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浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·慈溪期末）要使二次根式有意义，则x不可取的数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024八下·慈溪期末）下列与杭州亚运会有关的图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·慈溪期末）某鞋店老板为了能更好地决定某种皮鞋各种鞋码如何进货能更好地销售，进行了市场调研，那么鞋店老板应重视鞋码的（　　）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
4．（2024八下·慈溪期末）图象在第二、四象限的反比例函数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·慈溪期末）如图，在 ABCD中，下列说法一定正确的是(　　)
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB＝BC
6．（2024八下·慈溪期末）用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·慈溪期末）如图，中，平分，交边于点E，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·慈溪期末）杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x（），则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·慈溪期末）已知点，，在双曲线上，若，且，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·慈溪期末）如图，线段，是线段上一动点，分别以和为边在同侧作菱形和菱形，且，，在同一条直线上，，连接，取的中点，连接，，以下说法正确的是（　　）
A．的长不会随着P点的运动而变化，始终为
B．的长随着P点的运动而变化，其最小值为
C．的长不会随着P点的运动而变化，始终为
D．的长随着P点的运动而变化，其最小值为
11．（2024八下·慈溪期末）当时，二次根式的值为　 　．
12．（2024八下·慈溪期末）若边形的一个内角和为，则　 　．
13．（2024八下·慈溪期末）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如表所示：
　 甲 乙 丙 丁
9.6 9.6 9.4 9.4
1.6 0.8 3 0.8
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择　 　．
14．（2024八下·慈溪期末）方程配方后写成的形式，则b的值为　 　．
15．（2024八下·慈溪期末）如图，在矩形中，，．P，Q分别是边和上的点，且，M为的中点，连结，则的长为　 　．
16．（2024八下·慈溪期末）如图，正方形的顶点，分别在轴正半轴和轴正半轴上，过点的反比例函数的图象交正方形对角线于点．若正方形的面积为40，且点是的中点，则的值为　 　．
17．（2024八下·慈溪期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024八下·慈溪期末）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2024八下·慈溪期末）如图，在的方格中，每个小正方形的边长为1，请按下列要求画出格点四边形（顶点均为小正方形的顶点）．
（1）在图1中画一个以为边的四边形，且该四边形为中心对称图形；
（2）在图2中画一个以为边，面积为8的菱形．
20．（2024八下·慈溪期末）某校为了解初中学生每天的睡眠情况，随机调查了该校部分初中学生平均每天睡眠时间（单位：h）．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）直接写出本次接受调查的学生人数和图1中m的值；
（2）求被调查的学生平均每天睡眠时间数据的平均数和中位数；
（3）全校共有1200名学生，请估算全校学生平均每天睡眠时间不低于的人数．
21．（2024八下·慈溪期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1）直接写出两函数图象在第三象限的交点的坐标，并求反比例函数表达式；
（2）根据图象直接写出的的取值范围；
（3）若正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．求四边形的面积．
22．（2024八下·慈溪期末）某果农对自家桑葚进行直播销售，如果售价为每篮50元，则每天可卖出40篮．通过市场调查发现，若售价每篮降价2元，每天销量可增加10篮．综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于30元．
（1）若设售价每篮降价x元，则每天可销售　 　篮．（用含x的代数式表示）
（2）该果农管理桑葚园的每天各项成本合计为1200元，问：桑葚每篮售价为多少元时，每天能获得2600元的利润？（利润销售额各项成本）
23．（2024八下·慈溪期末）“小小停车位，关乎大民生”，某数学兴趣小组关注到本校教师每天进校的车辆数超过学校原有的停车位数，有部分车辆不能规范停放，对校园安全存在一定的隐患，于是打算向学校提供一个增设停车位的方案．
素材1：该兴趣小组对学校的一片空地进行了实地测量，测得空地长32米，宽14米．
素材2：
停车位布置方式 垂直停车位 倾斜停车位
示意图
车位标准尺寸 长6米，宽2.5米 倾斜线长6米，倾斜线之间的距离为2.5米
通道 通道宽度不小于3.5米
任务1 兴趣小组根据素材2分别设计了垂直停车位和倾斜停车位．垂直停车位如图1，，，；倾斜停车位如图2，，，．请分别判断所设计的两种停车位的形状，并选择一种说明理由．
任务2 为了排除校园安全隐患，根据素材2提供的信息，若用上述设计的两种停车位，并尽可能多的设置停车位数量，学校该空地应选择哪种停车位布置方式？最多可以设置多少个停车位？（参考数据：）
24．（2024八下·慈溪期末）如图1，四边形是边长为10的正方形，点P是射线上一点（点P不与点B和点C重合），连接，过B作的垂线，垂足为E，在线段上取点F，使得，连接．
（1）当点P在线段上时，求证：；
（2）当的面积为20时，求的值；
（3）如图2，连接，在点P的运动过程中，求线段所围成图形面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x-1≥0，
∴x≥1.
