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2024-2025 学年上海市五爱高级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 3. = 3是 sin = 2 ∈ (0, ) 的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
2.与 60 角的终边相同的角是( )
A. 300° B. 240° C. 120° D. 60°
3.在 中，若 cos cos > sin sin ,则该三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角或直角三角形
4.已知函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0, | | < π π2 的对称中心到对称轴的最小距离为4，将 ( )的图象
π
向右平移3个单位长度后所得图象关于 轴对称，且 1 2 max = 1 关于函数 ( )有下列四种说法：
① = π ( ) π6是 的一个对称轴；② 3 , 0 是 ( )的一个对称中心；
③ ( ) 0, π π在 2 上单调递增；④若 1 = 2 = 0，则 1 2 = 2， ∈ Z ．
以上四个说法中，正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 12 小题，共 60 分。
5.已知角 的终边经过点 (1, 2)，则 sin = ．
6.我校第一节课从 8: 00 到 8: 40，在此期间时钟分针转过了 弧度．
7.化简向量运算： + + + = ．
8 1.已知 cos( + 45°) = 4，则 cos sin = ．
9.在 中，已知 = 2，则 cos + cos = ．
10. ( ) = 2024sin 2 3 2024 的单调增区间为 ．
11.若 = = = 2，则 + = ．
12 4 3.若锐角 , 满足 cos = 5 , cos( + ) = 5 ,则 sin = ．
13.对于函数 = ( )，其中 ( ) = sin2 + tan + 3.若 ( 2) = 1，则 (π + 2) = ．
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14.已知函数 = ( )，其中 ( ) = 2sin(2 + π3 )在[0, ], ( > 0)上是严格增函数，则 的最大值为 ．
15.若(sin 3cos )(sin 3cos ) = 4，则| + |的最小值为 ．
16 1.已知方程1 2sinπ = 0，则当 ∈ [ 2,4]时，该方程所有实根的和为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知 tan = 13，求值：
(1)tan2 ；
(2) 1sin2 +cos2 ．
18.(本小题 14 分)
如图，在 中， 是 的中点， 是 延长线上一点，且 = 2 ．
(1)用向量 、 表示 ；
(2)用向量 、 表示 ．
19.(本小题 14 分)
如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边分别与单位圆相交于 ， 两点，
2 2 5
已知 ， 的横坐标分别为10 , 5
(1)求 tan( + )的值；(2)求 + 2 的值．
20.(本小题 14 分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且(2 )cos = cos ．
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(1)求角 的大小；
(2)若 = 3， = 2 ，求△ 的面积．
21.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = tan + π3 ( > 0)．
(1)若 = 2，求函数 ( )的最小正周期；
(2)若函数 ( )在区间[0, ]上为严格增函数，求 的取值范围；
(3)若函数 ( )在[ , ]( , ∈ 且 < )上满足“关于 的方程 ( ) = 3在[ , ]上至少存在 2024 个根”，
且在所有满足上述条件的[ , ]中， 的最小值不小于 2024，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 2 55
6. 4π 43或 3π
7.0
8. 24
9.2
10. π + π, 5π12 12 + π , ∈ Z
11.2 3
12. 725
13.5
14. π 112或12π
15.2π 23 或3
16.8
1
17. (1) tan = 1 tan2 = 2tan 2×解： 因为 3，所以 1 tan2 =
3 3
1 2
= ；
1 43
(2)因为 tan = 13，
2 1
2
1 = sin +cos
2 2= tan +1 3
+1 2
所以sin2 +cos2 2sin cos +cos2 2tan +1 = =2×1+1 3
．
3
18.解：(1)因为 = 2 ，所以 为 的中点，又 是 的中点，
所以 = + = 1 2
+ 2 = 1 + 2 2 。
(2)因为 = 2 ，所以 为 的中点，又 是 的中点，
所以 = = 1 3 1 2 + = 2 2 ．
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19. 7+
1
解：(1) tan( + ) = tan +tan 21 tan ·tan = 1 = 3．1 7×2
2×1
(2) ∵ 2 = 2tan 2 41 tan2 = 2 = ，1 1 32
4
∴ tan( + 2 ) = tan +tan2
7+
= 31 tan ·tan2 = 1．1 7×43
∵ ， 为锐角，∴ 0 < + 2 < 3 2，∴ + 2 =
3
4
20.解：(1)根据正弦定理，由(2 )cos = cos ，
得 2 cos = sin cos + sin cos ，
即 2 cos = sin( + )，
所以 2 cos = sin ，
因为 0 < < ，所以 sin ≠ 0，
所以 cos = 1 2，因为 0 < < ，所以 = 3．
(2)因为 = 3， = 2 ，由(1)得 = 3，
2+ 2 2 2cos = = 4 +
2 9 1
所以 2 4 2 = 2，
解得 = 3，所以 = 2 3．
1 1
所以 △ = 2 sin = 2 × 2 3 × 3 ×
3
2 =
3 3
2 ．
21.解：(1)由于 ( ) = tan + π3 ，且 = 2，
π π
所以 ( ) = tan 2 + 3 的最小正周期为2．
(2)由 ∈ 0, π π π，且 > 0，得3 ≤ + 3 ≤ π +
π
3，
若函数 = ( )在区间 0, π 上严格递增，
则只需保证 π + π π 13 < 2，求得 < 6，则 0 < <
1
6，
1
则 的范围为 0, 6 ．
(3)由关于 的方程 ( ) = tan + π3 = 3在区间[ , ]上至少存在 2024 个根，
π π
则关于 的方程 + 3 = π + 3 , ∈ Z 至少有 2024 个根，
π
则至少存在 2024 个 ∈ Z 使得 = ∈ [ , ]，
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因函数 ( ) = tan + π ( > 0) π3 的最小正周期为ω，
故 至少包含 2023 个周期，即 ≥ 2023 π
π
又在所有满足上述条件的[ , ]中， 的最小值不小于 2024，则 2023 ≥ 2024，
0 < ≤ 2023π得 2024 ，
所以 2023π的取值范围为 0, 2024 ．
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