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2024-2025 学年湖北省荆州市成丰学校高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .设复数 满足1 = 1 + 2 ，则它的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. D.
2.已知 = (2, 3)， = (1, 2)，且 ⊥ ， = 1，则 的坐标为( )
A. (3, 2) B. (3,2) C. ( 3, 2) D. ( 3,2)
3.已知向量 = 2， 在 上的投影向量为 2 ，则 =( )
A. 8 B. 8 C. 4 D. 4
4.已知在 中， = 3， = 4， = 10，则 =( )
A. 3 17 17 34 B. 2 C. 2 D. 4
5.已知 cos( + ) = 4 15，cos( ) = 5，则 tan tan 的值为( )
A. 1 B. 32 5 C.
3
10 D.
3
5
6.定义运算 = ( 1), < 0,如下： 2 , ≥ 0.设函数 ( ) = ( + 1)，则该函数的图象是( )
A. B. C. D.
3
7.若 = 23 , = 2, = log2 ，当 > 1 时， , , 的大小关系是( )3
A. < < B. < < C. < < D. < <
8.秦九韶(1208 年 1268 年)，字道古，祖籍鲁郡(今河南省范县)，出生于普州(今四川安岳县).南宋著名数
学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家. 1247 年秦九韶完成了著作《数书九章》，其中的大衍
求一术(一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理)、三斜求积术和秦九韶算法(高次方
程正根的数值求法)是有世界意义的重要贡献．设 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积
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1
2 2 2 2
为 ，秦九韶提出的“三斜求积术”公式为 = 2 24
+
2 ，若
2sin = 2sin ，2 (cos +
1) = 6，则由“三斜求积术”公式可得 的面积为( )
A. 3 B. 3 C. 12 2 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知奇函数 ( )在(0, + ∞)上是减函数，且在区间[ , ]( < < 0)上的值域为[ 3,4]，则在区间[ ,
]上( )
A.有最大值 4 B.有最小值 4 C.有最大值 3 D.有最小值 3
10.将 = sin cos + 3 12 cos2 图象上所有点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，再将所得图象向右平移

6个单位长度得到 = ( )的图象，则( )
A. ( ) = 的图象关于直线 3对称
B. 5 函数 ( )的单调递增区间为 24 + 2 , 24 + 2 ∈
C. ( ) 3 在 0, 4 上恰有 3 个零点
D. ( ) 0, 3 在 4 上有 2 个最大值点，2 个最小值点
11.如图，甲船从 1出发以每小时 25 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船
出发时，乙船位于甲船的南偏西 75°方向的 1处，此时两船相距 5 2海里．当甲船航行 12 分钟到达 2处时，
乙船航行到甲船的南偏西 60°方向的 2处，此时两船相距 5 海里，下面结论正确的是( )
A.乙船的行驶速度与甲船相同
B.乙船的行驶速度是 15 2海里/时
C. 1+ 2甲、乙两船相遇时，甲船行驶了 3 小时
D.甲、乙两船不可能相遇
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12 1 .若 = ，则 1002 +
50 + 1 的值等于 ．
2
13 +1.已知关于 的不等式 2 +1 ≤ 0 的解集为 ，则实数 的取值范围是 ．
14.为庆祝我校建校 120 周年，数学学科以“南开”首字母“ ”为灵感设计了一款纪念胸章，如图所示，
= π , = 4, = 6, 12 = 2
, = = = 2 ，则 + 3 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 1 = 2i，复数 2 = 1 i，其中 是虚数单位， , 为实数．
(1)若 = 1, = 1，求 1 2 的值；
(2)若 21 = 2，
①求 , 的值；
②若复数 1 + 2在复平面内对应的点在第二象限，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
某社区规划在小区内建立一个如图所示的圆形休闲区，经调研确定，该圆内接四边形 为儿童娱乐设施
建筑用地， = = 2 = 6, = 9．
(1)求∠ 和∠
(2)求儿童娱乐设施建筑用地的面积