故答案为：A.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则x-1≥0，求出x的范围，然后进行判断.
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：对于ABC选项，在同一平面内，不能找到一个点将该图形绕某一点旋转180°，使得旋转后的图形能和原图形完全重合，则ABC不是中心对称图形；对于D选项，在同一平面内，能找到一个点将该图形绕某一点旋转180°，使得旋转后的图形能和原图形完全重合，则D是中心对称图形；
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐项进行判断即可.
3．【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：∵某鞋店老板为了能更好地决定某种皮鞋各种鞋码如何进货能更好地销售，而众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
∴鞋店老板应重视的鞋码的众数，
故答案为：B．
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：A、是正比例函数，则此项不符合题意；
B、是反比例函数，其图象在第一、三象限，则此项不符合题意；
C、是反比例函数，其图象在第二象限，则此项不符合题意；
D、是反比例函数，其图象在第二、四象限，则此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用反比例函数（k≠0），当k＞0时，图象分支在第一、三象限；当k＜0时，图象分支在第二、四象限；观察各选项，可得答案.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形两组对边分别平行且相等，对角线互相平分，据此直接得到答案.
6．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题，首先应假设命题不成立，即提出与结论相反的假设，原命题的结论为∠A≠∠C，所以用反证法证明命题首先应假设∠A＝∠C.
故答案为：D.
【分析】在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做反证法.本题根据反证法的定义即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可求出∠DAB的度数，根据角平分线的定义可求出∠DAE的度数，最后根据平行线的性质求解即可得．
8．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得：10(1+x)2=11.5
故答案为：A.
【分析】3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，该摆件销售量的月平均增长率为x，则5月份销售吉祥物“宸宸”摆件为[10(1+x)2]万个，再根据5月份销售11.5万个，即可列出方程得出答案.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由反比例函数解析式得出反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，由，且得出，结合反比例函数的性质即可得出答案．
10．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，
菱形和菱形，，
，，，，，
，，
，，
，是等边三角形，
点是的中点，
，
设，则，
是等边三角形，
，
，，
作交的延长线于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
当时，有最小值为，
的最小值为，
故答案为：D．
【分析】先证，由直角三角形的性质可得，由勾股定理和平方的性质可求的最小值，即可求解．
11．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：把x=1代入得：，
所以当时，二次根式的值为2.
故答案为：2.
【分析】直接将x=1代入中进行计算并结合二次根式的性质化简即可.
12．【答案】12
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵边形的一个内角和为，
∴，
解得：，
故答案为：12．
【分析】根据多边形的内角和公式：对于边形，它的内角和度数为，据此得关于的方程，解方程即可求解.
13．【答案】乙
【知识点】平均数及其计算；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由成绩的平均数可知，应该选择甲运动员或乙运动员，
因为乙运动员成绩的方差小于甲运动员的，
所以乙运动员的成绩波动小，更稳定，
所以应该选择乙运动员，
故答案为：乙运动员．
【分析】先根据成绩的平均数可得应该选择甲运动员或乙运动员，再根据方差越小，成绩越稳定即可得出答案．
14．【答案】9
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
则，
故答案为：9．
【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再进行配方.
15．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；梯形中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，取的中点，连接，
则四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∵点为的中点，为的中点，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于点，取的中点，连接，易证四边形是矩形，先求出，再根据梯形的中位线定理可得，，最后在中，利用勾股定理求解即可得．
16．【答案】16
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作轴于，设，
又由四边形为正方形，
，．
．
又，
，
．
又，
．
，．
∵，，
．
．
四边形为正方形，
对角线与互相平分．
为的中点，
为的中点．
，
又在反比例函数，
．
．
∵正方形的面积为，且，
．
．
．
．
故答案为：16．
【分析】作轴于，设，先证出．可得，，求出，再求出，将点E代入，求出，再利用勾股定理可得，求出即可．
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再计算减法即可得；
（2）分子分母同乘以，再计算二次根式的乘法即可得．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．【答案】（1）解：∵，∴，
∴或，
解得：，
（2）解：∵，∴，
∴或，
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解一元二次方程即可.
