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(共22张PPT)
1.1 探索勾股定理
第2课时 验证勾股定理
第一章 勾股定理
1.经历画图实验引发探索，以及利用拼图验证勾股定理
的过程，体会数形结合的思想，发展合情推理的能力.
(难点)
2.掌握勾股定理的简单应用，培养数学语言表达能力，
发展学生分析问题、解决实际问题的能力. (重、难点)
问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢？
若去掉方格纸你还能验证勾股定理吗？
1. 准备四个全等的直角三角形（设直角边分别为 a，b，斜边为 c）
2. 你能用这四个直角三角形拼成正方形吗？小组合作试一试吧！
a
b
c
探究点一： 勾股定理的验证
【活动1】
所以 a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab，
所以 a2 +b2 = c2.
证明：
因为 S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab，
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
方法一：
毕达哥拉斯证法
探究点一： 勾股定理的验证
a
b
c
因为 S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
所以 S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
b- a
证明：
“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积证明了这一命题，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲！因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
方法二：
赵爽弦图
探究点一： 勾股定理的验证
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
证法三 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2 + b2 = c2.
探究点一： 勾股定理的验证
刘徽证法
欧几里得法
据不完全统计，验证的方法有 400多种，你有自己的方法吗？
探究点一： 勾股定理的验证
如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？
说说你的判断和理由，并与同伴进行交流.
b
a
c
b
a
c
探究点一： 勾股定理的验证
①在钝角三角形中，三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，
则 a2 + b2 < c2；
b
a
c
b
a
c
②在锐角三角形中，
三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，
则 a2 + b2 > c2.
S = 9
S = 25
S = 10
S = 9
S = 10
S = 13
探究点一： 勾股定理的验证
2 m
1.5 m
A
B
D
C
【活动2】 分小组讨论：一个门框的尺寸如图所示，一块长 4 m，宽 2.4 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？
为什么？
探究点二： 勾股定理的简单运用
木板从门框通过的方式
横着通过
竖着通过
斜着通过
2.4 m > l.5 m，
故横着无法通过
A
B
C
D
1.5 m
2m
A
B
C
D
1.5 m
2m
2.4 m > 2 m，
故竖着无法通过
A
B
C
D
1.5 m
2m
对角线 AC 是可斜着通过的最大长度，若 AC > 2.4m，则可以斜着通过
探究点二： 勾股定理的简单运用
2 m
1.5 m
A
B
D
C
一个门框的尺寸如图所示，一块长 4 m，宽 2.4 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
解：连接 AC，在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC2＝AB2＋BC2＝1.52＋22＝2.52.
所以 AC＝2.5 m.
因为 AC 大于木板的宽 2.4 m，
所以木板能从门框内通过.
探究点二： 勾股定理的简单运用
例1 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路 400 m 处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶. 他用红外测距仪测得汽车与他相距 400 m；过了 10 s，测得汽车与他相距 500 m. 你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？
分析：你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？
探究点二： 勾股定理的简单运用
公路
B
C
A
400 m
500 m
解：根据题意，可以画出图，其中点 A 表示王叔叔所在位置，点 C、点 B 表示两个时刻蓝方汽车的位置.
由于王叔叔距离公路 400 m，因此∠C 是直角.
由勾股定理，可得
AB2 = BC2 + AC2，
也就是 5002 = BC2 + 4002，
所以 BC = 300.
蓝方汽车 10 s 行驶了 300 m，
那么它 1 s 行驶的距离为
300÷10 = 30 (m)，
即蓝方汽车这10 s 的平均速度为 30 km/h.
探究点二： 勾股定理的简单运用
探究点二： 勾股定理的简单运用
练一练 1.如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.
（1）求这条“径路”的长；
（2）他们仅仅少走了几步(假设 2 步为 1 米)？
解：(1) 在Rt△ ABC 中，
根据勾股定理得 32 + 42 = 25，
(2) 他们仅仅少走了
(3 + 4 - 5)×2 = 4(步).
∴这条“径路”的长为 5 米.
AB = 5 (米)
C
A
B
别踩我，我怕疼!
1. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，
一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，并测得
AC长为20m，BC长为16m，则A点和B点之间的距
离为(　B　)
A. 25m B. 12m
C. 13m D. 14m
第1题图
B
2. 两只小鼹鼠在地下同一处打洞，一只朝下挖，每
分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，则
10min后两只小鼹鼠相距(　B　)
A. 50cm
B. 100cm
C. 140cm
D. 80cm
B
2
3
4
1
3. 如图，小明在荡秋千时发现当秋千AB在静止位
置时，下端B离地面0.5m，当秋千荡到AC位置
时，下端C距静止时的水平距离CD为4m，距地面
2.5m，则秋千AB的长为 m.
5　
第3题图
4. 我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理
验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证
明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理.下面
是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无
字证明”图形.此图可以用来证明你学过的勾股定理.
若已知直角三角形两直角
边长分别为a，b，斜边
长为c，图①、图②的面
积相等，请你根据下面两
个图来验证勾股定理.
解：图①的面积为S1＝ ab×3＋a2＋b2，
图②的面积为S2＝ ab×3＋c2.
∵图①、图②的面积相等，
∴ ab×3＋a2＋b2＝ ab×3＋c2.
∴a2＋b2＝c2.
解：图①的面积为S1＝ ab×3＋a2＋b2，
图②的面积为S2＝ ab×3＋c2.
∵图①、图②的面积相等，
∴ ab×3＋a2＋b2＝ ab×3＋c2.
∴a2＋b2＝c2.
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勾股定理的验证
勾股定理的简单运用

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