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浙江省金华市十校2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试题
1．（2024高一下·金华期末）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·金华期末）“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高一下·金华期末）数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为（　　）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
4．（2024高一下·金华期末）复数，则（　　）
A．5 B． C． D．32
5．（2024高一下·金华期末）已知，点关于点A的对称点为，点关于点的对称点为，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·金华期末）某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·金华期末）若函数（是常数）有且只有一个零点，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2024高一下·金华期末）已知三个内角，，的对边分别是，，，且满足，则面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·金华期末）对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（　　）
A．若与互斥，则 B．若与互斥，则
C．若，则 D．若与相互独立，则
10．（2024高一下·金华期末）已知与分别是异面直线与上的不同点，，，，分别是线段，，，上的点.以下命题正确的是（　　）
A．直线与直线可以相交，不可以平行
B．直线与直线可以异面，不可以平行
C．直线与直线可以垂直，可以相交
D．直线与直线可以异面，可以相交
11．（2024高一下·金华期末）小明在研究物理中某种粒子点的运动轨迹，想找到与的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现和都与某个变量有关联，且有.小明以此为依据去判断函数的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大！我们来看看，小明的以下结论正确的是（　　）
A．函数的图象关于原点对称 B．函数是以为周期的函数
C．函数的图象存在多条对称轴 D．函数在上单调递增
12．（2024高一下·金华期末）已知函数，则　 　.
13．（2024高一下·金华期末）甲船在岛的正南方向处，千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自岛出发向北偏东的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为　 　千米.
14．（2024高一下·金华期末）在中，，，，在边上，延长到，使.若，则　 　.
15．（2024高一下·金华期末）已知是夹角为的两个单位向量，.
（1）若可以作为一组基底，求实数的取值范围；
（2）若垂直，求实数的值；
（3）求的最小值.
16．（2024高一下·金华期末）已知函数.
（1）求函数的值域和其图象的对称中心；
（2）在中，三个内角，，的对边分别是，，，满足，，，求的面积的值.
17．（2024高一下·金华期末）在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格.
（1）求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.
（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.
18．（2024高一下·金华期末）在四棱台中，，平面平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值；
（3）若是的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.
19．（2024高一下·金华期末）假设是定义在一个区间上的连续函数，且.对，记，，…，.若某一个函数满足，则有（其中，为关于的方程的两个根，，是可以由，来确定的常数）.
（1）若，且满足.
（ⅰ）求，的值；
（ⅱ）求的表达式；
（2）若函数的定义域为，值域为，且，且函数满足，求的解析式.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知.
故答案为：A.
【分析】直接利用集合的交集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由 可得 ，
由 ，得到 或 ， ，不能得到 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故答案为：A.
【分析】根据 和 之间能否推出的关系，得到答案.
3．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解： 数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为，
则组数据的中位数为.
故答案为：C.
【分析】根据中位数的求解方法求解即可.
4．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，
则.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得复数z，再根据复数的模长公式计算即可.
5．【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：，
因为点关于点A的对称点为，点关于点的对称点为，
所以，
两式相减可得.
故答案为：D.
【分析】根据向量加、减法的法则求解即可.
6．【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设球与圆锥底面相切于点，与母线相切于点，如图所示：
易知，
设母线长，在中，，
因为，所以，
则，化简得，解得，
则圆锥的侧面积为：.
故答案为：C.
【分析】由题意，求出圆锥的母线长，利用公式求侧面积即可.
7．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
且，则函数为偶函数，
因为函数有且只有一个零点，所以函数过坐标原点，
即，解得.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性，由函数有且只有一个零点，过坐标原点求解即可.
8．【答案】B
【知识点】基本不等式；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：，则，，
即，
由余弦定理可得：，
因为，
所以①，②，
①②可得：，
又因为，
所以，
则，
即，即，
解得，
当且仅当时，即，时等号成立，
故面积的最大值为.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据余弦定理以及三角形的面积公式求得，再利用两次基本不等式得到，即可求面积的最大值.