（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得：，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得：，．
19．【答案】（1）解：如图，四边形即为所作．
（2）解：如图，菱形即为所作．
【知识点】勾股定理；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）结合网格和勾股定理，画出正方形即可得；
（2）结合网格和勾股定理，画出菱形即可得．
（1）解：如图，四边形即为所作．
（2）解：如图，菱形即为所作．
20．【答案】（1）50人，
（2）解：平均每天睡眠时间为的学生人数为（人），
则被调查的学生平均每天睡眠时间数据的平均数为，
因为将被调查的学生平均每天睡眠时间数据按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为中位数，
所以被调查的学生平均每天睡眠时间数据的中位数为
（3）解：（人），
答：估算全校学生平均每天睡眠时间不低于的人数为720
【知识点】平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次接受调查的学生人数为（人），
则，
所以．
故答案为：50；40.
【分析】（1）根据平均每天睡眠时间为的扇形统计图和条形统计图信息即可求出本次接受调查的学生人数，再利用平均每天睡眠时间为的学生人数除以本次调查的学生总人数即可得的值；
（2）根据平均数的计算公式和中位数的定义求解即可得；
（3）利用全校学生人数乘以平均每天睡眠时间不低于的人数所占百分比即可得．
（1）解：本次接受调查的学生人数为（人），
则，
所以．
（2）解：平均每天睡眠时间为的学生人数为（人），
则被调查的学生平均每天睡眠时间数据的平均数为，
因为将被调查的学生平均每天睡眠时间数据按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为中位数，
所以被调查的学生平均每天睡眠时间数据的中位数为．
（3）解：（人），
答：估算全校学生平均每天睡眠时间不低于的人数为720人．
21．【答案】（1）解：∵正比例函数和反比例函数的图象都是中心对称图形，且关于坐标原点成中心对称，，∴点的坐标为，
将代入得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为
（2）或
（3）解：将代入得：，解得：，
∴，
由得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴点，，
如图所示：
，
令直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点的坐标为，
∴，
∵点分别为和的中点，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【解答】（2）解：由函数图象可得：
当或时，正比例函数的图象在反比例函数图象的下方，即，
∴当时，的取值范围是或；
【分析】（1）根据反比例函数和正比例函数图象的对称性可得到点的坐标，利用待定系数法即可得出反比例函数解析式；
（2）结合函数图象及点A、B的横坐标，即可得出答案；
（3）将两函数联立方程组求出方程组的解，可得到点A'、B'的坐标，利用待定系数法求出直线AB'函数解析式；根据题意得出，再根据点分别为和的中点，得出，然后求出四边形AA'BB'的面积.
（1）解：∵正比例函数和反比例函数的图象都是中心对称图形，且关于坐标原点成中心对称，，
∴点的坐标为，
将代入得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：由函数图象可得：
当或时，正比例函数的图象在反比例函数图象的下方，即，
∴当时，的取值范围是或；
（3）解：将代入得：，
解得：，
∴，
由得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴点，，
如图所示：
，
令直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点的坐标为，
∴，
∵点分别为和的中点，
∴，
∴．
22．【答案】（1）
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵每篮售价不低于30元，，
∴，
∴，
∴桑葚每篮售价为38元时，每天能获得2600元的利润．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设售价每篮降价x元，
则每天可销售：
故答案为：.
【分析】（1）根据题干：如果售价为每篮50元，则每天可卖出40篮．通过市场调查发现，若售价每篮降价2元，每天销量可增加10篮，即可求解；
（2）根据题干和（1）列方程：，解出x，再根据每篮售价不低于30元即可算出x的值，进而求解本题.
