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四川省成都市武侯区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·武侯期末）中国新能源汽车产销量连续9年位居全球第一，下列新能源汽车的车标中，为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】A、此选项中新能源汽车车标不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此选项中新能源汽车车标不是中心对称图形，故此选项错误；
C、此选项中新能源汽车车标不是中心对称图形，故此选项错误；
D、此选项中新能源汽车车标是中心对称图形，故此选项正确．
故答案为：D．
【分析】在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此逐一判断得出答案.
2．（2024八下·武侯期末）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，故此选项原分解错误，不符合题意；
B、，故此选项原分解错误，不符合题意；
C、，故此选项原分解正确，符合题意；
D、，故此选项原分解错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断因式分解是否正确，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
3．（2024八下·武侯期末）若分式的值为0，则实数x应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．或
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得
，
解得：，
故答案为：B．
【分析】 由分式值为零的条件“分子等于零，且分母不为零”，列出混合组，求出x的值即可.
4．（2024八下·武侯期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：如图所示：关于的不等式的解集是：．
故答案为：C.
【分析】求关于x的不等式kx+b＞0的解集，就是求一次函数y=kx+b的函数值＞0时对应x的取值范围，从图象角度看，就是求x轴上方部分图象对应的自变量x的取值范围，结合其与x轴交点坐标即可得出答案.
5．（2024八下·武侯期末）如图，在中，，现将绕着顶点顺时针旋转至处，其中点，的对应点分别为，，点在内部，过作于点，若，，则线段的长为（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由旋转可知：，，
∵，
∴
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】由旋转性质得∠DAE=∠BAC=60°，AC=AE，由角的构成可得∠EAF=∠DAE-∠CAD=45°，由等腰直角三角形的性质得AF=EF，最后利用勾股定理算出AE即可得出答案.
6．（2024八下·武侯期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
分三种情况：
①当，时，点的坐标为；
②当，时，点的坐标为；
③当，时，点的坐标为.
故答案为：A．
【分析】分三种情况：①AB∥CD，AD∥BC时，②AB∥CD，AC∥BD时，③AD∥BC，AC∥BD时，分别根据点的坐标与图形性质可得点D的坐标，从而即可逐一判断得出答案.
7．（2024八下·武侯期末）如图，在中，，．现以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交线段于点．若，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
由作图过程可知，为的平分线，
，
．
在中，，
．
故答案为：B．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，在中，根据含30°角直角三角形的性质可得．
8．（2024八下·武侯期末）2024年5月18日，“万人农耕”大地艺术创作活动在成都世园会新津分会场——天府农博园开启，市民游客在这里呈现了一场与4500年农耕文明的互动，共绘农商文旅体融合的生动画卷．某班学生与家长分别组成学生组和家长组参加了插秧活动，先由学生组独立进行，3小时完成了总任务的一半；而后家长组加入，再共同进行1小时完成了剩下任务．如果设家长组独立进行x小时可以完成总任务，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：A．
【分析】设工作总量为单位“1”，根据题意可知，学生组的工作效率为，家长组的工作效率为，然后根据工作效率×工作时间等于工作总量及“学生组工作1小时的工作量+家长组工作1小时的工作量=总工作量的一半”列出方程即可.
9．（2024八下·武侯期末）五边形的内角和等于　 　 度．
【答案】540
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：五边形的内角和=（5﹣2） 180°=540°．
故答案为：540．
【分析】直接根据n边形的内角和=（n﹣2） 180°进行计算即可．
10．（2024八下·武侯期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点B．则点B的坐标是　 　．
【答案】(-1，1)
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点A(1，2)先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点B，则点B的坐标是(1-2，2-1)，即(-1，1)．
故答案为：(-1，1)．
【分析】根据点的坐标平移规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”直接求解即可.
11．（2024八下·武侯期末）若点与点关于点对称， 则　 　，　 　．
【答案】；
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点与点关于点对称，
∴P是线段MN的中点，
，
，
故答案：，．
【分析】根据中心对称的性质可得点P是线段MN的中点，从而根据平面内中点坐标公式求解即可.
12．（2024八下·武侯期末）如图，在中，对角线与相交于点E，若，则线段的长为　 　．
【答案】3
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，，
∴
故答案为：3.
【分析】由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分得BE=BD=，CE=AC=2，AC⊥BD，进而在Rt△BCE中，利用勾股定理求出BC的长即可.