9．【答案】B,D
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件
【解析】【解答】解：AB、若与互斥，则，，
故A错误，B正确；
C、若，则，即，故C错误；
D、若与相互独立，则，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由互斥事件的定义，代入计算即可判断AB；由，则即可判断C；由相互独立事件的定义即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】解：A、若直线与直线相交，则四点共面，即直线与共面，
与直线与异面矛盾，则直线与直线不可以相交，故A错误；
B、当分别和重合时，直线与直线异面，
直线与直线不可以平行，假如直线与直线平行，
平面，平面，故平面，
但与平面有交点，显然这是不可能的，假设不成立，故B正确；
C、当均与重合，此时直线与直线相交，
当调整的位置，可能有⊥，且令分别与重合，
此时满足直线与直线垂直，
故直线与直线可以垂直，可以相交，故C正确；
D、当均与重合，或均与重合时，直线与直线相交，
当时，与平行，当时，与平行，此时与平行，
其他情况，直线与直线异面，
故直线与直线可以异面，可以相交，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】假设直线与直线相交，推出矛盾即可判断A；先根据特殊位置得到两直线异面，再假设两直线平行，推出矛盾即可判断B；根据特殊位置可以得到两直线垂直和相交即可判断C；由特殊位置得到两直线可能异面，可能相交，也可以平行即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：A、由题意知，则不可能关于原点对称，故A错误；
B、函数周期为，则是以为周期的函数，故B正确；
C、当时，则有多条对称轴，故C正确；
D、设单调递增，
单调递增，根据复合函数的单调性可得：在单调递增，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据y的取值情况即可判断A；根据正弦余弦函数周期性即可判断B；根据圆的特性即可判断C；根据复合函数单调性即可判断D.
12．【答案】2
【知识点】函数的值；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数，
则，.
故答案为：2.
【分析】根据函数的解析式代值求值即可.
13．【答案】
【知识点】余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设甲船航行到点，同时乙船航行到点，如图所示：
易知，，
设，则，
在中，由余弦定理，
可得，
当时，取最小值为，
即甲、乙两船的最近距离为千米.
故答案为：.
【分析】由题意，利用余弦定理将甲、乙两船的距离表示出来，再求最小值即可.
14．【答案】4
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则，易知，
设，
，
，
若，
则，解得，
因为，所以，，
则.
故答案为：4.
【分析】建系标点，设，根据向量的坐标运算解得，进而可得，结合图形求解即可.
15．【答案】（1）解：若可以作为一组基底，则不平行，
因为不共线，所以，即，
则实数的取值范围为；
（2）解：若垂直，则，
即，
因为，所以，解得；
（3）解：，
当时，取得最小值3，则的最小值为.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量不平行，的系数比值不相等求解即可；
（2）根据，结合数量积运算性质求解即可；
（3）将向量模转化为数量积，根据二次函数性质求解即可.
（1）因为可以作为一组基底，所以不平行，
又不共线，所以，即，
所以，实数的取值范围为.
（2）因为垂直，所以，
即，
又，
所以，解得.
（3）因为，
所以，当时，取得最小值3，
所以的最小值为.
16．【答案】（1）解：函数，值域为，
令，解得，
则函数的对称中心坐标为；
（2）解：由（1）可得：，则，
因为，所以，所以或，即或，
又因为，所以，
由余弦定理得，即，解得或4，
当时，；
当时，.
故的面积为或.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，根据正弦函数性质求值域，利用整体代入法求对称中心；
（2）根据求角，利用余弦定理求出c，代入面积公式求解即可.
（1），所以值域为，
令，得，
所以的对称中心坐标为.
（2）由得，
，，
所以或，即或，
，，
由余弦定理得，
即，解得或4.
当时，；
当时，.
故所求的面积为或.
17．【答案】（1）解：根据频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，解得，
因为小时，
所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时；
（2）解：时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格，
由题意知，即求60百分位数，又，，
所以60百分位数位于18~22之间，
设60百分位数为，则，解得小时.
故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀；
（3）解：根据分层抽样可知：优秀生有人，
良好生人，
合格生有人，
优秀记为，良好记为，合格记为，
从这5名学生中，任选3人， 总共有，10种情况，
其中符合条件的有，共4种，
故概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图各矩形面积和为1列方程，求出，利用平均数的定义进行计算即可；
（2）即求60百分位数，先得到60百分位数位于18~22之间，设出60百分位数为，从而得到方程，求解即可；
（3）按照分层抽样的概念得到优秀，良好，及格的人数，并列举结合古典概型概率公式求概率即可.
（1）由，解得，
因为小时，
所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.
（2）时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格，
由题意知，即求60百分位数，又，，
所以60百分位数位于18~22之间，
设60百分位数为，则，解得小时.