23．【答案】解：任务一
图1设计的停车位是矩形，图2设计的停车位是平行四边形，
理由：在图1中，，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
在图2中，因为，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
任务二：
设置垂直停车位
空地长32米，宽14米，垂直停车位长6米，宽2.5米，通道宽度不小于3.5米，
（个），即按照宽度来设置停车位可以设置个，
（列），即垂直停车位可以设置3列，
垂直停车位最多可以设置（个）；
设置倾斜停车位：
过点作于点，过点作垂直于延长线于点，
四边形是平行四边形，
米，，，
，
，米，，，
，，
在中，，
米，
米，
在中，，
设，则，
，解得，
米，
每行设置车位数个，
，
可以设置两行倾斜停车位，共个，
学校该空地应选择倾斜停车位布置方式，最多可以设置个停车位
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】任务一：易证可以判定四边形是矩形；在图2中利用已知条件：，，可推出EG∥FH，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
任务二：按照空地宽度设置垂直停车位的宽度，确定设置列数，就可以求出总的车位数；过点作于点，过点作垂直于延长线于点，由于，利用平行四边形的性质和勾股定理，分别计算出，，，确定每行车位数和设置的行数，进而求出设置倾斜停车位数，即可得出结论．
24．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，∴，
设，，，
在中，，，
∴，
整理得，即，
解得或，
经检验，或都是方程的解，
∴的值为或
（3）解：当点P在线段上时，连接和交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
当点P在线段的延长线上时，连接和并与的延长线交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
要求线段所围成图形面积的最小值，只要求得的最小值即可，
取的中点，连接和，
∵，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
∵四边形是边长为10的正方形，点为的中点，且，
∴，，
∴有最小值为，
∴线段所围成图形面积的最小值为
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得，，利用余角的性质可推出∠ABE=∠DAF，利用SAS证明，利用全等三角形的性质可证得，由此可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得AE=DF，设，，，在中，，，得到，然后解方程求出x的值，可得答案.
（3）分两种情况讨论，证明，推出，且，得到线段所围成图形面积是，要求线段所围成图形面积的最小值，只要求得的最小值即可，取的中点，连接和，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设，，，
在中，，，
∴，
整理得，即，
解得或，
经检验，或都是方程的解，
∴的值为或；
（3）解：当点P在线段上时，连接和交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
当点P在线段的延长线上时，连接和并与的延长线交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
要求线段所围成图形面积的最小值，只要求得的最小值即可，
取的中点，连接和，
∵，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
∵四边形是边长为10的正方形，点为的中点，且，
∴，，
∴有最小值为，
∴线段所围成图形面积的最小值为．
1 / 1浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·慈溪期末）要使二次根式有意义，则x不可取的数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x-1≥0，
∴x≥1.
故答案为：A.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则x-1≥0，求出x的范围，然后进行判断.
2．（2024八下·慈溪期末）下列与杭州亚运会有关的图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：对于ABC选项，在同一平面内，不能找到一个点将该图形绕某一点旋转180°，使得旋转后的图形能和原图形完全重合，则ABC不是中心对称图形；对于D选项，在同一平面内，能找到一个点将该图形绕某一点旋转180°，使得旋转后的图形能和原图形完全重合，则D是中心对称图形；
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐项进行判断即可.
3．（2024八下·慈溪期末）某鞋店老板为了能更好地决定某种皮鞋各种鞋码如何进货能更好地销售，进行了市场调研，那么鞋店老板应重视鞋码的（　　）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：∵某鞋店老板为了能更好地决定某种皮鞋各种鞋码如何进货能更好地销售，而众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
∴鞋店老板应重视的鞋码的众数，
故答案为：B．
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可.
4．（2024八下·慈溪期末）图象在第二、四象限的反比例函数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：A、是正比例函数，则此项不符合题意；
B、是反比例函数，其图象在第一、三象限，则此项不符合题意；
C、是反比例函数，其图象在第二象限，则此项不符合题意；
D、是反比例函数，其图象在第二、四象限，则此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用反比例函数（k≠0），当k＞0时，图象分支在第一、三象限；当k＜0时，图象分支在第二、四象限；观察各选项，可得答案.
5．（2024八下·慈溪期末）如图，在 ABCD中，下列说法一定正确的是(　　)
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB＝BC
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形两组对边分别平行且相等，对角线互相平分，据此直接得到答案.
6．（2024八下·慈溪期末）用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题，首先应假设命题不成立，即提出与结论相反的假设，原命题的结论为∠A≠∠C，所以用反证法证明命题首先应假设∠A＝∠C.
故答案为：D.
【分析】在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做反证法.本题根据反证法的定义即可得出答案.