13．（2024八下·武侯期末）定义：若关于x的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为　 　．
【答案】4
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解：由①得，
由②得，
原不等式组的解集为，
解集是一个对称集，
，
解得：；
故答案为：4．
【分析】将c作为参数，根据解不等式的步骤分别解出不等式组中每一个不等式的解集，然后由该不等式组有解集结合口诀“大小小大中间找”可得该不等式组的解集为-2＜x＜c-2，进而由“对称集”的定义，即可求解．
14．（2024八下·武侯期末）因式分解
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）首先将多项式去括号整理成关于x的二次三项式的一般形式，再利用完全平方公式法因式分解即可；
（2）先提出各项公因式y，再利用平方差公式法继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
（1）解：
；
（2）解：
15．（2024八下·武侯期末）（1）解不等式组并将其解集表示在所给数轴上．
（2）解分式方程：（要求写出检验过程）
【答案】解：（1）
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为：，
把该不等式组的解集表示在数轴上如图所示，
（2）
，
检验：把代入得，
∴是原方程的解．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可；
（2）方程两边同时乘以各个分母的最简公分母2(x+3)约去分母，把分式化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得解．
16．（2024八下·武侯期末）（1）化简：；
（2）请在以下四个数：，，1，3中，选择一个适当的数作为的值，求出（1）中代数式的值．
【答案】解：（1）原式
；
（2）由题意得：，3，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）首先把“1”看成，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后利用同分母分式减法计算括号内的部分，并把第二个分式的分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，然后计算分式乘法，约分化简；
（2）根据原分式有意义的条件确定a的值，代入计算得到答案．
17．（2024八下·武侯期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．．
（1）将进行平移得到，其中点A的对应点为，点B，C的对应点分别为，请在图中画出并直接写出点和的坐标；
（2）将绕原点顺时针旋转得到，其中点A，B，C的对应点分别为，请在图中画出，并直接写出点和的坐标；
（3）连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：如图，为所求，且，；
（2）解：如图，则△为所求，且
（3）解：如图，
，
且，
四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，观察A与A1点得出平移的方向和距离，将△ABC向左平移6个单位，再向下平移1个单位，据此分别作出点B、C向左平移6个单位，再向下平移1个单位后的对应点B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得到所求的△A1B1C1，进而根据点B1、C1的位置读出其坐标；
（2）利用方格纸的特点结合旋转的方向和距离，将A、B、C三点都绕点O顺时针旋转90°，得到其对应点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可得到所求的△A2B2C2，进而根据点B2、A2的位置读出其坐标；
（3）利用方格纸的特点及勾股定理算出B1C1=A2B2，C1A2=B1B2，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可．
（1）解：如图，为所求，且，；
（2）解：如图，则△为所求，且
（3）解：如图，
，
且，
四边形为平行四边形．
18．（2024八下·武侯期末）在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线 与x轴相交于点C，与直线相交于点D，连接BC．
（1）分别求点A，B，C的坐标；
（2）设的面积为，的面积为，若，求直线的函数表达式；
（3）以，为边，连接，交于点F，分别取的中点M，的中点N，连接，，当取得最小值时，求此时的面积．
【答案】（1）解：对于直线，
当时，，
当时，，
解得：，
，，
对于直线，
当时，，
解得：，
，
故，，；
（2）解：，
，
①当时，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
，
解得：，
，
，
解得：，
直线的函数表达式为；
②当时，
，
，
，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
，
解得：，
，
，
解得：，
直线的函数表达式为；
综上所述：直线的函数表达式为或；
（3）解：如图，作轴交于，
由（1）得
，
四边形是平行四边形，
，
是的中点，是的中点，
，
，
，
取最小值时，取得最小值，
当时，取最小值，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故的面积为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形的中位线定理；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）分别令y=-x+4中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得点B、A的坐标；再令y=kx+2k(k≠0)中的y=0，算出对应的y的值，可得点C的坐标；
（2）①当时，由三角形面积分别求出S△ABC=12，，由可求出，代入，求出，从而可求出的坐标，进而将点D的坐标代入y=kx+2k算出k的值，即可得到直线l2的解析式； ②当时，由三角形面积分别求出，由可求出，代入，求出，从而可求出的坐标，进而将点D的坐标代入y=kx+2k算出k的值，即可得到直线l2的解析式；
（3）作轴交于H，首先根据两点间的距离公式算出BC的长，由平行四边形的对角线互相平分得CF=EF，由三角形中位线定理得，，可得，CD取最小值时，FM+FN取得最小值，当CD⊥AB时，CD取最小值；由勾股定理算出AB，由等腰直角三角形的性质得AH=DH=3，再由勾股定理得，进而根据BD=AB-AD算出BD，最后由即可求解．
（1）解：对于直线，
当时，，
当时，，
解得：，
，，
对于直线，
当时，，
解得：，
，
故，，；
（2）解：，
，
①当时，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
，
解得：，
，
，
解得：，
直线的函数表达式为；
②当时，
，
，
，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
，
解得：，
，
，
解得：，
直线的函数表达式为；
综上所述：直线的函数表达式为或；
（3）解：如图，作轴交于，
由（1）得
，
四边形是平行四边形，
，
是的中点，
是的中点，
，
，
，
取最小值时，取得最小值，
当时，取最小值，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故的面积为．
19．（2024八下·武侯期末）若，则代数式： 的值为　 　．
【答案】15
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵x=y+3，
∴x-y=3
∴
．
故答案为：15．
【分析】由已知等式可得x-y=3，对待求多项式前三项先利用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式法继续分解，然后整体代入按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
20．（2024八下·武侯期末）如图，已知用边长相等的三种不同形状的正多边形恰好可以实现平面镶嵌，其中有两种正多边形的形状分别是正方形和正六边形，则第三种正多边形的形状是　 　．
【答案】正十二边形
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，
第三种正多边形的一个内角的度数为，
设第三种正多边形的边数为x，则
解得x=12
第三种正多边形的形状是正十二边形．
故答案为：正十二边形．
【分析】先根据正n边形一个内角的度数为“”求出正方形及正六边形的一个内角的度数；进而根据两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角可得第三种图形的一个内角的度数，最后根据求正n边形一个内角的度数公式建立方程，求解即可.