故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀.
（3）易知，5名学生中，
优秀有人，设为，
良好有人，设为，
合格有人，设为.
任选3人，总共有，10种情况，
其中符合的有，共4种，
故概率为.
18．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
因为，，所以是平行四边形，，
又因为面，面，所以平面；
（2）解：在梯形中，由已知可得，
平面平面，是交线，则面，
以A为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，
则，即直线与直线所成角的余弦值；
（3）解：，，
设是平面的法向量，则，
令，得，
又因为是平面的法向量，所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据平行直线的传递性可得，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，利用公式求解即可；
（3）利用二面角的定义找出就是二面角的平面角，求出平面的法向量和平面的法向量，利用求解即可.
（1）连接，，，
是平行四边形，.
又面，面，故平面
（2）法一：取中点，连，，，则，，
所以就是直线与所成的角.
在梯形中，由已知可得，
又平面平面，是交线，
平面，平面，，，
，
所以，直线与直线所成角的余弦值为.
法二：在梯形中，由已知可得，
平面平面，是交线，
面，
如图，以A为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，
，
.
（3）法一：过作延长线的垂线于，连接，取中点，连接，
过作，连接.
易证面，
则就是二面角的平面角.
，，
所以，
故.
法二：，，
设是平面的法向量，则
令，得，
又是平面的法向量，
所以.
19．【答案】（1）解：（ⅰ）由题意知，因为，，
所以，，
（ⅱ） 由题意知，，
又，为的两个根1，，所以，
又因为，所以，则；
（2）解：由题意知，，为关于的方程的两个根，则，即，
因为值域为，易知，所以，则，
，则.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）（ⅰ）由题意知，利用递推关系求解即可；
（ⅱ）由题意知，又，为的两个根可得，从而可得求解即可；
（2）由题意得，又由值域为可得，从而可得，再由求解即可.
（1）（ⅰ）由题意知，又，，
所以，.
（ⅱ） 由题意知，，
又，为的两个根1，，
.
又，所以，
.
（2）由题意知，，为关于的方程的两个根，
所以，则，
因为值域为，易知；
，则，
，
.
1 / 1浙江省金华市十校2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试题
1．（2024高一下·金华期末）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知.
故答案为：A.
【分析】直接利用集合的交集运算求解即可.
2．（2024高一下·金华期末）“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由 可得 ，
由 ，得到 或 ， ，不能得到 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故答案为：A.
【分析】根据 和 之间能否推出的关系，得到答案.
3．（2024高一下·金华期末）数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为（　　）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解： 数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为，
则组数据的中位数为.
故答案为：C.
【分析】根据中位数的求解方法求解即可.
4．（2024高一下·金华期末）复数，则（　　）
A．5 B． C． D．32
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，
则.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得复数z，再根据复数的模长公式计算即可.
5．（2024高一下·金华期末）已知，点关于点A的对称点为，点关于点的对称点为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：，
因为点关于点A的对称点为，点关于点的对称点为，
所以，
两式相减可得.
故答案为：D.
【分析】根据向量加、减法的法则求解即可.
6．（2024高一下·金华期末）某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设球与圆锥底面相切于点，与母线相切于点，如图所示：
易知，
设母线长，在中，，
因为，所以，
则，化简得，解得，
则圆锥的侧面积为：.
故答案为：C.
【分析】由题意，求出圆锥的母线长，利用公式求侧面积即可.
7．（2024高一下·金华期末）若函数（是常数）有且只有一个零点，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
且，则函数为偶函数，
因为函数有且只有一个零点，所以函数过坐标原点，
即，解得.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性，由函数有且只有一个零点，过坐标原点求解即可.
8．（2024高一下·金华期末）已知三个内角，，的对边分别是，，，且满足，则面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：，则，，
即，
由余弦定理可得：，
因为，
所以①，②，
①②可得：，
又因为，
所以，
则，
即，即，
解得，
当且仅当时，即，时等号成立，
故面积的最大值为.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据余弦定理以及三角形的面积公式求得，再利用两次基本不等式得到，即可求面积的最大值.
9．（2024高一下·金华期末）对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（　　）
A．若与互斥，则 B．若与互斥，则
C．若，则 D．若与相互独立，则
【答案】B,D
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件
【解析】【解答】解：AB、若与互斥，则，，
故A错误，B正确；
C、若，则，即，故C错误；
D、若与相互独立，则，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由互斥事件的定义，代入计算即可判断AB；由，则即可判断C；由相互独立事件的定义即可判断D.