7．（2024八下·慈溪期末）如图，中，平分，交边于点E，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可求出∠DAB的度数，根据角平分线的定义可求出∠DAE的度数，最后根据平行线的性质求解即可得．
8．（2024八下·慈溪期末）杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x（），则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得：10(1+x)2=11.5
故答案为：A.
【分析】3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，该摆件销售量的月平均增长率为x，则5月份销售吉祥物“宸宸”摆件为[10(1+x)2]万个，再根据5月份销售11.5万个，即可列出方程得出答案.
9．（2024八下·慈溪期末）已知点，，在双曲线上，若，且，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由反比例函数解析式得出反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，由，且得出，结合反比例函数的性质即可得出答案．
10．（2024八下·慈溪期末）如图，线段，是线段上一动点，分别以和为边在同侧作菱形和菱形，且，，在同一条直线上，，连接，取的中点，连接，，以下说法正确的是（　　）
A．的长不会随着P点的运动而变化，始终为
B．的长随着P点的运动而变化，其最小值为
C．的长不会随着P点的运动而变化，始终为
D．的长随着P点的运动而变化，其最小值为
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，
菱形和菱形，，
，，，，，
，，
，，
，是等边三角形，
点是的中点，
，
设，则，
是等边三角形，
，
，，
作交的延长线于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
当时，有最小值为，
的最小值为，
故答案为：D．
【分析】先证，由直角三角形的性质可得，由勾股定理和平方的性质可求的最小值，即可求解．
11．（2024八下·慈溪期末）当时，二次根式的值为　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：把x=1代入得：，
所以当时，二次根式的值为2.
故答案为：2.
【分析】直接将x=1代入中进行计算并结合二次根式的性质化简即可.
12．（2024八下·慈溪期末）若边形的一个内角和为，则　 　．
【答案】12
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵边形的一个内角和为，
∴，
解得：，
故答案为：12．
【分析】根据多边形的内角和公式：对于边形，它的内角和度数为，据此得关于的方程，解方程即可求解.
13．（2024八下·慈溪期末）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如表所示：
　 甲 乙 丙 丁
9.6 9.6 9.4 9.4
1.6 0.8 3 0.8
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择　 　．
【答案】乙
【知识点】平均数及其计算；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由成绩的平均数可知，应该选择甲运动员或乙运动员，
因为乙运动员成绩的方差小于甲运动员的，
所以乙运动员的成绩波动小，更稳定，
所以应该选择乙运动员，
故答案为：乙运动员．
【分析】先根据成绩的平均数可得应该选择甲运动员或乙运动员，再根据方差越小，成绩越稳定即可得出答案．
14．（2024八下·慈溪期末）方程配方后写成的形式，则b的值为　 　．
【答案】9
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
则，
故答案为：9．
【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再进行配方.
15．（2024八下·慈溪期末）如图，在矩形中，，．P，Q分别是边和上的点，且，M为的中点，连结，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；梯形中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，取的中点，连接，
则四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∵点为的中点，为的中点，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于点，取的中点，连接，易证四边形是矩形，先求出，再根据梯形的中位线定理可得，，最后在中，利用勾股定理求解即可得．
16．（2024八下·慈溪期末）如图，正方形的顶点，分别在轴正半轴和轴正半轴上，过点的反比例函数的图象交正方形对角线于点．若正方形的面积为40，且点是的中点，则的值为　 　．
【答案】16
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作轴于，设，
又由四边形为正方形，
，．
．
又，
，
．
又，
．
，．
∵，，
．
．
四边形为正方形，
对角线与互相平分．
为的中点，
为的中点．
，
又在反比例函数，
．
．
∵正方形的面积为，且，
．
．
．
．
故答案为：16．
【分析】作轴于，设，先证出．可得，，求出，再求出，将点E代入，求出，再利用勾股定理可得，求出即可．
17．（2024八下·慈溪期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再计算减法即可得；
（2）分子分母同乘以，再计算二次根式的乘法即可得．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．（2024八下·慈溪期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，∴，
∴或，
解得：，
（2）解：∵，∴，
∴或，
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解一元二次方程即可.
