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贵州省安顺市2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题
1．（2024八下·安顺期末）下列各式中，最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
2．（2024八下·安顺期末）关于的函数，当时，函数值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：将代入函数，得，
故答案为：B．
【分析】直接将x的值代入函数表达式进行计算.
3．（2024八下·安顺期末）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A．对角线互相平分
B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行
D．一组对边平行，另一组对边相等
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴A不符合题意；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴B不符合题意；
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴C不符合题意；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】对角线互相平分的四边形、一组对边平行且相等的四边形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，据此逐一判断即可.
4．（2024八下·安顺期末）某超市试销一批新款衬衫，一周内销售情况如下表所示，超市经理想要了解哪种型号最畅销，那么他最关注的统计量应该是（　　）
型号（厘米） 38 39 40 41 42 43
数量（件） 13 21 35 48 26 8
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：要了解哪种型号最畅销，那么就看哪种型号买的最多，因此关注众数，
故答案为：B.
【分析】要了解哪种型号最畅销，那么就看哪种型号买的最多，找出出现次数最多的数据，因此关注众数.
5．（2024八下·安顺期末）如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得，，从而根据平行线的性质得，据此即可求解.
6．（2024八下·安顺期末）估算的结果（　　）
A．在和之间 B．在和之间
C．在和之间 D．在和之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴，
∴的结果在和之间．
故答案为：D．
【分析】先求出算式的结果，然后进行无理数的估算，利用不等式的基本性质即可得到答案.
7．（2024八下·安顺期末）已知，，是的三条边，则下列条件不能判定是直角三角形的是(　　)
A．，， B．
C． D．：：：：
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由，，可得a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，故选项A不合题意；
B、由∠A+∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故选项B不合题意；
C、由(a+b)2+(a-b)2=2c2可得a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，故选项C不合题意；
D、由及∠A+∠B+∠C=180°可得∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°，∴△ABC不是直角三角形，故选项D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，逐项判断即可得出结论．
8．（2024八下·安顺期末）一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 ，
∴，
∴函数图象经过一、二、四象限，
∴ABD不符合题意，C符合题意，
故答案为：C．
【分析】对于一次函数，当时，函数图象必过一、二、三象限；当时，函数图象必过一、三、四象限；当时，函数图象必过一、二、四象限；当时，函数图象必过二、三、四象限，据此直接得到答案.
9．（2024八下·安顺期末）甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别是，，，，这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是（　　）
A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴＜＜＜，
∴四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是丙团，
故答案为：C
【分析】根据题意直接比较其方差，进而即可求解。
10．（2024八下·安顺期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（　　）
A．14 B．16 C．14 D．14
【答案】D
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，AE=10，BE=24，
∴小正方形的边长为24-10=14，
∴，
故答案为：D．
【分析】先结合全等三角形对应边相等的性质求出小正方形的边长14，然后利用勾股定理即可得出EF的长.
11．（2024八下·安顺期末）在中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是（　　）
①②③④
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①由作图可知，，则是等腰三角形，故A正确；
②由作图可知，，则不是等腰三角形，故B错误；
③由作图可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故C正确；
④由作图可知，，则不是等腰三角形，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线、角平分线的尺规作图以及等腰三角形判定可直接判断①②④，然后结合平行四边形的性质以及平行线的性质可判断②．
12．（2024八下·安顺期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于，的方程组的解为
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A、由图像可知，随的增大而增大，故A正确；
B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，
∴，故B正确；
C、由图象可知，当时，，故C错误；
D、由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为，故D正确；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的图象与性质判断A正确；根据两直线与y轴的交点可判断B正确；根据一次函数与一元一次不等式可判断C错误；根据一次函数与二元一次方程组的关系可判断D正确.
13．（2024八下·安顺期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
14．（2024八下·安顺期末）把直线的图象向上平移个单位长度后，所得直线的解析式是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线的图象向上平移5个单位长度后，解析式是.
故答案为：．
【分析】根据一次函数的平移规律：上加下减，即可求解．
15．（2024八下·安顺期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是　 　．
【答案】20°
【知识点】菱形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∴∠CDO=∠DBH，∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠DCO+∠DBH=90°，
∵DH⊥AB，
∴∠DBH+∠HDO=90°，
∴∠DCO=∠HDO，
∵∠CAD=20°，AD=CD，
∴∠DCO=∠CAD=∠HDO=20°，
∵DH⊥CD，OD＝OB，
∴OH＝OD，
∴∠DHO=∠HDO=20°，
故答案为：20°．
【分析】根据菱形的性质得AD=CD，OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，从而得∠DCO=∠HDO，进而根据等腰三角形“等边对等角”性质得∠DCO=∠CAD=∠HDO=20°，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得OH＝OD，于是有∠DHO=∠HDO=20°.