21．（2024八下·武侯期末）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
化系数为1，得：，
∵原分式方程得解为正数，且，
∴，且，
解得：且．
故答案为：且．
【分析】将m作为字母参数，根据解分式方程的步骤：首先去分母化成整式方程，再解整式方程求得x的值，然后根据方程的解是正数可得x＞0，且x≠3，据此建立不等式组，求解即可.
22．（2024八下·武侯期末）如图，在中，，，在的内部取一点，连接，，，若，，则点到的距离为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：延长交于点，过点作于点，
∵，
∴，即，点在线段的垂直平分线上，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
∴，，
∴在中，即，
解得，
在中，，
∴即，
解得，
∵，
∴，
∴点到的距离为．
故答案为：．
【分析】延长CP交AB于点M，过点P作PN⊥AC于点N，由等边对等角、角的构成及已知可推出∠PAB=∠PBA，由等角对等边得PA=PB，由到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线可得PC是线段AB的垂直平分线，在Rt△AMC中，利用勾股定理建立方程求出CM，在Rt△APM中，利用勾股定理建立方程求出AP，进而再在Rt△APN中，由勾股定理算出PN即可得出答案.
23．（2024八下·武侯期末）如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为　 　，线段的最小值为　 　．
【答案】；
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；点与圆的位置关系；平移的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点作交于点，连接，
∵平行四边形的面积为
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
以点为圆心，半径为画圆，为，
∵沿某一方向平移个单位长度后得到，
∴在上运动，连接，，，
在中，，
∴当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值为；
∴的最大值为；
过点作且，
以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点，
∵，，
∴，
∵点在上运动，，
∴在上运动，
在中，，
∴当与重合时，此时有最小值为，
∴的最小值为．
故答案为：；．
【分析】过点A作交BC于点E，连接AC，根据平行四边形的面积公式算出AE，然后由勾股定理求出BE，AC；以点A为圆心，半径为3画圆，为，由平移的性质得及点与圆的位置关系得点A1在上运动，连接AA1，AC1，A1C1；根据三角形三边的关系，当A1，C1，A三点共线且A1在C1，A的中间，此时AC1有最大值，即可；过点A作AO⊥AD且AO=AD=5，以点O为圆心，半径为3画圆，连接BO并延长OB交于于点D'，根据勾股定理求出OB；根据三角形三边的关系，当D2与D'重合时，此时BD2有最小值即可．
24．（2024八下·武侯期末）年成都糖酒会于月日至月日举行．某商店用元购进第一批糖果若干件，很快售完；接着又用元购进第二批相同件数的同种糖果，且第二批糖果每件的进价比第一批高元．
（1）第一批糖果每件的进价是多少元？两批糖果所购数量均为多少件？
（2）两批糖果均按每件元出售，为加快销售，商家决定将最后的件打折销售，如果两批糖果全部售完后所得利润不低于元（不考虑其他因素），求的最小值．
【答案】（1）解：第一批糖果每件的进价是元，则第二批糖果每件的进价是元，
依题意列方程得
解得：
经检验，是所列方程的解，
∴第一批糖果每件的进价是元，两批糖果所购数量均为件；
（2）解：依题意得
解得：，
∴的最小值为
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第一批糖果每件的进价是x元，则第二批糖果每件的进价是(x+50)元，根据总价除以单价等于数量及第一批用8000元购进糖果的数量等于第二批用10000元购进糖果的数量相等，列方程求解并检验即可；
（2）根据总售价减去总进价等于总利润及两批糖果全部售完后所得利润不低于元，列出不等式，求出最小整数解即可.