（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得：，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得：，．
19．（2024八下·慈溪期末）如图，在的方格中，每个小正方形的边长为1，请按下列要求画出格点四边形（顶点均为小正方形的顶点）．
（1）在图1中画一个以为边的四边形，且该四边形为中心对称图形；
（2）在图2中画一个以为边，面积为8的菱形．
【答案】（1）解：如图，四边形即为所作．
（2）解：如图，菱形即为所作．
【知识点】勾股定理；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）结合网格和勾股定理，画出正方形即可得；
（2）结合网格和勾股定理，画出菱形即可得．
（1）解：如图，四边形即为所作．
（2）解：如图，菱形即为所作．
20．（2024八下·慈溪期末）某校为了解初中学生每天的睡眠情况，随机调查了该校部分初中学生平均每天睡眠时间（单位：h）．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）直接写出本次接受调查的学生人数和图1中m的值；
（2）求被调查的学生平均每天睡眠时间数据的平均数和中位数；
（3）全校共有1200名学生，请估算全校学生平均每天睡眠时间不低于的人数．
【答案】（1）50人，
（2）解：平均每天睡眠时间为的学生人数为（人），
则被调查的学生平均每天睡眠时间数据的平均数为，
因为将被调查的学生平均每天睡眠时间数据按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为中位数，
所以被调查的学生平均每天睡眠时间数据的中位数为
（3）解：（人），
答：估算全校学生平均每天睡眠时间不低于的人数为720
【知识点】平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次接受调查的学生人数为（人），
则，
所以．
故答案为：50；40.
【分析】（1）根据平均每天睡眠时间为的扇形统计图和条形统计图信息即可求出本次接受调查的学生人数，再利用平均每天睡眠时间为的学生人数除以本次调查的学生总人数即可得的值；
（2）根据平均数的计算公式和中位数的定义求解即可得；
（3）利用全校学生人数乘以平均每天睡眠时间不低于的人数所占百分比即可得．
（1）解：本次接受调查的学生人数为（人），
则，
所以．
（2）解：平均每天睡眠时间为的学生人数为（人），
则被调查的学生平均每天睡眠时间数据的平均数为，
因为将被调查的学生平均每天睡眠时间数据按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为中位数，
所以被调查的学生平均每天睡眠时间数据的中位数为．
（3）解：（人），
答：估算全校学生平均每天睡眠时间不低于的人数为720人．
21．（2024八下·慈溪期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1）直接写出两函数图象在第三象限的交点的坐标，并求反比例函数表达式；
（2）根据图象直接写出的的取值范围；
（3）若正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．求四边形的面积．
【答案】（1）解：∵正比例函数和反比例函数的图象都是中心对称图形，且关于坐标原点成中心对称，，∴点的坐标为，
将代入得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为
（2）或
（3）解：将代入得：，解得：，
∴，
由得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴点，，
如图所示：
，
令直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点的坐标为，
∴，
∵点分别为和的中点，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【解答】（2）解：由函数图象可得：
当或时，正比例函数的图象在反比例函数图象的下方，即，
∴当时，的取值范围是或；
【分析】（1）根据反比例函数和正比例函数图象的对称性可得到点的坐标，利用待定系数法即可得出反比例函数解析式；
（2）结合函数图象及点A、B的横坐标，即可得出答案；
（3）将两函数联立方程组求出方程组的解，可得到点A'、B'的坐标，利用待定系数法求出直线AB'函数解析式；根据题意得出，再根据点分别为和的中点，得出，然后求出四边形AA'BB'的面积.
（1）解：∵正比例函数和反比例函数的图象都是中心对称图形，且关于坐标原点成中心对称，，
∴点的坐标为，
将代入得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：由函数图象可得：
当或时，正比例函数的图象在反比例函数图象的下方，即，
∴当时，的取值范围是或；
（3）解：将代入得：，
解得：，
∴，
由得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴点，，
如图所示：
，
令直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点的坐标为，
∴，
∵点分别为和的中点，
∴，
∴．
22．（2024八下·慈溪期末）某果农对自家桑葚进行直播销售，如果售价为每篮50元，则每天可卖出40篮．通过市场调查发现，若售价每篮降价2元，每天销量可增加10篮．综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于30元．
（1）若设售价每篮降价x元，则每天可销售　 　篮．（用含x的代数式表示）
（2）该果农管理桑葚园的每天各项成本合计为1200元，问：桑葚每篮售价为多少元时，每天能获得2600元的利润？（利润销售额各项成本）
【答案】（1）
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵每篮售价不低于30元，，
∴，
∴，
∴桑葚每篮售价为38元时，每天能获得2600元的利润．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设售价每篮降价x元，
则每天可销售：
故答案为：.