16．（2024八下·安顺期末）如图，在中，，，D是的中点，E是上一点．若平分的周长，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长至，使得，连接，
，
，
是等边三角形，
，
，
是的中点，平分的周长，
，，
，
，
，即，
是的中位线，
，
故答案为：．
【分析】延长至，使得，连接，得证是等边三角形，根据等边三角形的性质得的值，然后证明，最后根据三角形中位线定理得的值．
17．（2024八下·安顺期末）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）原式
（2）原式
，
当时，原式
【知识点】二次根式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先对二次根式进行化简，然后进行二次根式的乘法运算，最后进行二次根式的减法运算；
（2）先根据单项式乘多项式、完全平方公式进行去括号，然后合并同类项将原式进行化简，最后将字母的值代入进行求解.
18．（2024八下·安顺期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；
（3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数．
【答案】（1）解：如图1，边长为的正方形即为所求；
（2）解：如图2，边长分别为2，，的三角形即为所求；
（3）解：如图3，连接，
根据题意，得 ，，
，
，
是等腰直角三角形，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据正方形的定义，利用勾股定理画出边长为的正方形即可；
（2）利用勾股定理以及数形结合的思想画出图形即可；
（3）连接，利用勾股定理可得，，然后根据勾股定理逆定理证出是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质得到答案.
19．（2024八下·安顺期末）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计：
七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 90
八年级 84 87
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　．
同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是　 　年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】（1）85；87；七
（2）解：（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
（3）解：我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好
20．（2024八下·安顺期末）已知：如图，矩形的对角线、相交于点O，，交的延长线于点E．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是矩形， ，
∴，
由（1）得四边形是平行四边形，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可证明结论；
（2）根据矩形的性质可得，然后根据平行四边形的性质，即可求得．
21．（2024八下·安顺期末）如图，直线：与y轴的交点为A，直线与直线：的交点M的坐标为．
（1）求a和k的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：将代入，得，
，
将代入：，得，
解得：
（2）解：直线与轴的交点为，
，
，
，
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把M点坐标代入直线的表达式中求出a的值，即可得M的坐标，再将M的坐标代入直线的表达式中可求得的值；
（2）先求得的坐标，从而得，进而结合M点坐标，根据三角形面积公式即可求解.
（1）解：直线与直线的交点为，
在直线上，也在直线上，
，
，
，
解得；
（2）解：直线与轴的交点为，
当时，，
，
，
，
．
22．（2024八下·安顺期末）某学校准备购买两种型号的垃圾箱，通过市场调研发现：买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元；买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元．
（1）求每个型垃圾箱和型垃圾箱各多少元？
（2）若该校需购买两种型号的垃圾箱共个，其中型垃圾箱数量不超过型垃圾箱的数量，求购买垃圾箱的总费用（元）与型垃圾箱的数量（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？
【答案】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，
根据题意，得，
解得：，
∴每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元
（2）解：∵型垃圾箱的数量为个，购买两种型号的垃圾箱共个，
∴型垃圾箱的数量为个，
∵型垃圾箱数量不超过型垃圾箱的数量，
∴，
解得：，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，，
∴总费用至少要元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据“ 买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元；买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元”列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）先求出型垃圾箱的数量为个，然后根据型垃圾箱数量不超过型垃圾箱的数量求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数解析式，最后根据一次函数的性质可求出的最小值.