（1）解：第一批糖果每件的进价是元，则第二批糖果每件的进价是元，依题意列方程得
解得：
经检验，是所列方程的解，
∴第一批糖果每件的进价是元，两批糖果所购数量均为件；
（2）解：依题意得
解得：，
∴的最小值为
25．（2024八下·武侯期末）【探究发现】
某校数学兴趣小组开展了如下探究活动．
如图1，在中，，于点D．设．
（1）请完成下列填空．
小明说：可以用含a、b的代数式表示，则；
小颖说：也可以用含a、b、m的代数式表示，则
小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则 ；
小亮说：可以用含a、b的代数式表示的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 ；
（2）若的面积为6，求m的最大值．
【迁移应用】
（3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？
【答案】解：（1），，；
（2）的面积为6，
．
．
，
．
，
．
的最大值为；
（3）如图，
设图2中与墙平行的边长，垂直于墙的边长．
面积为32平方米，
．
由（1）得：，
．
．
．
．
小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为32米．
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1），
．
，．
．
，
．
整理得：．
（取正值）．
设是的斜边上的中线．
①若为一般的直角三角形，
则．
②若为等腰直角三角形．
则．
综上．
．
故答案为：，，；
【分析】（1）在Rt△ADC与Rt△BDC中，分别利用勾股定理用含a、b、m的式子AC2与BC2，再将两式相加即可得出小颖的结论；然后根据小明和小颖得到的结论，整理即可得到m用a，b表示的式子；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE= ，然后分Rt△ABC可能是一般直角三角形与等腰直角三角形两种情况可得CE≥CD，据此可得结论；
（2）根据Rt△ABC的面积为6，用直角三角形的斜边和斜边上的高表示出Rt△ABC的面积，进而根据（1）中最后一问得到的结论，用含的式子表示，即可得到的最大值；
（3）设图2中与墙平行的边AB长xm，垂直于墙的边AD长ym，根据长方形面积计算公式可得xy=32，根据（1）中得到的结论：，那么，进而可得所有虚线的和为，根据，整理可得所有虚线和的最小值．
26．（2024八下·武侯期末）如图，已知的周长为．
（1）求线段的长；
（2）若，连接，在线段上取一点，连接．
i）当是以为斜边的直角三角形时，求的长；
ii）作，连接，试问：是否存在点，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵的周长为，
∴，即，
∴；
（2）解：i）如图，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∵是以为斜边的直角三角形，
∵，
∵，
∴即，
解得；
ii）过点作于点，以为腰作等腰直角，，连接，，则，，
∴，
由）得，，，
∴四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
根据图形，由两点之间线段最短可得，当且仅当、、三点共线时，等号成立，
∴时，、、三点共线，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴由i）得，，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；正方形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边相等，得AB=CD，AD=BC，然后根据平行四边形的周长公式建立等式，进而将代入求解即可；
（2）i）过点D作DM⊥BC于点M，由平行四边形对边平行得AB∥CD，由二直线平行同位角相等可得∠DCM=∠ABC=45°，由等腰直角三角形的性质得DM=CM，在Rt△DCM中，利用那个勾股定理得出DM=CM=2，在Rt△BDM中，利用勾股定理算出BD，利用面积法构造方程求解即可；
ii）过点D作DM⊥BC于点M，以AF为腰作等腰直角△AFH，连接AH，HF，则∠HAF=90°，∠AHF=45°，由勾股定理先表示出HF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、有一个内角为直角的平行四边形是矩形及有一组邻边相等的矩形是正方形”可得四边形ACMD是正方形，由正方形性质得∠CAD=∠HAF=90°，AD=AC，由同角的余角相等得∠HAC=∠FAD，进而用SAS判断出△AHC≌△AFD，由全等三角形的对应边相等得CH=DF，从而将转化为CF+DF≥HF，根据两点之间相等最短得C、H、F三点共线等号成立，最后结合平行四边形的性质及勾股定理求解即可．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵的周长为，
∴，即，
∴；
（2）解：i）如图，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∵是以为斜边的直角三角形，
∵，
∵，
∴即，
解得；
ii）过点作于点，以为腰作等腰直角，，连接，，则，，
∴，
由）得，，，
∴四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
根据图形，由两点之间线段最短可得，当且仅当、、三点共线时，等号成立，
∴时，、、三点共线，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴由i）得，，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，．
1 / 1四川省成都市武侯区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·武侯期末）中国新能源汽车产销量连续9年位居全球第一，下列新能源汽车的车标中，为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·武侯期末）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·武侯期末）若分式的值为0，则实数x应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．或