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(3)若 ， ， 不动，在圆弧 上取一点 ，使得儿童娱乐设施的新建筑用地 的面积最大，并求出最
大值．
17.(本小题 15 分)
已知 = 3sin , cos , = cos , cos ( > 0, ∈ ), ( ) = 12，且 ( )的图象上相邻两
π
条对称轴之间的距离为2．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)求函数 ( )的单调递增区间；
(3)若锐角 的内角 , , 的对边分别为 , , ，且 = 3, ( ) = 0，求 面积的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知向量 = sin , cos , = cos , 3cos ，函数 ( ) = 32 ．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2) 若 02 =
1 π π
3，且 0 ∈ 2 , 2 ，求 sin 0的值；
(3)已知 ( 3,2), (3,10)，将 ( ) π的图象向左平移12个单位长度得到函数 ( )的图象．在 ( )的图象上是否
存在一点 ，使得 ⊥ ？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，说明理由．
19.(本小题 17 分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，
使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均
小于 120°时，使得∠ = ∠ = ∠ = 120°的点 即为费马点；当 有一个内角大于或等于 120°
时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 的内角 , , 所对的边分别为 , , ，
(1)若 sin sin = ( )sin ，
①求 ；
②若 = 2，设点 为 的费马点，求 + + ；
(2)若 cos2 + cos2 cos2 = 1，设点 为 的费马点，| | + | | = | |，求实数 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. ．
13.[0,4)
14.18
15.解：(1)当 = 1, = 1 时， 1 = 1 2i, 2 = 1 i，
所以 1 2 = 1 2i 1 i = 2 i，
所以 1 2 = ( 2)2 + ( 1)2 = 5．
(2)①若 21 = 2，则 2i = (1 i)2 = 1 2 2 i，
2 = 0
所以 = 1 ，解得 ；
2 = 2 = 1
② 1 = 2i， 2 = 1 i，所以 1 + 2 = 2i + 1 i = (2 + )i，
又 1 +
< 0
2在复平面内对应的点在第二象限，所以 (2 + ) > 0 ,
< 0
解得 < 2，所以 < 2．
所以实数 的取值范围为( ∞, 2)．
16.解：(1)连接 ，由题意可得∠ + ∠ = ，
则 cos∠ + cos∠ = 0.①
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 2 + 2 2 cos∠ ，
则 2 = 62 + 92 2 × 6 × 9cos∠ = 62 + 32 2 × 6 × 3cos∠ .②
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由①②可得 cos∠ = 1 1 2 2 , cos∠ = 2，从而∠ = 3 , ∠ = 3．
(2)故四边形 的面积为
1
2 sin∠ +
1
2 sin∠ =
1 3 1
2 × 6 × 9 × 2 + 2 × 6 × 3 ×
3
2 = 18 3．
(3)由余弦定理可得 2 = 62 + 32 2 × 6 × 3 × 12 = 63．
由(1)可得∠ = 3，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 ≥ ，则 ≤ 63，当且仅当 = 时取等号，
从而△ 1的面积 1 = 2 sin∠ =
3
4 ≤
63 3
4 ．
9 3
由(1)可知△ 的面积为 2 = 2 ，
81 3
则儿童娱乐设施的新建筑用地 的面积为 1 + 2 ≤ 4 ．
17.解：(1) ( ) = 3sin cos cos2 12 =
3 1
2 sin2 2 cos2 1 = sin 2
π
6 1，
由 ( ) π 2π的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2，有 = 2| | = π，又 > 0，解得 = 1，
所以 ( ) = sin 2 π6 1．
(2) π π π π π令 2 + 2 π ≤ 2 6 ≤ 2 + 2 π( ∈ )，解得 6 + π ≤ ≤ 3 + π( ∈ )，
π π
所以函数 ( )的单调递增区间为 6 + π, 3 + π ( ∈ )．
(3) π π π已知 ( ) = sin 2 6 1 = 0，由 ∈ 0, 2 ，得 = 3，
3
由正弦定理sin = sin = sin = 3 = 2，得 = 2sin , = 2sin ，
2
