2π知 + = 3，即 = 3 ，由 为锐角三角形，
0 < < π2 π π 1
得
0 < 2π
，即 < < ，于是 ∈ 0, 3 ，
3 <
π 6 2 tan
2
3 × 1 + 1 ∈ 1 , 2 1所以 2 tan 2 2 ，即 的取值范围为 2 , 2 ，
2 + 2
所以 = + 1 ∈ (2,5)．
19.【详解】(1)因为 ( ) = 3cos + π π6 + 3cos 3
π π π π
= 3 cos cos 6 sin sin 6 + 3 cos 3 cos + sin 3 sin
π π π π
= 3cos cos 6 3sin sin 6 + 3cos cos 3 + 3sin sin 3
= 32 cos
3
2 sin +
3 3
2 sin +
3
2 cos = 3sin + 3cos ，
所以，函数 ( )的相伴向量 = 3, 3 ．
(2)向量 = 1, 3 的相伴函数 ( ) = sin + 3cos ，
令 ( ) = sin + 3cos = 85，即 2sin +
π
3 =
8
5，
∴ sin + π = 4 ∵ ∈ π π π π3 5， 3 , 6 , ∴ + 3 ∈ 0, 2 ，
∴ cos + π3 =
3
5，
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π π π π π π
∴ sin = sin + 3 3 = sin + 3 cos 3 cos + 3 sin 3
= 4 × 1 3 × 3 = 4 3 35 2 5 2 10 ．
(3) 的“相伴函数” ( ) = sin + cos = 2 + 2sin( + ), tan = ，
因为 ( )在 = 0处取得最大值，
π
所以当 0 + = 2 + 2 π, ∈ ，即 =
π
0 2 + 2 π, ∈ 时， ( )有最大值
2 + 2，
π π
所以 sin 0 = sin 2 + 2 π = cos , cos 0 = cos 2 + 2 π = sin ，
cos 1
所以 tan 0 = sin = tan ，
因为 tan = ∈ 0, 3 ,
1 3
tan ∈ 3 , + ∞ ，
所以 tan = cos 1 30 sin = tan ∈ 3 , + ∞ ,
tan2 = 2tan 2所以 00 1 tan2 = 1 ，0 tan tan 0 0
令 = tan ∈ 3 , + ∞ 1 10 3 ，则tan tan 0 =0
，
因为 = 1 , =
3
均为 3 , + ∞ 上的单调递减函数，
所以 = 1
3
在 3 , + ∞ 上单调递减，
1 1 2 3
所以tan tan 0 = ∈ ∞, 3 ,0
所以，tan2 0 =
2tan 0 2
1 tan2 = 1 ∈ ( ∞,0) ∪ 3, + ∞ ,0 tan tan 0 0
所以 tan2 0的取值范围为( ∞,0) ∪ 3, + ∞ ．
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