4．（2024八下·武侯期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·武侯期末）如图，在中，，现将绕着顶点顺时针旋转至处，其中点，的对应点分别为，，点在内部，过作于点，若，，则线段的长为（　　）
A． B． C．2 D．4
6．（2024八下·武侯期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·武侯期末）如图，在中，，．现以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交线段于点．若，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．3
8．（2024八下·武侯期末）2024年5月18日，“万人农耕”大地艺术创作活动在成都世园会新津分会场——天府农博园开启，市民游客在这里呈现了一场与4500年农耕文明的互动，共绘农商文旅体融合的生动画卷．某班学生与家长分别组成学生组和家长组参加了插秧活动，先由学生组独立进行，3小时完成了总任务的一半；而后家长组加入，再共同进行1小时完成了剩下任务．如果设家长组独立进行x小时可以完成总任务，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·武侯期末）五边形的内角和等于　 　 度．
10．（2024八下·武侯期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点B．则点B的坐标是　 　．
11．（2024八下·武侯期末）若点与点关于点对称， 则　 　，　 　．
12．（2024八下·武侯期末）如图，在中，对角线与相交于点E，若，则线段的长为　 　．
13．（2024八下·武侯期末）定义：若关于x的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为　 　．
14．（2024八下·武侯期末）因式分解
（1）
（2）
15．（2024八下·武侯期末）（1）解不等式组并将其解集表示在所给数轴上．
（2）解分式方程：（要求写出检验过程）
16．（2024八下·武侯期末）（1）化简：；
（2）请在以下四个数：，，1，3中，选择一个适当的数作为的值，求出（1）中代数式的值．
17．（2024八下·武侯期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．．
（1）将进行平移得到，其中点A的对应点为，点B，C的对应点分别为，请在图中画出并直接写出点和的坐标；
（2）将绕原点顺时针旋转得到，其中点A，B，C的对应点分别为，请在图中画出，并直接写出点和的坐标；
（3）连接，求证：四边形是平行四边形．
18．（2024八下·武侯期末）在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线 与x轴相交于点C，与直线相交于点D，连接BC．
（1）分别求点A，B，C的坐标；
（2）设的面积为，的面积为，若，求直线的函数表达式；
（3）以，为边，连接，交于点F，分别取的中点M，的中点N，连接，，当取得最小值时，求此时的面积．
19．（2024八下·武侯期末）若，则代数式： 的值为　 　．
20．（2024八下·武侯期末）如图，已知用边长相等的三种不同形状的正多边形恰好可以实现平面镶嵌，其中有两种正多边形的形状分别是正方形和正六边形，则第三种正多边形的形状是　 　．
21．（2024八下·武侯期末）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是　 　．
22．（2024八下·武侯期末）如图，在中，，，在的内部取一点，连接，，，若，，则点到的距离为　 　．
23．（2024八下·武侯期末）如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为　 　，线段的最小值为　 　．
24．（2024八下·武侯期末）年成都糖酒会于月日至月日举行．某商店用元购进第一批糖果若干件，很快售完；接着又用元购进第二批相同件数的同种糖果，且第二批糖果每件的进价比第一批高元．
（1）第一批糖果每件的进价是多少元？两批糖果所购数量均为多少件？
（2）两批糖果均按每件元出售，为加快销售，商家决定将最后的件打折销售，如果两批糖果全部售完后所得利润不低于元（不考虑其他因素），求的最小值．
25．（2024八下·武侯期末）【探究发现】
某校数学兴趣小组开展了如下探究活动．
如图1，在中，，于点D．设．
（1）请完成下列填空．
小明说：可以用含a、b的代数式表示，则；
小颖说：也可以用含a、b、m的代数式表示，则
小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则 ；
小亮说：可以用含a、b的代数式表示的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 ；
（2）若的面积为6，求m的最大值．
【迁移应用】
（3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？
26．（2024八下·武侯期末）如图，已知的周长为．
（1）求线段的长；
（2）若，连接，在线段上取一点，连接．
i）当是以为斜边的直角三角形时，求的长；
ii）作，连接，试问：是否存在点，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】A、此选项中新能源汽车车标不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此选项中新能源汽车车标不是中心对称图形，故此选项错误；
C、此选项中新能源汽车车标不是中心对称图形，故此选项错误；
D、此选项中新能源汽车车标是中心对称图形，故此选项正确．
故答案为：D．
【分析】在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，故此选项原分解错误，不符合题意；
B、，故此选项原分解错误，不符合题意；
C、，故此选项原分解正确，符合题意；
D、，故此选项原分解错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断因式分解是否正确，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得
，
解得：，
故答案为：B．
【分析】 由分式值为零的条件“分子等于零，且分母不为零”，列出混合组，求出x的值即可.