10．（2024高一下·金华期末）已知与分别是异面直线与上的不同点，，，，分别是线段，，，上的点.以下命题正确的是（　　）
A．直线与直线可以相交，不可以平行
B．直线与直线可以异面，不可以平行
C．直线与直线可以垂直，可以相交
D．直线与直线可以异面，可以相交
【答案】B,C,D
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】解：A、若直线与直线相交，则四点共面，即直线与共面，
与直线与异面矛盾，则直线与直线不可以相交，故A错误；
B、当分别和重合时，直线与直线异面，
直线与直线不可以平行，假如直线与直线平行，
平面，平面，故平面，
但与平面有交点，显然这是不可能的，假设不成立，故B正确；
C、当均与重合，此时直线与直线相交，
当调整的位置，可能有⊥，且令分别与重合，
此时满足直线与直线垂直，
故直线与直线可以垂直，可以相交，故C正确；
D、当均与重合，或均与重合时，直线与直线相交，
当时，与平行，当时，与平行，此时与平行，
其他情况，直线与直线异面，
故直线与直线可以异面，可以相交，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】假设直线与直线相交，推出矛盾即可判断A；先根据特殊位置得到两直线异面，再假设两直线平行，推出矛盾即可判断B；根据特殊位置可以得到两直线垂直和相交即可判断C；由特殊位置得到两直线可能异面，可能相交，也可以平行即可判断D.
11．（2024高一下·金华期末）小明在研究物理中某种粒子点的运动轨迹，想找到与的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现和都与某个变量有关联，且有.小明以此为依据去判断函数的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大！我们来看看，小明的以下结论正确的是（　　）
A．函数的图象关于原点对称 B．函数是以为周期的函数
C．函数的图象存在多条对称轴 D．函数在上单调递增
【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：A、由题意知，则不可能关于原点对称，故A错误；
B、函数周期为，则是以为周期的函数，故B正确；
C、当时，则有多条对称轴，故C正确；
D、设单调递增，
单调递增，根据复合函数的单调性可得：在单调递增，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据y的取值情况即可判断A；根据正弦余弦函数周期性即可判断B；根据圆的特性即可判断C；根据复合函数单调性即可判断D.
12．（2024高一下·金华期末）已知函数，则　 　.
【答案】2
【知识点】函数的值；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数，
则，.
故答案为：2.
【分析】根据函数的解析式代值求值即可.
13．（2024高一下·金华期末）甲船在岛的正南方向处，千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自岛出发向北偏东的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为　 　千米.
【答案】
【知识点】余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设甲船航行到点，同时乙船航行到点，如图所示：
易知，，
设，则，
在中，由余弦定理，
可得，
当时，取最小值为，
即甲、乙两船的最近距离为千米.
故答案为：.
【分析】由题意，利用余弦定理将甲、乙两船的距离表示出来，再求最小值即可.
14．（2024高一下·金华期末）在中，，，，在边上，延长到，使.若，则　 　.
【答案】4
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则，易知，
设，
，
，
若，
则，解得，
因为，所以，，
则.
故答案为：4.
【分析】建系标点，设，根据向量的坐标运算解得，进而可得，结合图形求解即可.
15．（2024高一下·金华期末）已知是夹角为的两个单位向量，.
（1）若可以作为一组基底，求实数的取值范围；
（2）若垂直，求实数的值；
（3）求的最小值.
【答案】（1）解：若可以作为一组基底，则不平行，
因为不共线，所以，即，
则实数的取值范围为；
（2）解：若垂直，则，
即，
因为，所以，解得；
（3）解：，
当时，取得最小值3，则的最小值为.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量不平行，的系数比值不相等求解即可；
（2）根据，结合数量积运算性质求解即可；
（3）将向量模转化为数量积，根据二次函数性质求解即可.
（1）因为可以作为一组基底，所以不平行，
又不共线，所以，即，
所以，实数的取值范围为.
（2）因为垂直，所以，
即，
又，
所以，解得.
（3）因为，
所以，当时，取得最小值3，
所以的最小值为.
16．（2024高一下·金华期末）已知函数.