1 2π 3 3
= 2 sin = 3sin sin = 3sin sin 3 = 2 sin cos +
2
2 sin
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= 34 sin2
3
4 cos2 +
3 3 π 3
4 = 2 sin 2 6 + 4 ，
0 < < π
由 2是锐角三角形，有
0 < 2π
,
3 <
π
2
∈ π , π π π 5π π 1得 6 2 , 2 6 ∈ 6 , 6 ，则 sin 2 6 ∈ 2 , 1 ,
所以 =
3 π 3 3 3 3
2 sin 2 6 + 4 ∈ 2 , 4 ,
即 3 3 3面积的取值范围是 2 , 4 ．
18.解：(1)因为 = sin , cos ， = cos , 3cos ，函数 ( ) = 32 ，
3
所以 ( ) = 2 = sin cos + 3cos
2 32
= 1 3 3 π2 sin2 + 2 1 + cos2 2 = sin 2 + 3 ．
(2) 依题意 02 = sin 0 +
π
3 =
1
3，
∈ π π π π 5π因为 0 2 , 2 ，所以 0 + 3 ∈ 6 , 6 ，而 sin 0 +
π
3 =
1
3 < 0，
+ π ∈ π所以 0 3 6 , 0 ，
所以 cos + π0 3 = 1 sin
2 π 2 20 + 3 = 3 ，
π π π π π π
所以 sin 0 = sin 0 + 3 3 = sin 0 + 3 cos 3 sin 3 cos 0 + 3
= 1 × 1 3 × 2 23 2 2 3 =
1+2 6
6 ；
(3)将 ( ) π的图象向左平移12个单位长度得到函数 ( )的图象，
则 ( ) = sin 2 + π π12 + 3 = cos2 ，
假设 ( )的图象上存在点 1, cos2 1 使得 ⊥ ，
因为 = 1 + 3, cos2 1 2 , = 1 3, cos2 1 10 ，
因为 ⊥ ，
所以 = 1 + 3 1 3 + cos2 1 2 cos2 1 10
= 21 + cos22 1 12cos2 1 + 11 = 0，
令 1 = 2 21 + cos 2 1 12cos2 1 + 11 = 21 + cos2 1 6 2 25，
因为 cos2 1 ∈ [ 1,1]，所以 = 21 1 + cos2 6 2 25 ≥ 21 1 + (1 6)2 25 = 21 ≥ 0，
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1 = 0当且仅当 cos2 1 = 1
时取等，
所以 1 = 0 存唯一解 1 = 0，此时 cos2 1 = 1，点 (0,1)，
综上，符合条件的点 坐标为(0,1)．
19.解：(1)①由正弦定理得 2 2 = ( ) ，即 2 + 2 2 = ，
2+ 2cos =
2
所以 2 =
1
2 = 2，又 ∈ 0, π ，
π
所以 = 3；
π
②由① = 3，所以三角形 的三个角都小于 120°，
则由费马点定义可知：∠ = ∠ = ∠ = 120°，
设 = , = , = ，由 + + = 得：
1 3 1 3 1 3 1 32 2 + 2 2 + 2 2 = 2 × 2 × 2 ，整理得 + + = 2，
则 + +
= 12 +
1
2 +
1 = 12 2 × 2 = 1；
(2)因为 cos2 + cos2 cos2 = 1，
所以 cos ( + ) + ( ) + cos ( + ) ( ) = cos2 + 1，
所以 2cos( + )cos( ) = 2cos2 ，即 2cos cos( ) = 2cos2 ，
所以 cos = 0 或 cos( ) = cos ，
cos = 0 = π当 时， 2， 为直角三角形，
当 cos( ) = cos ，
则 cos cos sin sin = cos( + ) = cos cos + sin sin ，
得 sin sin = 0，在三角形中不可能成立，
π
所以 为 = 2的直角三角形，
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2π因为点 为 的费马点，则∠ = ∠ = ∠ = 3，
设| | = | |, | | = | |, | | = , > 0, > 0, > 0，
则由| | + | | = | |得 + = ；
2π
由余弦定理得| |2 = 2 + 2 2 2 2cos = 23 + + 1
2，
| |2 = 2 + 2 2 2 2cos 2π3 =
2 + + 1 2，
| |2 = 2 2 + 2 2 2 2cos 2π3 =
2 + 2 + 2，
故由| |2 + | |2 = | |2得 2 + + 1 2 + 2 + + 1 2 = 2 + 2 + 2，
即 + + 2 = ，而 > 0, > 0，故 + + 2 = ≤ ( + )22 ，
当且仅当 = ，结合 + + 2 = ，解得 = = 1 + 3时，等号成立，
又 + = ，即有 2 4 8 ≥ 0，解得 ≥ 2 + 2 3或 ≤ 2 2 3(舍去)，
故实数 的最小值为 2 + 2 3．
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