4．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：如图所示：关于的不等式的解集是：．
故答案为：C.
【分析】求关于x的不等式kx+b＞0的解集，就是求一次函数y=kx+b的函数值＞0时对应x的取值范围，从图象角度看，就是求x轴上方部分图象对应的自变量x的取值范围，结合其与x轴交点坐标即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由旋转可知：，，
∵，
∴
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】由旋转性质得∠DAE=∠BAC=60°，AC=AE，由角的构成可得∠EAF=∠DAE-∠CAD=45°，由等腰直角三角形的性质得AF=EF，最后利用勾股定理算出AE即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
分三种情况：
①当，时，点的坐标为；
②当，时，点的坐标为；
③当，时，点的坐标为.
故答案为：A．
【分析】分三种情况：①AB∥CD，AD∥BC时，②AB∥CD，AC∥BD时，③AD∥BC，AC∥BD时，分别根据点的坐标与图形性质可得点D的坐标，从而即可逐一判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
由作图过程可知，为的平分线，
，
．
在中，，
．
故答案为：B．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，在中，根据含30°角直角三角形的性质可得．
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：A．
【分析】设工作总量为单位“1”，根据题意可知，学生组的工作效率为，家长组的工作效率为，然后根据工作效率×工作时间等于工作总量及“学生组工作1小时的工作量+家长组工作1小时的工作量=总工作量的一半”列出方程即可.
9．【答案】540
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：五边形的内角和=（5﹣2） 180°=540°．
故答案为：540．
【分析】直接根据n边形的内角和=（n﹣2） 180°进行计算即可．
10．【答案】(-1，1)
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点A(1，2)先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点B，则点B的坐标是(1-2，2-1)，即(-1，1)．
故答案为：(-1，1)．
【分析】根据点的坐标平移规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”直接求解即可.
11．【答案】；
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点与点关于点对称，
∴P是线段MN的中点，
，
，
故答案：，．
【分析】根据中心对称的性质可得点P是线段MN的中点，从而根据平面内中点坐标公式求解即可.
12．【答案】3
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，，
∴
故答案为：3.
【分析】由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分得BE=BD=，CE=AC=2，AC⊥BD，进而在Rt△BCE中，利用勾股定理求出BC的长即可.
13．【答案】4
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解：由①得，
由②得，
原不等式组的解集为，
解集是一个对称集，
，
解得：；
故答案为：4．
【分析】将c作为参数，根据解不等式的步骤分别解出不等式组中每一个不等式的解集，然后由该不等式组有解集结合口诀“大小小大中间找”可得该不等式组的解集为-2＜x＜c-2，进而由“对称集”的定义，即可求解．
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）首先将多项式去括号整理成关于x的二次三项式的一般形式，再利用完全平方公式法因式分解即可；
（2）先提出各项公因式y，再利用平方差公式法继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
（1）解：
；
（2）解：
15．【答案】解：（1）
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为：，
把该不等式组的解集表示在数轴上如图所示，
（2）
，
检验：把代入得，
∴是原方程的解．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可；
（2）方程两边同时乘以各个分母的最简公分母2(x+3)约去分母，把分式化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得解．
16．【答案】解：（1）原式
；
（2）由题意得：，3，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）首先把“1”看成，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后利用同分母分式减法计算括号内的部分，并把第二个分式的分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，然后计算分式乘法，约分化简；
（2）根据原分式有意义的条件确定a的值，代入计算得到答案．
17．【答案】（1）解：如图，为所求，且，；
（2）解：如图，则△为所求，且
（3）解：如图，
，
且，
四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，观察A与A1点得出平移的方向和距离，将△ABC向左平移6个单位，再向下平移1个单位，据此分别作出点B、C向左平移6个单位，再向下平移1个单位后的对应点B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得到所求的△A1B1C1，进而根据点B1、C1的位置读出其坐标；