（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，
由题意得，，
解得，
答：每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元；
（2）解：∵型垃圾箱的数量为个，
∴型垃圾箱的数量为个，
∵型垃圾箱数量不超过型垃圾箱的数量，
∴，
∴，
又由题意可得，，
即，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，元，
即费用至少要元．
23．（2024八下·安顺期末）综合与实践
小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度
模型抽象
测绘数据 ①测得水平距离的长为15米．
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米．
③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米．
说明 点A，B，E，D在同一平面内
请根据表格信息，解答下列问题．
（1）求线段的长．
（2）若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？
【答案】（1）解：如图，过点B作BC⊥AD于C，
∴∠BED=∠EDC=∠BCD=∠BCA=90°，
∴四边形BEDC是矩形，
∵ED=15，BE=1.6，
∴BC=ED=15，CD=BE=1.6，
∵AB=17，
∴在中，有，
∴AD=AC+CD=8+1.6=9.6，
∴AD的长为9.6米；
（2）解：∵风筝沿方向再上升12米后，
∴AC=12+8=20，
∴此时风筝线的长为，
∴25-17=8（米），
∴小明同学应该再放出8米线．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）过点B作BC⊥AD于C，易证四边形BEDC是矩形，然后根据矩形的性质得BC=ED=15，CD=BE=1.6，在中，利用勾股定理求出AC的长，从而求出AD的长；
（2）先求出风筝沿DA方向再上升12米后AC的长，然后利用勾股定理求出风筝线AB的长，再根据题意计算，得到答案．
24．（2024八下·安顺期末）阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当时，当且仅当______时，式子的最小值为______（直接写出答案）；
（2）如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
【答案】（1）3；6
（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，平行于墙的一边为米，
∵长方形花园的面积为50平方米，
∴，
∴，
∴篱笆的周长为米，
令，则由，得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为20，
∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）解：令，，则由，得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6，
故答案为：3；6
【分析】（1）根据材料的例子求解方法进行解答即可；
（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为米，平行于墙的一边为米，得，于是有，从而得篱笆的周长为米，再根据材料中例子的求解方法求出的最小值即可．
（1）解：令，，则由，得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6，
故答案为：6．
（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
∵，当且仅当时，的值最小，最小值为20，
∴或（舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米．
25．（2024八下·安顺期末）［问题情境］数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明：
［实践探究］希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
［拓展迁移］突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．
【答案】【问题情境】解：，理由如下：
如图1，取的中点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
、分别是、的中点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
【实践探究】解：如图2，在上取一点，使得，连接，
由（1）同理可得，
∵是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
，
，
，，
，
又∵，
，
，
∵，
；
【拓展迁移】解：如图3，连接，作，交的延长线于，交于，连接，，
由（2）知，，
，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，
点与关于对称，
，
∴最小值为的长，
，
，，
由勾股定理得，
周长的最小值为．
【知识点】三角形三边关系；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【分析】【问题情境】取的中点，连接，根据正方形的性质得，从而得
，，然后求出，，，进而推出，即可得证；
【实践探究】在上取一点，使得，连接，由（1）同理可得，根据等腰直角三角形的性质得，从而推出，进而得，然后求出，于是得，则有，最后即可求出；
【拓展迁移】作，交的延长线于，交于，连接，推出是等腰直角三角形，可知点与关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出的长，进而得出答案．
1 / 1贵州省安顺市2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题
1．（2024八下·安顺期末）下列各式中，最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·安顺期末）关于的函数，当时，函数值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·安顺期末）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A．对角线互相平分
B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行
D．一组对边平行，另一组对边相等
4．（2024八下·安顺期末）某超市试销一批新款衬衫，一周内销售情况如下表所示，超市经理想要了解哪种型号最畅销，那么他最关注的统计量应该是（　　）
型号（厘米） 38 39 40 41 42 43
数量（件） 13 21 35 48 26 8
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
5．（2024八下·安顺期末）如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·安顺期末）估算的结果（　　）
A．在和之间 B．在和之间
C．在和之间 D．在和之间
7．（2024八下·安顺期末）已知，，是的三条边，则下列条件不能判定是直角三角形的是(　　)
A．，， B．
C． D．：：：：
8．（2024八下·安顺期末）一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·安顺期末）甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别是，，，，这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是（　　）
A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团
10．（2024八下·安顺期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（　　）
A．14 B．16 C．14 D．14
11．（2024八下·安顺期末）在中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是（　　）
①②③④
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
12．（2024八下·安顺期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于，的方程组的解为
13．（2024八下·安顺期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　
14．（2024八下·安顺期末）把直线的图象向上平移个单位长度后，所得直线的解析式是　 　．
15．（2024八下·安顺期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是　 　．
16．（2024八下·安顺期末）如图，在中，，，D是的中点，E是上一点．若平分的周长，则的长为　 　．
17．（2024八下·安顺期末）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（2024八下·安顺期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；
（3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数．
19．（2024八下·安顺期末）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计：
七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 90
八年级 84 87
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　．
同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是　 　年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
20．（2024八下·安顺期末）已知：如图，矩形的对角线、相交于点O，，交的延长线于点E．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
21．（2024八下·安顺期末）如图，直线：与y轴的交点为A，直线与直线：的交点M的坐标为．
（1）求a和k的值；
（2）求的面积．
22．（2024八下·安顺期末）某学校准备购买两种型号的垃圾箱，通过市场调研发现：买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元；买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元．
（1）求每个型垃圾箱和型垃圾箱各多少元？
（2）若该校需购买两种型号的垃圾箱共个，其中型垃圾箱数量不超过型垃圾箱的数量，求购买垃圾箱的总费用（元）与型垃圾箱的数量（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？
23．（2024八下·安顺期末）综合与实践
小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度
模型抽象
测绘数据 ①测得水平距离的长为15米．
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米．
③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米．
说明 点A，B，E，D在同一平面内
请根据表格信息，解答下列问题．
（1）求线段的长．
（2）若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？
24．（2024八下·安顺期末）阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当时，当且仅当______时，式子的最小值为______（直接写出答案）；
（2）如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
25．（2024八下·安顺期末）［问题情境］数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明：
［实践探究］希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
［拓展迁移］突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】一次函数的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：将代入函数，得，
故答案为：B．
【分析】直接将x的值代入函数表达式进行计算.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴A不符合题意；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴B不符合题意；
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴C不符合题意；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】对角线互相平分的四边形、一组对边平行且相等的四边形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，据此逐一判断即可.