（1）求函数的值域和其图象的对称中心；
（2）在中，三个内角，，的对边分别是，，，满足，，，求的面积的值.
【答案】（1）解：函数，值域为，
令，解得，
则函数的对称中心坐标为；
（2）解：由（1）可得：，则，
因为，所以，所以或，即或，
又因为，所以，
由余弦定理得，即，解得或4，
当时，；
当时，.
故的面积为或.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，根据正弦函数性质求值域，利用整体代入法求对称中心；
（2）根据求角，利用余弦定理求出c，代入面积公式求解即可.
（1），所以值域为，
令，得，
所以的对称中心坐标为.
（2）由得，
，，
所以或，即或，
，，
由余弦定理得，
即，解得或4.
当时，；
当时，.
故所求的面积为或.
17．（2024高一下·金华期末）在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格.
（1）求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.
（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.
【答案】（1）解：根据频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，解得，
因为小时，
所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时；
（2）解：时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格，
由题意知，即求60百分位数，又，，
所以60百分位数位于18~22之间，
设60百分位数为，则，解得小时.
故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀；
（3）解：根据分层抽样可知：优秀生有人，
良好生人，
合格生有人，
优秀记为，良好记为，合格记为，
从这5名学生中，任选3人， 总共有，10种情况，
其中符合条件的有，共4种，
故概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图各矩形面积和为1列方程，求出，利用平均数的定义进行计算即可；
（2）即求60百分位数，先得到60百分位数位于18~22之间，设出60百分位数为，从而得到方程，求解即可；
（3）按照分层抽样的概念得到优秀，良好，及格的人数，并列举结合古典概型概率公式求概率即可.
（1）由，解得，
因为小时，
所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.
（2）时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格，
由题意知，即求60百分位数，又，，
所以60百分位数位于18~22之间，
设60百分位数为，则，解得小时.
故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀.
（3）易知，5名学生中，
优秀有人，设为，
良好有人，设为，
合格有人，设为.
任选3人，总共有，10种情况，
其中符合的有，共4种，
故概率为.
18．（2024高一下·金华期末）在四棱台中，，平面平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值；
（3）若是的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
因为，，所以是平行四边形，，
又因为面，面，所以平面；
（2）解：在梯形中，由已知可得，
平面平面，是交线，则面，
以A为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，
则，即直线与直线所成角的余弦值；
（3）解：，，
设是平面的法向量，则，
令，得，
又因为是平面的法向量，所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据平行直线的传递性可得，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，利用公式求解即可；
（3）利用二面角的定义找出就是二面角的平面角，求出平面的法向量和平面的法向量，利用求解即可.
（1）连接，，，
是平行四边形，.
又面，面，故平面
（2）法一：取中点，连，，，则，，
所以就是直线与所成的角.
在梯形中，由已知可得，
又平面平面，是交线，
平面，平面，，，
，
所以，直线与直线所成角的余弦值为.
法二：在梯形中，由已知可得，
平面平面，是交线，
面，
如图，以A为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，
，
.
（3）法一：过作延长线的垂线于，连接，取中点，连接，
过作，连接.
易证面，
则就是二面角的平面角.
，，
所以，
故.
法二：，，
设是平面的法向量，则
令，得，
又是平面的法向量，
所以.
19．（2024高一下·金华期末）假设是定义在一个区间上的连续函数，且.对，记，，…，.若某一个函数满足，则有（其中，为关于的方程的两个根，，是可以由，来确定的常数）.
（1）若，且满足.
（ⅰ）求，的值；
（ⅱ）求的表达式；
（2）若函数的定义域为，值域为，且，且函数满足，求的解析式.
【答案】（1）解：（ⅰ）由题意知，因为，，
所以，，
（ⅱ） 由题意知，，
又，为的两个根1，，所以，
又因为，所以，则；
（2）解：由题意知，，为关于的方程的两个根，则，即，
因为值域为，易知，所以，则，
，则.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）（ⅰ）由题意知，利用递推关系求解即可；
（ⅱ）由题意知，又，为的两个根可得，从而可得求解即可；
（2）由题意得，又由值域为可得，从而可得，再由求解即可.
（1）（ⅰ）由题意知，又，，
所以，.
（ⅱ） 由题意知，，
又，为的两个根1，，
.
又，所以，
.
（2）由题意知，，为关于的方程的两个根，
所以，则，
因为值域为，易知；
，则，
，
.
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