（2）利用方格纸的特点结合旋转的方向和距离，将A、B、C三点都绕点O顺时针旋转90°，得到其对应点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可得到所求的△A2B2C2，进而根据点B2、A2的位置读出其坐标；
（3）利用方格纸的特点及勾股定理算出B1C1=A2B2，C1A2=B1B2，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可．
（1）解：如图，为所求，且，；
（2）解：如图，则△为所求，且
（3）解：如图，
，
且，
四边形为平行四边形．
18．【答案】（1）解：对于直线，
当时，，
当时，，
解得：，
，，
对于直线，
当时，，
解得：，
，
故，，；
（2）解：，
，
①当时，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
，
解得：，
，
，
解得：，
直线的函数表达式为；
②当时，
，
，
，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
，
解得：，
，
，
解得：，
直线的函数表达式为；
综上所述：直线的函数表达式为或；
（3）解：如图，作轴交于，
由（1）得
，
四边形是平行四边形，
，
是的中点，是的中点，
，
，
，
取最小值时，取得最小值，
当时，取最小值，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故的面积为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形的中位线定理；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）分别令y=-x+4中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得点B、A的坐标；再令y=kx+2k(k≠0)中的y=0，算出对应的y的值，可得点C的坐标；
（2）①当时，由三角形面积分别求出S△ABC=12，，由可求出，代入，求出，从而可求出的坐标，进而将点D的坐标代入y=kx+2k算出k的值，即可得到直线l2的解析式； ②当时，由三角形面积分别求出，由可求出，代入，求出，从而可求出的坐标，进而将点D的坐标代入y=kx+2k算出k的值，即可得到直线l2的解析式；
（3）作轴交于H，首先根据两点间的距离公式算出BC的长，由平行四边形的对角线互相平分得CF=EF，由三角形中位线定理得，，可得，CD取最小值时，FM+FN取得最小值，当CD⊥AB时，CD取最小值；由勾股定理算出AB，由等腰直角三角形的性质得AH=DH=3，再由勾股定理得，进而根据BD=AB-AD算出BD，最后由即可求解．
（1）解：对于直线，
当时，，
当时，，
解得：，
，，
对于直线，
当时，，
解得：，
，
故，，；
（2）解：，
，
①当时，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
，
解得：，
，
，
解得：，
直线的函数表达式为；
②当时，
，
，
，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
，
解得：，
，
，
解得：，
直线的函数表达式为；
综上所述：直线的函数表达式为或；
（3）解：如图，作轴交于，
由（1）得
，
四边形是平行四边形，
，
是的中点，
是的中点，
，
，
，
取最小值时，取得最小值，
当时，取最小值，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故的面积为．
19．【答案】15
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵x=y+3，
∴x-y=3
∴
．
故答案为：15．
【分析】由已知等式可得x-y=3，对待求多项式前三项先利用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式法继续分解，然后整体代入按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
20．【答案】正十二边形
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，
第三种正多边形的一个内角的度数为，
设第三种正多边形的边数为x，则
解得x=12
第三种正多边形的形状是正十二边形．
故答案为：正十二边形．
【分析】先根据正n边形一个内角的度数为“”求出正方形及正六边形的一个内角的度数；进而根据两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角可得第三种图形的一个内角的度数，最后根据求正n边形一个内角的度数公式建立方程，求解即可.
21．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
化系数为1，得：，
∵原分式方程得解为正数，且，
∴，且，
解得：且．
故答案为：且．
【分析】将m作为字母参数，根据解分式方程的步骤：首先去分母化成整式方程，再解整式方程求得x的值，然后根据方程的解是正数可得x＞0，且x≠3，据此建立不等式组，求解即可.
22．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：延长交于点，过点作于点，
∵，
∴，即，点在线段的垂直平分线上，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
∴，，
∴在中，即，
解得，
在中，，
∴即，
解得，
∵，
∴，
∴点到的距离为．
故答案为：．
【分析】延长CP交AB于点M，过点P作PN⊥AC于点N，由等边对等角、角的构成及已知可推出∠PAB=∠PBA，由等角对等边得PA=PB，由到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线可得PC是线段AB的垂直平分线，在Rt△AMC中，利用勾股定理建立方程求出CM，在Rt△APM中，利用勾股定理建立方程求出AP，进而再在Rt△APN中，由勾股定理算出PN即可得出答案.