4．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：要了解哪种型号最畅销，那么就看哪种型号买的最多，因此关注众数，
故答案为：B.
【分析】要了解哪种型号最畅销，那么就看哪种型号买的最多，找出出现次数最多的数据，因此关注众数.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得，，从而根据平行线的性质得，据此即可求解.
6．【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴，
∴的结果在和之间．
故答案为：D．
【分析】先求出算式的结果，然后进行无理数的估算，利用不等式的基本性质即可得到答案.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由，，可得a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，故选项A不合题意；
B、由∠A+∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故选项B不合题意；
C、由(a+b)2+(a-b)2=2c2可得a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，故选项C不合题意；
D、由及∠A+∠B+∠C=180°可得∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°，∴△ABC不是直角三角形，故选项D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，逐项判断即可得出结论．
8．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 ，
∴，
∴函数图象经过一、二、四象限，
∴ABD不符合题意，C符合题意，
故答案为：C．
【分析】对于一次函数，当时，函数图象必过一、二、三象限；当时，函数图象必过一、三、四象限；当时，函数图象必过一、二、四象限；当时，函数图象必过二、三、四象限，据此直接得到答案.
9．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴＜＜＜，
∴四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是丙团，
故答案为：C
【分析】根据题意直接比较其方差，进而即可求解。
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，AE=10，BE=24，
∴小正方形的边长为24-10=14，
∴，
故答案为：D．
【分析】先结合全等三角形对应边相等的性质求出小正方形的边长14，然后利用勾股定理即可得出EF的长.
11．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①由作图可知，，则是等腰三角形，故A正确；
②由作图可知，，则不是等腰三角形，故B错误；
③由作图可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故C正确；
④由作图可知，，则不是等腰三角形，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线、角平分线的尺规作图以及等腰三角形判定可直接判断①②④，然后结合平行四边形的性质以及平行线的性质可判断②．
12．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A、由图像可知，随的增大而增大，故A正确；
B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，
∴，故B正确；
C、由图象可知，当时，，故C错误；
D、由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为，故D正确；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的图象与性质判断A正确；根据两直线与y轴的交点可判断B正确；根据一次函数与一元一次不等式可判断C错误；根据一次函数与二元一次方程组的关系可判断D正确.
13．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
14．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线的图象向上平移5个单位长度后，解析式是.
故答案为：．
【分析】根据一次函数的平移规律：上加下减，即可求解．
15．【答案】20°
【知识点】菱形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∴∠CDO=∠DBH，∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠DCO+∠DBH=90°，
∵DH⊥AB，
∴∠DBH+∠HDO=90°，
∴∠DCO=∠HDO，
∵∠CAD=20°，AD=CD，
∴∠DCO=∠CAD=∠HDO=20°，
∵DH⊥CD，OD＝OB，
∴OH＝OD，
∴∠DHO=∠HDO=20°，
故答案为：20°．
【分析】根据菱形的性质得AD=CD，OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，从而得∠DCO=∠HDO，进而根据等腰三角形“等边对等角”性质得∠DCO=∠CAD=∠HDO=20°，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得OH＝OD，于是有∠DHO=∠HDO=20°.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长至，使得，连接，
，
，
是等边三角形，
，
，
是的中点，平分的周长，
，，
，
，
，即，
是的中位线，
，
故答案为：．
【分析】延长至，使得，连接，得证是等边三角形，根据等边三角形的性质得的值，然后证明，最后根据三角形中位线定理得的值．
17．【答案】解：（1）原式
（2）原式
，
当时，原式
【知识点】二次根式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先对二次根式进行化简，然后进行二次根式的乘法运算，最后进行二次根式的减法运算；
（2）先根据单项式乘多项式、完全平方公式进行去括号，然后合并同类项将原式进行化简，最后将字母的值代入进行求解.