【分析】（1）根据题干：如果售价为每篮50元，则每天可卖出40篮．通过市场调查发现，若售价每篮降价2元，每天销量可增加10篮，即可求解；
（2）根据题干和（1）列方程：，解出x，再根据每篮售价不低于30元即可算出x的值，进而求解本题.
23．（2024八下·慈溪期末）“小小停车位，关乎大民生”，某数学兴趣小组关注到本校教师每天进校的车辆数超过学校原有的停车位数，有部分车辆不能规范停放，对校园安全存在一定的隐患，于是打算向学校提供一个增设停车位的方案．
素材1：该兴趣小组对学校的一片空地进行了实地测量，测得空地长32米，宽14米．
素材2：
停车位布置方式 垂直停车位 倾斜停车位
示意图
车位标准尺寸 长6米，宽2.5米 倾斜线长6米，倾斜线之间的距离为2.5米
通道 通道宽度不小于3.5米
任务1 兴趣小组根据素材2分别设计了垂直停车位和倾斜停车位．垂直停车位如图1，，，；倾斜停车位如图2，，，．请分别判断所设计的两种停车位的形状，并选择一种说明理由．
任务2 为了排除校园安全隐患，根据素材2提供的信息，若用上述设计的两种停车位，并尽可能多的设置停车位数量，学校该空地应选择哪种停车位布置方式？最多可以设置多少个停车位？（参考数据：）
【答案】解：任务一
图1设计的停车位是矩形，图2设计的停车位是平行四边形，
理由：在图1中，，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
在图2中，因为，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
任务二：
设置垂直停车位
空地长32米，宽14米，垂直停车位长6米，宽2.5米，通道宽度不小于3.5米，
（个），即按照宽度来设置停车位可以设置个，
（列），即垂直停车位可以设置3列，
垂直停车位最多可以设置（个）；
设置倾斜停车位：
过点作于点，过点作垂直于延长线于点，
四边形是平行四边形，
米，，，
，
，米，，，
，，
在中，，
米，
米，
在中，，
设，则，
，解得，
米，
每行设置车位数个，
，
可以设置两行倾斜停车位，共个，
学校该空地应选择倾斜停车位布置方式，最多可以设置个停车位
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】任务一：易证可以判定四边形是矩形；在图2中利用已知条件：，，可推出EG∥FH，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
任务二：按照空地宽度设置垂直停车位的宽度，确定设置列数，就可以求出总的车位数；过点作于点，过点作垂直于延长线于点，由于，利用平行四边形的性质和勾股定理，分别计算出，，，确定每行车位数和设置的行数，进而求出设置倾斜停车位数，即可得出结论．
24．（2024八下·慈溪期末）如图1，四边形是边长为10的正方形，点P是射线上一点（点P不与点B和点C重合），连接，过B作的垂线，垂足为E，在线段上取点F，使得，连接．
（1）当点P在线段上时，求证：；
（2）当的面积为20时，求的值；
（3）如图2，连接，在点P的运动过程中，求线段所围成图形面积的最小值．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，∴，
设，，，
在中，，，
∴，
整理得，即，
解得或，
经检验，或都是方程的解，
∴的值为或
（3）解：当点P在线段上时，连接和交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
当点P在线段的延长线上时，连接和并与的延长线交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
要求线段所围成图形面积的最小值，只要求得的最小值即可，
取的中点，连接和，
∵，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
∵四边形是边长为10的正方形，点为的中点，且，
∴，，
∴有最小值为，
∴线段所围成图形面积的最小值为
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得，，利用余角的性质可推出∠ABE=∠DAF，利用SAS证明，利用全等三角形的性质可证得，由此可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得AE=DF，设，，，在中，，，得到，然后解方程求出x的值，可得答案.
（3）分两种情况讨论，证明，推出，且，得到线段所围成图形面积是，要求线段所围成图形面积的最小值，只要求得的最小值即可，取的中点，连接和，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设，，，
在中，，，
∴，
整理得，即，
解得或，
经检验，或都是方程的解，
∴的值为或；
（3）解：当点P在线段上时，连接和交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
当点P在线段的延长线上时，连接和并与的延长线交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
要求线段所围成图形面积的最小值，只要求得的最小值即可，
取的中点，连接和，
∵，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
∵四边形是边长为10的正方形，点为的中点，且，
∴，，
∴有最小值为，
∴线段所围成图形面积的最小值为．
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