23．【答案】；
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；点与圆的位置关系；平移的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点作交于点，连接，
∵平行四边形的面积为
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
以点为圆心，半径为画圆，为，
∵沿某一方向平移个单位长度后得到，
∴在上运动，连接，，，
在中，，
∴当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值为；
∴的最大值为；
过点作且，
以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点，
∵，，
∴，
∵点在上运动，，
∴在上运动，
在中，，
∴当与重合时，此时有最小值为，
∴的最小值为．
故答案为：；．
【分析】过点A作交BC于点E，连接AC，根据平行四边形的面积公式算出AE，然后由勾股定理求出BE，AC；以点A为圆心，半径为3画圆，为，由平移的性质得及点与圆的位置关系得点A1在上运动，连接AA1，AC1，A1C1；根据三角形三边的关系，当A1，C1，A三点共线且A1在C1，A的中间，此时AC1有最大值，即可；过点A作AO⊥AD且AO=AD=5，以点O为圆心，半径为3画圆，连接BO并延长OB交于于点D'，根据勾股定理求出OB；根据三角形三边的关系，当D2与D'重合时，此时BD2有最小值即可．
24．【答案】（1）解：第一批糖果每件的进价是元，则第二批糖果每件的进价是元，
依题意列方程得
解得：
经检验，是所列方程的解，
∴第一批糖果每件的进价是元，两批糖果所购数量均为件；
（2）解：依题意得
解得：，
∴的最小值为
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第一批糖果每件的进价是x元，则第二批糖果每件的进价是(x+50)元，根据总价除以单价等于数量及第一批用8000元购进糖果的数量等于第二批用10000元购进糖果的数量相等，列方程求解并检验即可；
（2）根据总售价减去总进价等于总利润及两批糖果全部售完后所得利润不低于元，列出不等式，求出最小整数解即可.
（1）解：第一批糖果每件的进价是元，则第二批糖果每件的进价是元，依题意列方程得
解得：
经检验，是所列方程的解，
∴第一批糖果每件的进价是元，两批糖果所购数量均为件；
（2）解：依题意得
解得：，
∴的最小值为
25．【答案】解：（1），，；
（2）的面积为6，
．
．
，
．
，
．
的最大值为；
（3）如图，
设图2中与墙平行的边长，垂直于墙的边长．
面积为32平方米，
．
由（1）得：，
．
．
．
．
小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为32米．
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1），
．
，．
．
，
．
整理得：．
（取正值）．
设是的斜边上的中线．
①若为一般的直角三角形，
则．
②若为等腰直角三角形．
则．
综上．
．
故答案为：，，；
【分析】（1）在Rt△ADC与Rt△BDC中，分别利用勾股定理用含a、b、m的式子AC2与BC2，再将两式相加即可得出小颖的结论；然后根据小明和小颖得到的结论，整理即可得到m用a，b表示的式子；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE= ，然后分Rt△ABC可能是一般直角三角形与等腰直角三角形两种情况可得CE≥CD，据此可得结论；
（2）根据Rt△ABC的面积为6，用直角三角形的斜边和斜边上的高表示出Rt△ABC的面积，进而根据（1）中最后一问得到的结论，用含的式子表示，即可得到的最大值；
（3）设图2中与墙平行的边AB长xm，垂直于墙的边AD长ym，根据长方形面积计算公式可得xy=32，根据（1）中得到的结论：，那么，进而可得所有虚线的和为，根据，整理可得所有虚线和的最小值．
26．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵的周长为，
∴，即，
∴；
（2）解：i）如图，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∵是以为斜边的直角三角形，
∵，
∵，
∴即，
解得；
ii）过点作于点，以为腰作等腰直角，，连接，，则，，
∴，
由）得，，，
∴四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
根据图形，由两点之间线段最短可得，当且仅当、、三点共线时，等号成立，
∴时，、、三点共线，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴由i）得，，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；正方形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边相等，得AB=CD，AD=BC，然后根据平行四边形的周长公式建立等式，进而将代入求解即可；
（2）i）过点D作DM⊥BC于点M，由平行四边形对边平行得AB∥CD，由二直线平行同位角相等可得∠DCM=∠ABC=45°，由等腰直角三角形的性质得DM=CM，在Rt△DCM中，利用那个勾股定理得出DM=CM=2，在Rt△BDM中，利用勾股定理算出BD，利用面积法构造方程求解即可；
ii）过点D作DM⊥BC于点M，以AF为腰作等腰直角△AFH，连接AH，HF，则∠HAF=90°，∠AHF=45°，由勾股定理先表示出HF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、有一个内角为直角的平行四边形是矩形及有一组邻边相等的矩形是正方形”可得四边形ACMD是正方形，由正方形性质得∠CAD=∠HAF=90°，AD=AC，由同角的余角相等得∠HAC=∠FAD，进而用SAS判断出△AHC≌△AFD，由全等三角形的对应边相等得CH=DF，从而将转化为CF+DF≥HF，根据两点之间相等最短得C、H、F三点共线等号成立，最后结合平行四边形的性质及勾股定理求解即可．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵的周长为，
∴，即，
∴；
（2）解：i）如图，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∵是以为斜边的直角三角形，
∵，
∵，
∴即，
解得；
ii）过点作于点，以为腰作等腰直角，，连接，，则，，
∴，
由）得，，，
∴四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
根据图形，由两点之间线段最短可得，当且仅当、、三点共线时，等号成立，
∴时，、、三点共线，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴由i）得，，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，．
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