18．【答案】（1）解：如图1，边长为的正方形即为所求；
（2）解：如图2，边长分别为2，，的三角形即为所求；
（3）解：如图3，连接，
根据题意，得 ，，
，
，
是等腰直角三角形，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据正方形的定义，利用勾股定理画出边长为的正方形即可；
（2）利用勾股定理以及数形结合的思想画出图形即可；
（3）连接，利用勾股定理可得，，然后根据勾股定理逆定理证出是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质得到答案.
19．【答案】（1）85；87；七
（2）解：（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
（3）解：我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好
20．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是矩形， ，
∴，
由（1）得四边形是平行四边形，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可证明结论；
（2）根据矩形的性质可得，然后根据平行四边形的性质，即可求得．
21．【答案】（1）解：将代入，得，
，
将代入：，得，
解得：
（2）解：直线与轴的交点为，
，
，
，
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把M点坐标代入直线的表达式中求出a的值，即可得M的坐标，再将M的坐标代入直线的表达式中可求得的值；
（2）先求得的坐标，从而得，进而结合M点坐标，根据三角形面积公式即可求解.
（1）解：直线与直线的交点为，
在直线上，也在直线上，
，
，
，
解得；
（2）解：直线与轴的交点为，
当时，，
，
，
，
．
22．【答案】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，
根据题意，得，
解得：，
∴每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元
（2）解：∵型垃圾箱的数量为个，购买两种型号的垃圾箱共个，
∴型垃圾箱的数量为个，
∵型垃圾箱数量不超过型垃圾箱的数量，
∴，
解得：，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，，
∴总费用至少要元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据“ 买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元；买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元”列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）先求出型垃圾箱的数量为个，然后根据型垃圾箱数量不超过型垃圾箱的数量求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数解析式，最后根据一次函数的性质可求出的最小值.
（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，
由题意得，，
解得，
答：每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元；
（2）解：∵型垃圾箱的数量为个，
∴型垃圾箱的数量为个，
∵型垃圾箱数量不超过型垃圾箱的数量，
∴，
∴，
又由题意可得，，
即，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，元，
即费用至少要元．
23．【答案】（1）解：如图，过点B作BC⊥AD于C，
∴∠BED=∠EDC=∠BCD=∠BCA=90°，
∴四边形BEDC是矩形，
∵ED=15，BE=1.6，
∴BC=ED=15，CD=BE=1.6，
∵AB=17，
∴在中，有，
∴AD=AC+CD=8+1.6=9.6，
∴AD的长为9.6米；
（2）解：∵风筝沿方向再上升12米后，
∴AC=12+8=20，
∴此时风筝线的长为，
∴25-17=8（米），
∴小明同学应该再放出8米线．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）过点B作BC⊥AD于C，易证四边形BEDC是矩形，然后根据矩形的性质得BC=ED=15，CD=BE=1.6，在中，利用勾股定理求出AC的长，从而求出AD的长；
（2）先求出风筝沿DA方向再上升12米后AC的长，然后利用勾股定理求出风筝线AB的长，再根据题意计算，得到答案．
24．【答案】（1）3；6
（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，平行于墙的一边为米，
∵长方形花园的面积为50平方米，
∴，
∴，
∴篱笆的周长为米，
令，则由，得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为20，
∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）解：令，，则由，得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6，
故答案为：3；6
【分析】（1）根据材料的例子求解方法进行解答即可；
（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为米，平行于墙的一边为米，得，于是有，从而得篱笆的周长为米，再根据材料中例子的求解方法求出的最小值即可．
（1）解：令，，则由，得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6，
故答案为：6．
（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
∵，当且仅当时，的值最小，最小值为20，
∴或（舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米．
25．【答案】【问题情境】解：，理由如下：
如图1，取的中点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
、分别是、的中点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
【实践探究】解：如图2，在上取一点，使得，连接，
由（1）同理可得，
∵是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
，
，
，，
，
又∵，
，
，
∵，
；
【拓展迁移】解：如图3，连接，作，交的延长线于，交于，连接，，
由（2）知，，
，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，
点与关于对称，
，
∴最小值为的长，
，
，，
由勾股定理得，
周长的最小值为．
【知识点】三角形三边关系；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【分析】【问题情境】取的中点，连接，根据正方形的性质得，从而得
，，然后求出，，，进而推出，即可得证；
【实践探究】在上取一点，使得，连接，由（1）同理可得，根据等腰直角三角形的性质得，从而推出，进而得，然后求出，于是得，则有，最后即可求出；
【拓展迁移】作，交的延长线于，交于，连接，推出是等腰直角三角形，可知点与关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出的长，进而得出答案．
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